Ángulo central en un círculo

Estamos aquí para definir qué es un ángulo central en un círculo y darte consejos para recordar su definición y propiedades de la mejor y más lógica manera.
Antes de hablar sobre el ángulo central en un círculo, tomemos un momento para mirar su nombre - un ángulo central.

Mediante su nombre, podemos reconocer que tiene alguna conexión con el centro del círculo.
Genial, ahora vamos a pasar a la definición de un ángulo central y tendrá mucho más sentido para nosotros.

imagen 1 - Un ángulo central en un círculo

¿Qué es un ángulo central en un círculo?
Un ángulo central en un círculo es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y sus extremos son los radios del círculo
Por lo tanto, sus extremos están en la parte superior del círculo.
Si conectamos todos los ángulos centrales en el mismo círculo completo - obtendremos \( 360° \).

Frente a nosotros hay un círculo.
Marcaremos el centro del círculo con la letra \( A \).

El punto A es el centro de la circunferencia.

Contamos que un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo
y sus lados son los radios del círculo.
Por lo tanto, si trazamos dos radios, se formará un ángulo.
El ángulo que se creará será un ángulo central en el círculo.

El ángulo que se creará será un ángulo central en el círculo

Ahora que ya sabemos qué es un ángulo central en un círculo y podemos identificarlo fácilmente,
debemos conocer algunos teoremas y características importantes de un ángulo central en un círculo.
¿Empezamos?


Ángulo central en el círculo

¿Cuándo podemos determinar que dos ángulos centrales en un círculo son iguales?
En dos casos:

  • Si los arcos sobre los que se inclinan los ángulos son iguales, entonces podemos determinar que los ángulos centrales son iguales.

Veamos esto en la figura:

Si los ángulos centrales son iguales, los arcos delante de ellos también son iguales

Si \(BC=DE\)
Entonces \(∢A1=∢A2\)

Si los arcos delante de los ángulos centrales son iguales, entonces los ángulos centrales son iguales.


De la misma manera, el teorema funciona al revés.
Si los ángulos centrales son iguales, los arcos delante de ellos también son iguales.

  • Si las cuerdas opuestas a los ángulos centrales son iguales, entonces podemos determinar que los ángulos centrales son iguales.

Veamos esto en la figura:

Si los ángulos centrales son iguales, los arcos delante de ellos también son iguales

Si \(BC=DE\)
entonces \(∢A1=∢A2\)

Si las cuerdas delante de los ángulos centrales son iguales, entonces los ángulos centrales son iguales.
De la misma manera, el teorema funciona al revés.
Si los ángulos centrales son iguales, las cuerdas delante de ellos también son iguales.


Ángulo inscrito:

Ahora aprenderemos la relación entre un ángulo central en un círculo y un ángulo inscrito en un círculo.
Recuerde que un ángulo inscrito en un círculo es un ángulo cuyo vértice está en la parte superior del círculo y cuyos extremos son cuerdas en un círculo.
Como aquí:

Ángulo inscrito


La relación entre un ángulo central y un ángulo inscrito en un círculo:

En un círculo, el ángulo central será el doble del ángulo inscrito que se inclina sobre el mismo arco.
O bien, el ángulo inscrito será igual a la mitad del ángulo central que se inclina sobre el mismo arco.

Es decir:
Si en el círculo identificamos un ángulo central y un ángulo inscrito que se se inclinan sobre el mismo arco, podemos decir que como se inclinan sobre el mismo arco, el ángulo inscrito será igual a la mitad del ángulo central o alternativamente, el ángulo central será el doble del ángulo inscrito.
Y lo veremos en la ilustración:

El ángulo inscrito en el círculo será la mitad del ángulo central que se inclina sobre el mismo arco

Ante nosotros hay un círculo.

Podemos identificar que el ángulo \(A\) es un ángulo central, que sale del vértice del círculo y sus radios de los extremos, mientras que un ángulo \(B\) es un ángulo inscrito - un vértice está en el círculo y sus extremos son cuerdas.
También podemos ver que estos dos ángulos se inclinan - están en el mismo arco - \(CD\)
Por lo tanto, podemos concluir que el ángulo inscrito \(B\) es igual a la mitad del ángulo central \(A\) o alternativamente, el ángulo \(A\) es igual al doble del ángulo \(B\).

\(∢A=α\)
\(∢B=1/2 α\)

\(∢A=2α\)
\(∢B=α\)

¡Maravilloso!

Ahora entendemos la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central. Vale la pena conocer más representaciones diferentes de ángulos inscritos y centrales que están en el mismo arco:

4 - angulos inscritos y centrales que se encuentran en el mismo arco

3 -  ángulos inscritos y centrales que se encuentran en el mismo arco

Veamos un ejemplo numérico:

2- Un ejemplo numérico de los ángulos inscritos y central que se encuentran en el mismo arco

Si en un círculo nos dan que el ángulo inscrito tiene \( 5 \) grados y nos preguntan cuál es el valor del ángulo central marcado,
podemos ver que se inclinan sobre el mismo arco y por lo tanto determinar que el ángulo central es \( 2 \) veces mayor que el ángulo inscrito que se inclina sobre el mismo arco.
Se deduce
que el ángulo central marcado es igual a \( 10 \).
\( 5\times2=10 \)