Tipos de ángulos

🏆Ejercicios de suma y diferencia de angulos

¿Qué es un ángulo?

Definición: Los ángulos se crean en la intersección entre dos rectas. Como se ve en la siguiente ilustración

Los ángulos se crean en la intersección entre dos rectas

El ángulo en la ilustración es el denominado AB AB . También podríamos llamarlo ángulo ABC \sphericalangle ABC . Lo importante es que la letra del medio sea la de la intersección de las rectas.

Por ejemplo, en este caso:

También podríamos llamarlo ángulo ABC

El ángulo es BCD \sphericalangle BCD o DCB \sphericalangle DCB . Ambas señalizaciones son adecuadas para el mismo ángulo.

Por lo general marcaremos el ángulo con un arco del siguiente modo:

El ángulo es BCD

El ángulo marcado es ABC ∡ABC . A veces señalaremos los ángulos con letras griegas, por ejemplo:

α α

o

β β

Antes del nombre del ángulo deberemos anotar el símbolo de ángulo, así:

Junto se ve así:

CBA ∡CBA

o

α ∡α

A continuación, profundizaremos acerca del tamaño de los ángulos, de los diferentes tipos y de aquellos que se generan cuando una recta pasa entre dos rectas paralelas.

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¡Pruébate en suma y diferencia de angulos!

einstein

Dados los tres ángulos:

Ángulo A es igual a 56°
Ángulo B es igual a 89°
Ángulo C es igual a 17°

¿Estos ángulos pueden componer un triángulo?

Quiz y otros ejercicios

Puede haber dos ángulos iguales, o sea que miden lo mismo; asimismo, cierto ángulo puede ser mayor que otro según sus medidas. 

Por ejemplo, un ángulo de 60º 60º es mayor que uno de 45º 45º , y dos ángulos de 30º 30º son iguales. 

imagen 1-1 Angulos_iguales

Ángulo mayor que el otro:

imagen 2-2 un_angulo_mas_pequeno_del_otro.

Ángulos de diferentes tamaños:

imagen 3-3 Diferentes_tamanos_de_angulos

Observa que en estos ejemplos se crearon dos ángulos, pero en esta fase elegiremos referirnos al ángulo agudo (en seguida recordaremos qué es un ángulo agudo).

Por ejemplo, en la siguiente ilustración:

Se crearon dos ángulos tal como se ve en el dibujo:

ejemplos se crearon dos ángulos

Nosotros, en esta fase, sólo nos referiremos al ángulo agudo de entre los dos, el más pequeño, el que está comprendido entre las dos rectas. Este punto podría llegar a ser un poco confuso, pero no te preocupes porque muy pronto te quedará claro.

¿Cómo se mide un ángulo?

Los ángulos se miden en grados. Un círculo entero representa 360° 360° grados.

Lo veremos representado muy claramente en la siguiente ilustración:

Ángulo agudo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo llano 180

Te puedes imaginar que si seguimos aumentando el ángulo llegaremos finalmente a un círculo completo.

Siempre que queramos señalar el tamaño del ángulo escribiremos al lado del número la señal de los grados. Se trata de un círculo pequeño que se anota a la derecha del número que representa el tamaño del ángulo.

Se ve así: 90° 90° .

En palabras : 90 90 grados.


Ángulo agudo

Definición: Un ángulo agudo es uno que mide menos que 90° 90° :

Se ve así:

ángulo agudo es uno que mide menos que 90º


Ángulo recto

Definición: Un ángulo recto es uno que mide exactamente 90° 90° :

Se ve así:

Un ángulo recto es uno que mide exactamente 90º

Observa que la señalización del ángulo recto no es como la de los demás ángulos. No se marca con un arco sino con un símbolo que se ve así


Ángulo obtuso

Definición: Un ángulo obtuso es mayor de 90° 90° y menor de 180° 180° :

Se ve así:

Ángulo obtuso, mayor de 90°


Ángulo llano

Definición: Un ángulo llano o Ángulo plano mide exactamente 180° 180° .

