Potencia de una potencia

Potencia de una potencia

Cuando tengamos una expresión elevada a una potencia que, a su vez, se eleve (entre paréntesis) a otra potencia, podremos multiplicar los exponentes y elevar el número base al resultado de esta multiplicación.
Fórmula de la propiedad:
\( (a^n)^m=a^{(n\times m)} \)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Cuando existe una potencia dentro de un paréntesis.

Potencia de una potencia ejemplos básicos:

Ejemplo 1:
\((4^3 )^2=\)
Podemos ver que el exponente \( 2 \) se aplica a toda la expresión \( 4^3 \).
por lo tanto, podemos multiplicar ambos exponentes y elevar la base al resultado de la multiplicación.
Obtendremos:
\( 4^{3\times2}=4^6=4096 \)


Si nos presentaran un ejercicio en el que hay cierta potencia sobre un término que ya tiene otra potencia, multiplicaremos las potencias que tienen bases iguales.

Ejemplo 2:

Comencemos con uno sencillo:

\( (X^{6-3})^4= \)

Veremos que hay una resta en los exponentes de la \( X \) y que, primero, debemos ocuparnos de ella.

Haremos esto y obtendremos:

\( (X^3)^4= \)

Ahora podemos aplicar la propiedad de potencia de una potencia y multiplicar los exponentes, obtendremos:

\( X^{12} \)


Bien. Pasemos a un ejemplo más complicado:

Ejemplo 3:

\( (\frac{2X^2}{X})^4\cdot(\frac{4Y^2}{Y})^3= \)

Recomendación:

Antes de aplicar la potencia ubicada fuera de los paréntesis a cada uno de los términos por separado, primero, es conveniente observar cuidadosamente el ejercicio.

Al observarlo, te darás cuenta de que puedes reducir o sustraer exponentes de las fracciones mismas, antes de tocar el exponente ubicado fuera de los paréntesis.

Restaremos los exponentes de las bases correspondientes (reduciremos) y obtendremos:

\( (2X)^4\cdot(4Y)^3= \)

Ahora podemos aplicar el exponente a cada uno de los términos por separado (no hay que olvidarse de los coeficientes) y nos dará:

\( 16X^4\cdot64Y^3= \)

Podemos intentar encontrar un término común para ordenar mejor el ejercicio y obtendremos:

\( 16(X^4\cdot4Y^3) \)


¡Perfecto! Ahora, pasemos a un ejemplo complejo y un poco diferente:

Potencia de una potencia ejemplos avanzados:

Ejemplo 4:

\( (2^{X+3})^X\cdot(2^X)^4= \)

No te preocupes, también si hay operaciones matemáticas entre los exponentes las propiedades no cambian.

Comencemos con la primera expresión que es un poco más compleja. Aprendimos que, cuando tenemos una potencia de potencia multiplicamos los exponentes.

Multiplicaremos todo el exponente que está dentro de los paréntesis por todo el exponente ubicado fuera de los paréntesis. Haremos lo mismo con el otro término y obtendremos:

\( 2^{(X+3)\cdot X}\cdot2^{4X}= \)

Multiplicaremos los exponentes de la primera expresión y obtendremos:

\( 2^{X^2+3X}\cdot2^{4X}= \)

Ahora recordemos que, si tenemos una operación de multiplicar entre bases iguales podemos sumar los exponentes.

Haremos esto y obtendremos:

\( 2^{X^2+3X+4X}= \)

Simplificamos términos en el exponente y nos dará:

\( 2^{X^2+7X}= \)


Ejemplo 5:

Simplifica la siguiente expresión:

\( \frac{\left(3x^3y^2\right)^2\left(2x^2y^4\right)^4}{\left(2xy^2\right)^3} \)

Para simplificar la expresión primero aplicamos la propiedad de potencia de un producto, la cual nos permite elevar a la potencia indicada cada uno de los factores dentro del paréntesis, posteriormente aplicamos la propiedad de potencia de una potencia. Obtenemos:

\( \frac{\left(3^2\left(x^3\right)^2\left(y^2\right)^2\right)\cdot\left(2^4\left(x^2\right)^4\left(y^4\right)^4\right)}{2^3\left(x^{}\right)^3\left(y^2\right)^3}=\frac{\left(9x^6y^4\right)\cdot\left(16x^8y^{16}\right)}{8x^3y^6} \)

Finalmente aplicamos las propiedades de productos y cocientes de potencias de la misma base:

