Ejercicios Distancia de Cuerdas al Centro del Círculo

 Recordemos que la ecuación de un círculo con su centro en $O(x_o,y_o)$ y su radio $R$ es:

$(x-x_o)^2+(y-y_o)^2=R^2$Ahora, veamos la ecuación del círculo dado:

$x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2$
Intentaremos reorganizar esta ecuación para que coincida con la ecuación del círculo, o en otras palabras, nos aseguraremos de que en el lado izquierdo esté la suma de dos expresiones binomiales al cuadrado, una para x y otra para y.

Haremos esto utilizando el método de "completar el cuadrado":

Recordemos la fórmula corta para elevar un binomio al cuadrado:

$(c\pm d)^2=c^2\pm2cd+d^2$Trataremos por separado la parte de la ecuación relacionada con x en la ecuación (subrayada):

$\underline{ x^2-8ax}+y^2+10ay=-5a^2$

Aislaremos estos dos términos de la ecuación y los trataremos por separado.

Presentaremos estos términos en una forma similar a la forma de los dos primeros términos en la fórmula abreviada (elegiremos la forma de resta de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando es$8ax$$$, que tiene un signo negativo):

$\underline{ x^2-8ax} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ c^2-2cd+d^2 }\\ \downarrow\\ \underline{\textcolor{red}{x}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}} \textcolor{blue}{\leftrightarrow} \underline{ \textcolor{red}{c}^2\stackrel{\downarrow}{-2 }\textcolor{red}{c}\textcolor{green}{d}\hspace{2pt}\boxed{+\textcolor{green}{d}^2}} \\$Observa que en comparación con la fórmula corta (que está en el lado derecho de la flecha azul en el cálculo anterior), en realidad estamos haciendo la comparación:

$\begin{cases} x\textcolor{blue}{\leftrightarrow}c\\ 4a\textcolor{blue}{\leftrightarrow}d \end{cases}$ Por lo tanto, si queremos obtener una forma de binomio al cuadrado de estos dos términos (subrayados en el cálculo), necesitaremos agregar el término$(4</span><span class="katex">a)^2$, pero no queremos cambiar el valor de la expresión, y por lo tanto también restaremos este término de la expresión.

Es decir, agregaremos y restaremos el término (o expresión) que necesitamos para "completar" la forma del binomio al cuadrado,

En el siguiente cálculo, el "truco" está resaltado (dos líneas bajo el término que agregamos y restamos de la expresión),

A continuación, pondremos la expresión en la forma de binomio al cuadrado la expresión apropiada (resaltada con colores) y en la última etapa simplificaremos la expresión:

$x^2-2\cdot x\cdot 4a\\ x^2-2\cdot x\cdot4a\underline{\underline{+(4a)^2-(4a)^2}}\\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot \textcolor{green}{4a}+(\textcolor{green}{4a})^2-16a^2\\ \downarrow\\ \boxed{ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2}\\$Resumamos los pasos que hemos dado hasta ahora para la expresión con x.

Haremos esto dentro de la ecuación dada:

$x^2-8ax+y^2+10ay=-5a^2 \\ \textcolor{red}{x}^2-2\cdot \textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{green}{4a}\underline{\underline{+\textcolor{green}{(4a)}^2-(4a)^2}}+y^2+10ay=-5a^2\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}-\textcolor{green}{4a})^2-16a^2+y^2+10ay=-5a^2\\$Continuaremos y haremos lo mismo para las expresiones con y en la ecuación resultante:

(Ahora elegiremos la forma de adición de la fórmula del binomio al cuadrado ya que el término en la primera potencia con el que estamos tratando $10ay$$$ tiene un signo positivo)

$(x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+10ay}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a}=-5a^2\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{y^2+2\cdot y \cdot 5a\underline{\underline{+(5a)^2-(5a)^2}}}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+\underline{\textcolor{red}{y}^2+2\cdot\textcolor{red}{ y}\cdot \textcolor{green}{5a}+\textcolor{green}{(5a)}^2-25a^2}=-5a^2\\ \downarrow\\ (x-4a)^2-16a^2+(\textcolor{red}{y}+\textcolor{green}{5a})^2-25a^2=-5a^2\\ \boxed{(x-4a)^2+(y+5a)^2=36a^2}$En el último paso, movemos los números libres al segundo lado y combinamos términos semejantes.

Ahora que la ecuación del círculo dado está en la forma de la ecuación general del círculo mencionada anteriormente, podemos extraer fácilmente tanto el centro del círculo dado como su radio:

$(x-\textcolor{purple}{x_o})^2+(y-\textcolor{orange}{y_o})^2=\underline{\underline{R^2}} \\ \updownarrow \\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y+\textcolor{orange}{5a})^2=\underline{\underline{36a^2}}\\ \downarrow\\ (x-\textcolor{purple}{4a})^2+(y\stackrel{\downarrow}{- }(-\textcolor{orange}{5a}))^2=\underline{\underline{36a^2}}\\$

En el último paso, nos aseguramos de obtener la forma exacta de la ecuación general del círculo, es decir, donde solo se realiza resta dentro de las expresiones al cuadrado (enfatizado con una flecha)

Por lo tanto, podemos concluir que el centro del círculo está en:$\boxed{O(x_o,y_o)\leftrightarrow O(4a,-5a)}$ y extraer el radio del círculo resolviendo una ecuación simple:

$R^2=36a^2\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \rightarrow \boxed{R=\pm6a}$

Recuerda que el radio del círculo, por su definición, es la distancia entre cualquier punto del diámetro y el centro del círculo. Como es positivo, debemos descalificar una de las opciones que obtuvimos para el radio.

Para hacer esto, utilizaremos la información restante que no hemos usado aún, que es que el centro del círculo dado O está en el segundo cuadrante.

Es decir:

O(x_o,y_o)\leftrightarrow x_o<0,\hspace{4pt}y_o>0 (O en palabras: el valor de x del centro del círculo es negativo y el valor de y del centro del círculo es positivo)

Por lo tanto, debe ser cierto que:

\begin{cases} x_o<0\rightarrow (x_o=4a)\rightarrow 4a<0\rightarrow\boxed{a<0}\\ y_o>0\rightarrow (y_o=-5a)\rightarrow -5a>0\rightarrow\boxed{a<0} \end{cases}

Concluimos que a<0 y como el radio del círculo es positivo, concluimos que necesariamente:

$\rightarrow \boxed{R=-6a}$Resumamos:

$\boxed{O(4a,-5a), \hspace{4pt}R=-6a}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.