Se ve así:

Ángulo lleno, igual a 180°

A continuación, aprenderemos a calcular el tamaño de los ángulos. Por ahora nos conformaremos con saber que el ángulo recto es mayor que el agudo, y que el obtuso es mayor que el recto. Eso nos queda claro de forma intuitiva.

Por ejemplo, este ángulo:

El ángulo agudo es es menor que el ángulo obtuso

CBA ∡CBA es menor que éste: DEF ∡DEF

Lo escribiremos así:

CBA<DEF ∡CBA<∡DEF


Ángulos opuestos por el vértice

Definición: Los ángulos opuestos por el vértice se forman por dos rectas que se cruzan, mientras que ellos se encuentran uno frente al otro.

Por ejemplo:

imagen 11- Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos marcados de rojo y también los de azul son opuestos por el vértice. Los ángulos de todo par de ángulos opuestos por el vértice son iguales (profundizaremos sobre esto en otros artículos).


Ángulo entre rectas paralelas:

Definición: Recapitulación: dos rectas paralelas son rectas que no se encuentran nunca.

Se ve así:

Imagen 9 - Rectas paralelas

La recta 1 y la recta 2 son rectas paralelas. Ahora trazaremos otra recta, que cruza a cada una de las rectas paralelas.

Se ve así:

imagen 10 - Ángulos entre rectas paralelas

Es decir, en la intersección entre las dos rectas y la tercera se crearon 8 ángulos (marcados en la ilustración). Es importante aclarar que, aunque las rectas no fueran paralelas se crearían 8 ángulos. Ahora conoceremos los tipos de ángulos que se han creado.


Ángulos correspondientes

Definición: Los ángulos correspondientes son los que se encuentran del mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas y están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño.

Esta definición podría parecer un poco confusa, pero la ilustración deja bien claro qué son los ángulos correspondientes:

imagen 14 - ángulos correspondientes

Los dos ángulos marcados de rojo son ángulos correspondientes. Por lo tanto, también son iguales. Asimismo, los ángulos marcados de azul también son ángulos correspondientes, es decir son iguales entre ellos. Ésta es una información muy importante que nos ayudará luego. Intenta determinar qué ángulo es agudo y cuál es obtuso.


Ángulos adyacentes

Definición: Los ángulos adyacentes son dos ángulos que juntos crean un ángulo llano (es decir, de 180° 180° ). A continuación, aprenderemos el significado de la suma de los ángulos.

Por ejemplo:

imagen 12 - Los ángulos adyacentes

Estos dos ángulos son ángulos adyacentes.

Otro ejemplo:

imagen 13 -  Angulos adyacentes

Observa, en este ejemplo los dos ángulos marcados de rojo son ángulos adyacentes. De modo similar, también los ángulos marcados de azul lo son.


Ángulos alternos

Definición: Ángulos alternos son los que se encuentran en los lados opuestos de la transversal que corta dos rectas paralelas y no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos alternos son del mismo tamaño.

La explicación podría confundir, pero la ilustración lo muestra claramente:

imagen 15- angulos alternos

Los dos ángulos marcados de azul son ángulos alternos, es decir, también son iguales. Los dos ángulos marcados de rojo también son alternos y, por lo tanto, son equivalentes. Intenta determinar qué ángulos son agudos y cuáles son obtusos.


Ejercicios de tipos de ángulos

Ejercicio 1:

Consigna

Entre tres rectas paralelas hay ángulos como se bosqueja:

¿Cuál es el valor de X X ?

