Práctica de Partes del Círculo: Problemas y Ejercicios

Domina cuerdas, arcos, ángulos centrales e inscritos con ejercicios paso a paso. Aprende tangentes y perpendiculares al centro del círculo.

📚¿Qué aprenderás practicando las partes del círculo?
  • Identificar y calcular medidas de cuerdas y diámetros en círculos
  • Resolver problemas con arcos y ángulos centrales
  • Aplicar la relación entre ángulos centrales e inscritos
  • Calcular distancias de cuerdas al centro del círculo
  • Determinar ángulos formados por tangentes y cuerdas
  • Resolver ejercicios con perpendiculares desde el centro a cuerdas

Entendiendo la Las partes del círculo

Explicación completa con ejemplos

Componentes del Circuito

ABAB cuerda
ACAC arco
DMEDME ángulo central es 22 veces más grande que el ángulo inscrito DFEDFE – ambos interceptando el mismo arco

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Practicar Las partes del círculo

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¿Cuántas veces mayor es la longitud del radio del círculo rojo que la longitud del radio del círculo azul?

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ejemplos con soluciones para Las partes del círculo

Soluciones paso a paso incluidas
Ejercicio #1

Dado un círculo cuya ecuación es:
x28ax+y2+10ay=5a2 x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2

El punto O es su centro y está en el segundo cuadrante (a0 a\neq0 )


Usa el método de completar el cuadrado para encontrar el centro del círculo y su radio en términos de a a .

Solución Paso a Paso

 Recordemos que la ecuación de un círculo con su centro en O(xo,yo) O(x_o,y_o) y su radio R R es:

(xxo)2+(yyo)2=R2 (x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2 Ahora, veamos la ecuación del círculo dado:

x28ax+y2+10ay=5a2 x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2
Intentaremos reorganizar esta ecuación para que coincida con la ecuación del círculo, o en otras palabras, nos aseguraremos de que en el lado izquierdo esté la suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y.

Haremos esto utilizando el método de "completar el cuadrado":

Recordemos la fórmula corta para elevar un binomio al cuadrado:

(c±d)2=c2±2cd+d2 (c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2 Trataremos por separado la parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):

x28ax+y2+10ay=5a2 \underline{ x^2-8ax}+y^2+10ay=-5a^2

Aislaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado.

Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula abreviada (elegiremos la forma de resta de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando es8ax 8ax , que tiene un signo negativo):

x28axc22cd+d2x22x4ac22cd+d2 \underline{ x^2-8ax} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \downarrow\\ \underline{\textcolor{red}{x}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\ Observa que en comparación con la fórmula corta (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior), en realidad estamos haciendo la comparación:

{xc4ad \begin{cases} x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 4a\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases} Por lo tanto, si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados en el cálculo), necesitaremos agregar el término(4</span><spanclass="katex">a)2 (4</span><span class="katex">a)^2 , pero no queremos cambiar el valor de la expresión, y por lo tanto también restaremos este término de la expresión.

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma del binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

A continuación, pondremos la expresión en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada con colores) y en la última etapa simplificaremos la expresión:

x22x4ax22x4a+(4a)2(4a)2x22x4a+(4a)216a2(x4a)216a2 x^2-2\cdot x\cdot 4a\\ x^2-2\cdot x\cdot4a\underline{\underline{+(4a)^2-(4a)^2}}\\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}+(\textcolor{green}{4a})^2-16a^2\\ \downarrow\\ \boxed{ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2}\\ Resumamos los pasos que hemos dado hasta ahora para la expresión con x.

Haremos esto dentro de la ecuación dada:

x28ax+y2+10ay=5a2x22x4a+(4a)2(4a)2+y2+10ay=5a2(x4a)216a2+y2+10ay=5a2 x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2 \\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{green}{4a}\underline{\underline{+\textcolor{green}{(4a)}^2-(4a)^2}}+y^2+10ay=-5a^2\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2+y^2+10ay=-5a^2\\ Continuaremos y haremos lo mismo para las expresiones con y en la ecuación resultante:

(Ahora elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando 10ay 10ay tiene un signo positivo)

(x4a)216a2+y2+10ay=5a2(x4a)216a2+y2+2y5a=5a2(x4a)216a2+y2+2y5a+(5a)2(5a)2=5a2(x4a)216a2+y2+2y5a+(5a)225a2=5a2(x4a)216a2+(y+5a)225a2=5a2(x4a)2+(y+5a)2=36a2 (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+10ay}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a}=-5a^2\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a\underline{\underline{+(5a)^2-(5a)^2}}}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{\textcolor{red}{y}^2+2\cdot\textcolor{red}{ y}\cdot \textcolor{green}{5a}+\textcolor{green}{(5a)}^2-25a^2}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+(\textcolor{red}{y}+\textcolor{green}{5a})^2-25a^2=-5a^2\\ \boxed{(x-4a)^2+(y+5a)^2=36a^2} En el último paso, movemos los números libres al segundo lado y combinamos términos semejantes.

