Tipos de ángulos

Definición: Los ángulos se crean en la intersección entre dos rectas. Como se ve en la siguiente ilustración

El ángulo en la ilustración es el denominado $AB$. También podríamos llamarlo ángulo $\sphericalangle ABC$. Lo importante es que la letra del medio sea la de la intersección de las rectas.

Por ejemplo, en este caso:

El ángulo es $\sphericalangle BCD$ o $\sphericalangle DCB$. Ambas señalizaciones son adecuadas para el mismo ángulo.

Por lo general marcaremos el ángulo con un arco del siguiente modo:

El ángulo marcado es $∡ABC$. A veces señalaremos los ángulos con letras griegas, por ejemplo:

$α$

o

$β$

Antes del nombre del ángulo deberemos anotar el símbolo de ángulo, así:

$∡$

Junto se ve así:

$∡CBA$

o

$∡α$

A continuación, profundizaremos acerca del tamaño de los ángulos, de los diferentes tipos y de aquellos que se generan cuando una recta pasa entre dos rectas paralelas.

Puede haber dos ángulos iguales, o sea que miden lo mismo; asimismo, cierto ángulo puede ser mayor que otro según sus medidas. 

Por ejemplo, un ángulo de $60º$ es mayor que uno de $45º$, y dos ángulos de $30º$ son iguales. 

Ángulo mayor que el otro:

Ángulos de diferentes tamaños:

Observa que en estos ejemplos se crearon dos ángulos, pero en esta fase elegiremos referirnos al ángulo agudo (en seguida recordaremos qué es un ángulo agudo).

Por ejemplo, en la siguiente ilustración:

Se crearon dos ángulos tal como se ve en el dibujo:

Nosotros, en esta fase, sólo nos referiremos al ángulo agudo de entre los dos, el más pequeño, el que está comprendido entre las dos rectas. Este punto podría llegar a ser un poco confuso, pero no te preocupes porque muy pronto te quedará claro.

Los ángulos se miden en grados. Un círculo entero representa $360°$ grados.

Lo veremos representado muy claramente en la siguiente ilustración:

Te puedes imaginar que si seguimos aumentando el ángulo llegaremos finalmente a un círculo completo.

Siempre que queramos señalar el tamaño del ángulo escribiremos al lado del número la señal de los grados. Se trata de un círculo pequeño que se anota a la derecha del número que representa el tamaño del ángulo.

Se ve así: $90°$.

En palabras : $90$ grados.

Definición: Un ángulo agudo es uno que mide menos que $90°$ :

Se ve así:

Definición: Un ángulo recto es uno que mide exactamente $90°$ :

Se ve así:

Observa que la señalización del ángulo recto no es como la de los demás ángulos. No se marca con un arco sino con un símbolo que se ve así

Definición: Un ángulo obtuso es mayor de $90°$ y menor de $180°$ :

Se ve así:

Definición: Un ángulo llano o Ángulo plano mide exactamente $180°$ .

Se ve así:

A continuación, aprenderemos a calcular el tamaño de los ángulos. Por ahora nos conformaremos con saber que el ángulo recto es mayor que el agudo, y que el obtuso es mayor que el recto. Eso nos queda claro de forma intuitiva.

Por ejemplo, este ángulo:

$∡CBA$ es menor que éste: $∡DEF$

Lo escribiremos así:

$∡CBA<∡DEF$

Definición: Los ángulos opuestos por el vértice se forman por dos rectas que se cruzan, mientras que ellos se encuentran uno frente al otro.

Por ejemplo:

Los ángulos marcados de rojo y también los de azul son opuestos por el vértice. Los ángulos de todo par de ángulos opuestos por el vértice son iguales (profundizaremos sobre esto en otros artículos).

Definición: Recapitulación: dos rectas paralelas son rectas que no se encuentran nunca.

Se ve así:

La recta 1 y la recta 2 son rectas paralelas. Ahora trazaremos otra recta, que cruza a cada una de las rectas paralelas.

Se ve así:

Es decir, en la intersección entre las dos rectas y la tercera se crearon 8 ángulos (marcados en la ilustración). Es importante aclarar que, aunque las rectas no fueran paralelas se crearían 8 ángulos. Ahora conoceremos los tipos de ángulos que se han creado.

Definición: Los ángulos correspondientes son los que se encuentran del mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas y están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño.

Esta definición podría parecer un poco confusa, pero la ilustración deja bien claro qué son los ángulos correspondientes:

Los dos ángulos marcados de rojo son ángulos correspondientes. Por lo tanto, también son iguales. Asimismo, los ángulos marcados de azul también son ángulos correspondientes, es decir son iguales entre ellos. Ésta es una información muy importante que nos ayudará luego. Intenta determinar qué ángulo es agudo y cuál es obtuso.

Definición: Los ángulos adyacentes son dos ángulos que juntos crean un ángulo llano (es decir, de $180°$). A continuación, aprenderemos el significado de la suma de los ángulos.