3.c - Entre tres rectas paralelas hay ángulos como se bosqueja

Solución

ABCDEF AB\parallel CD\parallel EF

Nos enfocaremos en la recta CD CD y continuaremos su línea hacia la izquierda

Marcaremos el ángulo que creamos sobre esa recta con el número 1 1 y el ángulo existente que es igual a: 64o 64^o lo marcaremos con el número 2 2

Ahora tenga en cuenta que el ángulo 1 1 es igual al ángulo 2 2 ya que son ángulos correspondientes, por lo tanto, el ángulo 1 1 también es igual a: 64o 64^o

Como las rectas son paralelas entre sí, marcaremos el ángulo junto al ángulo existente igual a: 99o 99^o con el número 3 3

Tengamos en cuenta que el ángulo 3 3 y el ángulo 99o 99^o son ángulos adyacentes, lo que significa que juntos son iguales a: 180o 180^o

Ahora podemos calcular el ángulo 3 3

18099=81 180-99=81

Ahora hayamos 2 2 ángulos dentro del triángulo y solo nos queda calcular X X

Como sabemos la suma de los ángulos en un triángulo es 180o180^o

Resolvemos la siguiente ecuación para encontrar a X X

x=1808164 x=180-81-64

x=35 x=35

Respuesta

35o 35^o


Ejercicio 2:

Consigna

Es posible trazar un cuadrilátero que no sea un rectángulo de modo que sus ángulos opuestos sean iguales.

Solución

Es cierto que es posible trazar un paralelogramo que sea un cuadrilátero y no un rectángulo, y en el que los ángulos opuestos sean iguales.

Respuesta

Verdadero


Ejercicio 3:

Consigna

Del punto C C salen dos tangentes a la circunferencia O O

Sobre AC AC se coloca un semicírculo cuya área es 16π 16\pi cm²

Sobre CD CD se coloca un semicírculo cuya circunferencia es 8π 8\pi cm

CD>CE CD>CE

¿Qué ángulos en el dibujo son iguales? (además de lo dado)

3.c - Del punto C  salen dos tangentes a la circunferencia  O

Solución

EC EC ו- BC BC tangentes en el círculo

BC=EC BC=EC ya que las tangentes a la circunferencia que salen del mismo punto son iguales

Ahora calculamos a AC AC

2R=AC 2R=AC diámetro igual

A=16π=πr2 A=16\pi=\pi r^2

Extraemos la raíz

R=16=4 R=\sqrt{16}=4

AC=2R=2×4=8 AC=2R=2\times4=8

Ahora calculamos a CD CD

2R=CD 2R=CD diámetro igual

P=8π=2πr P=8\pi=2\pi r

Dividimos por: 2 2

82=4=R \frac{8}{2}=4=R

CD=2R=2×4=8 CD=2R=2\times4=8

De esto se deduce que

ABC=CED+BC=CE+CD=AC+DC>CE \sphericalangle ABC=\sphericalangle CED+BC=CE+CD=AC+DC>CE

Por lo tanto ABCDEC \triangle ABC\cong\triangle DEC

Según lado, lado, ángulo

Por lo tanto BAC=EDC \sphericalangle BAC=\sphericalangle EDC

Los ángulos correspondientes entre triángulos congruentes son iguales

Respuesta

Ángulo CDE CDE = Ángulo BAC BAC


Ejercicio 4:

Consigna

Dados los ángulos entre rectas paralelas en la gráfica, ¿cuál es el valor de: x x ?

1.c  - cuál es el valor de x

Solución

X=? X=?

180o105o=75o 180^o-105^o=75^o

75o+X=110o 75^o+X=110^o /75o /-75^o

X=110o75o X=110^o -75^o

35o 35^o

Respuesta

35o 35^o


Ejercicio 5:

Consigna

Dados los ángulos entre líneas paralelas como un boceto, ¿cuál es el valor de X X ?

Solución

Entre los dos ángulos hay una relación de ángulos correspondientes (ángulos correspondientes) por lo tanto son iguales.

Por lo tanto se puede reemplazar a 59o 59^o como resultado de la ecuación X+32=59 X+32=59

Cambiamos de lado a 32o 32^o

X=59o32o=27o X=59^o-32^o=27^o

Respuesta

27o 27^o


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