Ahora que la ecuación del círculo dado está en la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer fácilmente tanto el centro del círculo dado como su radio:

(xxo)2+(yyo)2=R2(x4a)2+(y+5a)2=36a2(x4a)2+(y(5a))2=36a2 (x-\textcolor{purple}{x_o})^2+(y-\textcolor{orange}{y_o})^2=\underline{\underline{R^2}} \\ \updownarrow \\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y+\textcolor{orange}{5a})^2=\underline{\underline{36a^2}}\\ \downarrow\\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y\stackrel{\downarrow}{- }(-\textcolor{orange}{5a}))^2=\underline{\underline{36a^2}}\\

En el último paso, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo, es decir, donde solo se realiza resta dentro de las expresiones al cuadrado (enfatizado con una flecha)

Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en:O(xo,yo)O(4a,5a) \boxed{O(x_o,y_o)\leftrightarrow O(4a,-5a)} y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:

R2=36a2/R=±6a R^2=36a^2\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \rightarrow \boxed{R=\pm6a}

Recuerda que el radio del círculo, por su definición, es la distancia entre cualquier punto del diámetro y el centro del círculo. Como es positivo, debemos descalificar una de las opciones que obtuvimos para el radio.

Para hacer esto, utilizaremos la información restante que no hemos usado aún, que es que el centro del círculo dado O está en el segundo cuadrante.

Es decir:

O(x_o,y_o)\leftrightarrow x_o<0,\hspace{4pt}y_o>0 (O en palabras: el valor de x del centro del círculo es negativo y el valor de y del centro del círculo es positivo)

Por lo tanto, debe ser cierto que:

\begin{cases} x_o<0\rightarrow (x_o=4a)\rightarrow 4a<0\rightarrow\boxed{a<0}\\ y_o>0\rightarrow (y_o=-5a)\rightarrow -5a>0\rightarrow\boxed{a<0} \end{cases}

Concluimos que a<0 y como el radio del círculo es positivo, concluimos que necesariamente:

R=6a \rightarrow \boxed{R=-6a} Resumamos:

O(4a,5a),R=6a \boxed{O(4a,-5a), \hspace{4pt}R=-6a} Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d. 

Respuesta:

O(4a,5a),R=6a O(4a,-5a),\hspace{4pt}R=-6a

Ejercicio #2

¿En cuál de los círculos está el punto marcado en el círculo y no sobre la circunferencia?

Solución Paso a Paso

Respuesta:

Solución en video
Ejercicio #3

¿En cuál de los círculos el segmento trazado es el radio?

Solución Paso a Paso

Respuesta:

Solución en video
Ejercicio #4

¿Cuántas veces mayor es la longitud del radio del círculo rojo que la longitud del radio del círculo azul?

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Solución Paso a Paso

Respuesta:

5

Solución en video
Ejercicio #5

¿Cuántas veces mayor es el radio del círculo rojo cuyo diámetro es 24 que el radio del círculo azul cuyo diámetro es 12?

Solución Paso a Paso

Respuesta:

2

Solución en video

Preguntas Frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una cuerda y un radio en un círculo?

+
Una cuerda conecta dos puntos ubicados en la circunferencia del círculo, mientras que un radio conecta el centro del círculo con un punto en la circunferencia. El diámetro es la cuerda más larga posible en un círculo.

¿Cómo se relacionan los ángulos centrales e inscritos que interceptan el mismo arco?

+
El ángulo central es siempre el doble del ángulo inscrito cuando ambos interceptan el mismo arco. Por ejemplo, si un ángulo inscrito mide 30°, el ángulo central correspondiente medirá 60°.

¿Qué propiedades tiene una perpendicular desde el centro a una cuerda?

+
Una perpendicular desde el centro del círculo a una cuerda: 1) Biseca la cuerda en dos partes iguales, 2) Crea un ángulo recto con la cuerda, 3) Biseca el ángulo central y el arco correspondiente.

¿Cómo determinar si dos ángulos centrales son iguales?

+
Dos ángulos centrales son iguales cuando: están subtendidos por arcos iguales, o cuando las cuerdas opuestas a los ángulos son iguales en longitud.

¿Qué es un arco en un círculo y cómo se diferencia de una cuerda?

+
Un arco es parte de la circunferencia del círculo entre dos puntos, con forma de arcoíris. Una cuerda es una línea recta que atraviesa el círculo conectando esos mismos puntos.

¿Cuáles son las propiedades principales de las tangentes a un círculo?

+
Las tangentes: 1) Tocan el círculo en un solo punto, 2) Son perpendiculares al radio en el punto de tangencia, 3) Dos tangentes desde el mismo punto exterior tienen igual longitud, 4) El ángulo entre tangente y cuerda iguala al ángulo inscrito correspondiente.

¿Cómo afecta la distancia de una cuerda al centro en su longitud?

+
Cuerdas iguales están a distancias iguales del centro. Si una cuerda está más cerca del centro que otra, entonces la cuerda más cercana es más larga que la más lejana.

¿Cuándo son iguales los ángulos inscritos en un círculo?

+
Los ángulos inscritos son iguales cuando se basan en la misma cuerda desde el mismo lado del círculo, o cuando interceptan arcos iguales o cuerdas iguales.

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