Por ejemplo:

Estos dos ángulos son ángulos adyacentes.

Otro ejemplo:

Observa, en este ejemplo los dos ángulos marcados de rojo son ángulos adyacentes. De modo similar, también los ángulos marcados de azul lo son.

Definición: Ángulos alternos son los que se encuentran en los lados opuestos de la transversal que corta dos rectas paralelas y no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos alternos son del mismo tamaño.

La explicación podría confundir, pero la ilustración lo muestra claramente:

Los dos ángulos marcados de azul son ángulos alternos, es decir, también son iguales. Los dos ángulos marcados de rojo también son alternos y, por lo tanto, son equivalentes. Intenta determinar qué ángulos son agudos y cuáles son obtusos.

Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

• Notación de ángulos
• Lados, vértices, y ángulos
• Bisectriz
• Ángulo recto
• Ángulo agudo
• Ángulo obtuso
• Ángulo plano
• Ángulos adyacentes
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos alternos
• Ángulos correspondientes
• Suma de los ángulos de un triángulo
• Suma de los ángulos de un polígono
• Suma y diferencia de ángulos

En el blog de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.

Ejercicio 1:

Consigna

Entre tres rectas paralelas hay ángulos como se bosqueja:

¿Cuál es el valor de $X$?

Solución

$AB\parallel CD\parallel EF$

Nos enfocaremos en la recta $CD$ y continuaremos su línea hacia la izquierda

Marcaremos el ángulo que creamos sobre esa recta con el número $1$ y el ángulo existente que es igual a: $64^o$ lo marcaremos con el número $2$

Ahora tenga en cuenta que el ángulo $1$ es igual al ángulo $2$ ya que son ángulos correspondientes, por lo tanto, el ángulo $1$ también es igual a: $64^o$

Como las rectas son paralelas entre sí, marcaremos el ángulo junto al ángulo existente igual a: $99^o$ con el número $3$

Tengamos en cuenta que el ángulo $3$ y el ángulo $99^o$ son ángulos adyacentes, lo que significa que juntos son iguales a: $180^o$

Ahora podemos calcular el ángulo $3$

$180-99=81$

Ahora hayamos $2$ ángulos dentro del triángulo y solo nos queda calcular $X$

Como sabemos la suma de los ángulos en un triángulo es $180^o$

Resolvemos la siguiente ecuación para encontrar a $X$

$x=180-81-64$

$x=35$

Respuesta

$35^o$

Ejercicio 2:

Consigna

Es posible trazar un cuadrilátero que no sea un rectángulo de modo que sus ángulos opuestos sean iguales.

Solución

Es cierto que es posible trazar un paralelogramo que sea un cuadrilátero y no un rectángulo, y en el que los ángulos opuestos sean iguales.

Respuesta

Verdadero

Ejercicio 3:

Consigna

Del punto $C$ salen dos tangentes a la circunferencia $O$

Sobre $AC$ se coloca un semicírculo cuya área es $16\pi$ cm²

Sobre $CD$ se coloca un semicírculo cuya circunferencia es $8\pi$ cm

$CD>CE$

¿Qué ángulos en el dibujo son iguales? (además de lo dado)

Solución

$EC$ ו- $BC$ tangentes en el círculo

$BC=EC$ ya que las tangentes a la circunferencia que salen del mismo punto son iguales

Ahora calculamos a $AC$

$2R=AC$ diámetro igual

$A=16\pi=\pi r^2$

Extraemos la raíz

$R=\sqrt{16}=4$

$AC=2R=2\times4=8$

Ahora calculamos a $CD$

$2R=CD$ diámetro igual

$P=8\pi=2\pi r$

Dividimos por: $2$

$\frac{8}{2}=4=R$

$CD=2R=2\times4=8$

De esto se deduce que

$\sphericalangle ABC=\sphericalangle CED+BC=CE+CD=AC+DC>CE$

Por lo tanto $\triangle ABC\cong\triangle DEC$

Según lado, lado, ángulo

Por lo tanto $\sphericalangle BAC=\sphericalangle EDC$

Los ángulos correspondientes entre triángulos congruentes son iguales

Respuesta

Ángulo $CDE$ = Ángulo $BAC$

Ejercicio 4:

Consigna

Dados los ángulos entre rectas paralelas en la gráfica, ¿cuál es el valor de: $x$?

Solución

$X=?$

$180^o-105^o=75^o$

$75^o+X=110^o$ $/-75^o$

$X=110^o -75^o$

$35^o$

Respuesta

$35^o$

Ejercicio 5:

Consigna

Dados los ángulos entre líneas paralelas como un boceto, ¿cuál es el valor de $X$?

Solución

Entre los dos ángulos hay una relación de ángulos correspondientes (ángulos correspondientes) por lo tanto son iguales.

Por lo tanto se puede reemplazar a $59^o$ como resultado de la ecuación $X+32=59$

Cambiamos de lado a $32^o$

$X=59^o-32^o=27^o$

Respuesta

$27^o$