\( \frac{144x^{6+8}y^{4+16}}{8x^3y^6}=\frac{114x^{14}y^{20}}{8x^3y^6}=18x^{14-3}y^{20-6}=18x^{11}y^{14} \)


Ejercicios de Potencia de una potencia

Ejercicios básicos de Potencia de una potencia:

\( \left(4^2\right)^2= \)

\( \left(3^3\right)^2= \)

\( \left(2^2\right)^2= \)

\( \left(5^2\right)^5= \)

\( \left(7^2\right)^2= \)


Ejercicios de Potencia de una potencia:

\( \left(X^{2-4}\right)^2= \)

\( \left(X^{2+4}\right)^3= \)

\( \left(X^{21-7}\right)^2= \)

\( \left(X^{11-9}\right)^3= \)

\( \left(X^{5-3}\right)^3= \)


Ejercicios de Potencia de una potencia nivel medio

\( (\frac{4X^5}{X})^2\cdot(\frac{3Y^3}{Y})^3= \)

\( (\frac{4Y^5}{2Y})^2\cdot(\frac{Y^4}{2Y})^4= \)

\( (\frac{2X^5}{2X})^3\cdot(\frac{X^3}{2X})^3= \)

\( (\frac{2Y^5}{2Y^5})^3\cdot(\frac{X^3}{2X^3})^3= \)

\( (\frac{2Y^5}{2Y^5})^3\cdot(\frac{X^3}{2X^3})^3\cdot(\frac{2Y^3}{2Y^6})^2\cdot(\frac{X^2}{2X^2})^2= \)


Potencia de una potencia ejercicios de nivel avanzado

\( (3^{X+7})^X\cdot(3^X)^3= \)

\( (2^{X-2})^X\cdot(3^{X-2})^6= \)

\( (3^{X-3})^X\cdot(3^{X-3})^3= \)

\( (3^{2-3})^2\cdot(7^{X-5})^2= \)

\( (8^{X-3})^X\cdot(72^{X+2})^X= \)


Preguntas de Repaso

¿Qué es la potencia de una potencia?

Una potencia de una potencia es una expresión en la cual elevamos a una potencia una expresión que ya es una potencia.

¿Qué es potencia de una potencia y ejemplo?

Una potencia de una potencia es una potencia en la que la base también es una potencia, por ejemplo:

  • \( \left(3^2\right)^5 \)
  • \( \left(5^{2x+1}\right)^2 \)

¿Cómo se hace la potencia de una potencia?

Para resolver una potencia de potencia debemos multiplicar los exponentes, el resultado de la multiplicación se le coloca como exponente a la base inicial.


Ejercicios de potencia de una potencia

Ejercicio 1:

Consigna

\( 2^3\times2^4+(4^3)^2+\frac{2^5}{2^3}= \)

Solución

\( 2^3\cdot2^4+\left(4^3\right)^2+\frac{2^5}{2^3}= \)

\( 2^{3+4}+4^{3\cdot2}+2^{\left(5-3\right)}= \)

\( 2^7+4^6+2^2 \)

Respuesta

\( 2^2+2^7+4^6 \)


Ejercicio 2:

Consigna

\( (4^x)^y= \)

Solución

\( \left(4^x\right)^y=4^{x\cdot y} \)

Respuesta

\( 4^{xy} \)


Ejercicio 3:

Consigna

\( (2^2)^3+(3^3)^4+(9^2)^6= \)

Solución

Usaremos la fórmula

\( \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \)

\( 2^{2\cdot3}+3^{3\cdot4}\cdot9^{2\cdot6}= \)

\( 2^6+3^{12}\cdot9^{12} \)

Respuesta

\( 2^6+3^{12}+9^{12} \)


Ejercicio 4:

Consigna

\( (4^2)^3+(g^3)^4= \)

Solución

Usaremos la fórmula

\( \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \)

\( 4^{2\cdot3}+9^{3\cdot4}= \)

\( 4^6+9^{12} \)

Respuesta

\( 4^6+9^{12} \)


Ejercicio 5:

Consigna

\( ((7\times3)^2)^6+(3^{-1})^3\times(2^3)^4= \)

Solución

Usaremos la fórmula

\( \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \)

\( (7\cdot3)^{2\cdot6}+3^{-1\cdot3}\cdot2^{3\cdot4}= \)

\( 21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12} \)

Respuesta

\( 21^{12}+3^{-3}\cdot2^{12} \)