Combinando las Fórmulas de Cuadrados Perfectos

Recordemos las fórmulas del cuadrado de binomios

Producto de la suma y diferencia de dos términos
$(X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2$
Puedes usar esta fórmula cuando hay un producto entre la suma de dos términos específicos y la diferencia de esos mismos términos.
En lugar de mostrarlos como un producto de suma y diferencia, puedes escribir $X^2 - Y^2$
Esta regla también funciona al revés.

La Fórmula del Cuadrado de una Diferencia
$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$
Cuando encontramos dos números con un signo menos entre ellos - es decir, una diferencia, y están envueltos en paréntesis y elevados como una sola expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.

La Fórmula del Cuadrado de una Suma
$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$
- Cuando encontramos dos números con un signo más entre ellos - es decir una suma, y están encerrados en paréntesis y elevados como una sola expresión al cuadrado, podemos usar esta fórmula.

Fórmulas relacionadas con dos expresiones elevadas a la potencia de 3
$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$
Una forma de expresar la suma de dos términos, cuando están encerrados entre paréntesis y elevados como una sola expresión a la potencia de tres.
$(a-b)^3=a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$
Una forma de expresar la diferencia de dos términos, cuando están encerrados entre paréntesis y elevados como una sola expresión a la potencia de tres.

¿Y ahora? ¡Practiquemos ejercicios que combinan varias fórmulas de cuadrados perfectos!
¿Listos?
Aquí hay un ejercicio:
Resuelve el siguiente ejercicio usando las fórmulas de cuadrados perfectos -
$x^2+4+(5x+1)^2=(4x-1)^2+(x+2)\cdot (x-2)$

Solución:
Aunque el ejercicio parece complejo, si lo resolvemos paso a paso usando las fórmulas de los cuadrados, verás que es simple y fácil de resolver.
Empecemos leyendo el ejercicio de izquierda a derecha y entendamos qué expresión puede coincidir con una fórmula de cuadrado.
$(5x+1)^2$
Esta expresión coincide con la fórmula del cuadrado de una suma -
La fórmula del cuadrado de una suma
$(X + Y)^2=X^2+ 2XY + Y^2$
Por lo tanto
$​​​​​​​(5x+1)^2=5^2+2\cdot 5x\cdot 1+1^2$
$(5x+1)^2=25x^2+10x+1$
Escribamos esto en el ejercicio original y obtenemos:
$x^2+4+25x^2+10x+1=(4x-1)^2+(x+2)\cdot (x-2)$
Continuemos leyendo el ejercicio... ajá
La expresión
$(4x-1)^2$
coincide con la fórmula del cuadrado de una diferencia
La fórmula del cuadrado de una diferencia
$(X - Y)^2=X^2 - 2XY + Y^2$
Por lo tanto
$(4x-1)^2=16x^2-8x+1$
Escribamos esto en el ejercicio original después de haberlo resuelto y obtenemos:
$x^2+4+25x^2+10x+1=16x^2-8x+1+(x+2)\cdot (x-2)$
Continuemos leyendo el ejercicio... ajá
La expresión
$(x+2)\cdot (x-2)$
coincide con la fórmula del producto de suma y diferencia
$(X + Y)\cdot(X - Y) = X^2 - Y^2$
Por lo tanto podemos reemplazar
$(x+2)\cdot (x-2)$
con$x^2-2^2$
Escribamos esto en el ejercicio original después de haberlo resuelto:
$x^2+4+25x^2+10x+1=16x^2-8x+1+ x^2-2^2$

Nota - podemos escribir $2^2=4$ y obtener lo siguiente:
$x^2+4+25x^2+10x+1=16x^2-8x+1+ x^2-4$
¡Excelente! Observa que podemos cancelar $x^2-4$ en ambos lados y obtener:
$25x^2+10x+1=16x^2-8x+1$
Movemos términos a un lado y obtenemos:
$9x^2+18x=0$
Factorizamos:
$9x(x^2+2)=0$
Para que la ecuación sea igual a cero, podemos sustituir $0$ una vez
porque $9x=0$
$x=0$
Y una segunda solución:
$(x^2+2)=0$
Esta expresión nunca será igual a cero porque $x^2$ nunca será negativo, así que solo hay una solución que es $x=0$