Ejemplos, ejercicios y soluciones de potencias

¿Quieres aprender sobre el tema de potenciación?

¡Lo primordial en el estudio de potencias, como ya lo sabes, es la práctica!
En esta página encontrarás una variedad de ejercicios de potencias, con ejemplos y ejercicios con soluciones sobre el tema de potenciación.

Si te interesa, existe la posibilidad de practicar el cálculo de otros temas relacionados, como por ejemplo:

En cada uno de estos enlaces puedes practicar por tu cuenta y profundizar tus conocimientos.

🏆Ejercicios de propiedades de potenciación

¿Por qué es importante que practiques varios ejercicios de potenciación?

Incluso si ya estudiamos las propiedades de las potencias y estamos seguros de haber entendido el asunto en general, ¡Es importante que intentes resolver ejercicios por tu cuenta!
Vale la pena experimentar tantos tipos de preguntas como sea posible y analizar la mayor cantidad de ejemplos en el que podrás practicar las reglas de potenciación.
Solo practicando y resolviendo un amplio número de preguntas y ejercicios con potencias, podrás asimilar a fondo el tema y adquirirás las herramientas necesarias para enfrentar cualquier desafío por tus propios medios.

Preguntas básicas

Ejemplos y ejercicios con soluciones de potencias

Ejercicio #1

828385= 8^2\cdot8^3\cdot8^5=

Solución

Todas las bases son iguales y por lo tanto se pueden sumar los exponentes.

828385=810 8^2\cdot8^3\cdot8^5=8^{10}

Respuesta

810 8^{10}

Ejercicio #2

42×44= 4^2\times4^4=

Solución

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de multiplicación de potencias con bases iguales:

anam=an+m a^n * a^m = a^{n+m}

Con la ayuda de esta propiedad podemos sumar conectar los exponentes.

42×44=44+2=46 4^2\times4^4=4^{4+2}=4^6

Respuesta

46 4^6

Ejercicio #3

79×7= 7^9\times7=

Solución

De acuerdo a la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base multiplicadas entre sí, se deben sumar los exponentes.

Según la fórmula:an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

Es importante recordar que un número sin potencia equivale a un número elevado a 1, no a 0.

Por lo tanto, si sumamos los exponentes:

79+1=710 7^{9+1}=7^{10}

Respuesta

710 7^{10}

Ejercicio #4

54×25= 5^4\times25=

Solución

Para resolver este ejercicio, primero debemos reconocer que 25 es el resultado de una potencia y necesitamos llevarlo nuevamente a una base común de 5.

25=5 \sqrt{25}=5 25=52 25=5^2 Ahora, nos ubicamos en el ejercicio inicial y resolvemos sumando las potencias según la fórmula:

an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

54×25=54×52=54+2=56 5^4\times25=5^4\times5^2=5^{4+2}=5^6

Respuesta

56 5^6

Ejercicio #5

2423= \frac{2^4}{2^3}=

Solución

Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:

bmbn=bmn \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n} Lo aplicamos en el problema:

2423=243=21 \frac{2^4}{2^3}=2^{4-3}=2^1 Recordemos que todo número elevado a la 1ª potencia es igual al número mismo, es decir que:

b1=b b^1=b Por lo tanto en el problema obtenemos:

21=2 2^1=2 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

2 2

Ejercicio #6

8132= \frac{81}{3^2}=

Solución

Primero reconocemos que 81 es una potencia del número 3, lo que significa que:

34=81 3^4=81 Reemplazamos en el problema:

8132=3432 \frac{81}{3^2}=\frac{3^4}{3^2} Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:

bmbn=bmn \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n} Lo aplicamos en el problema:

3432=342=32 \frac{3^4}{3^2}=3^{4-2}=3^2 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

32 3^2

Ejercicio #7

(35)4= (3^5)^4=

Solución

Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de potencias.(an)m=anm (a^n)^m=a^{n\cdot m}

Utilizamos la propiedad con el ejercicio específico y resolvemos:

(35)4=35×4=320 (3^5)^4=3^{5\times4}=3^{20}

Respuesta

320 3^{20}

Ejercicio #8

(4274)2= (\frac{4^2}{7^4})^2=

Solución

Utilizamos la fórmula:

(ab)n=anbn (\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

(4274)2=(42)2(74)2 (\frac{4^2}{7^4})^2=\frac{(4^2)^2}{(7^4)^2}

Ahora utilizamos la fórmula para multiplicar potencias:

(an)m=an×m (a^n)^m=a^{n\times m}

42×274×2=4478 \frac{4^{2\times2}}{7^{4\times2}}=\frac{4^4}{7^8}

Respuesta

4478 \frac{4^4}{7^8}

Ejercicio #9

Simplifique la expresión:

a3a2b4b5= a^3\cdot a^2\cdot b^4\cdot b^5=

Solución

En el ejercicio de multiplicación de potencias sumaremos todas las potencias de un mismo producto, en este caso los términos a,b

Utilizamos la fórmula:

an×am=an+m a^n\times a^m=a^{n+m}

Vamos a enfocarnos en el término a:

a3×a2=a3+2=a5 a^3\times a^2=a^{3+2}=a^5

Vamos a enfocarnos en el término b:

b4×b5=b4+5=b9 b^4\times b^5=b^{4+5}=b^9

Por lo tanto, el ejercicio que se obtendrá tras la simplificación es:

a5×b9 a^5\times b^9

Respuesta

a5b9 a^5\cdot b^9

Ejercicio #10

k2t4k6t2= k^2\cdot t^4\cdot k^6\cdot t^2=

Solución

Usando la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:

aman=am+n a^m\cdot a^n=a^{m+n} Cabe destacar que esta ley sólo es válida para términos con bases idénticas,

Notamos que en el problema hay dos tipos de términos que difieren entre sí en diferentes bases. Primero, por el bien del orden, usaremos la propiedad sustitutiva en la multiplicación para ordenar la expresión de manera que los dos términos con la misma base sean adyacentes, procederemos a trabajar:

k2t4k6t2=k2k6t4t2 k^2t^4k^6t^2=k^2k^6t^4t^2 Más adelante aplicamos la mencionada propiedad de multiplicación a cada tipo diferente de término por separado,

k2k6t4t2=k2+6t4+2=k8t6 k^2k^6t^4t^2=k^{2+6}t^{4+2}=k^8t^6 Cuando en realidad aplicamos la propiedad antes mencionada por separado - para los términos cuyas bases sonk k y para los términos cuyas bases sont t Sumamos las potencias en el exponente cuando insertamos todos los términos con la misma base.

La respuesta correcta entonces es la opción b.

Respuesta

k8t6 k^8\cdot t^6

Ejercicio #11

54(15)4=? 5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\text{?}

Solución

Este problema se puede resolver utilizando las propiedades de potencias para una potencia negativa, potencia sobre una potencia y la propiedad de potencias para el producto entre términos con bases idénticas, que es la forma natural de la solución,

Pero aquí preferimos resolver de otra manera que es un poco más rápido:

A tal efecto, la ley de potencia por potencia se aplica a los paréntesis en los que se multiplican los términos, pero en sentido contrario:

xnyn=(xy)n x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n Dado que en la expresión en el problema existe una multiplicación entre dos términos con potencias idénticas, se puede utilizar esta ley en su sentido contrario, por lo que aplicaremos esta propiedad al problema:

54(15)4=(515)4 5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 Dado que la multiplicación en el problema dado es entre términos con la misma potencia, podríamos aplicar esta ley en la dirección opuesta y escribir la expresión como la multiplicación de las bases de los términos entre paréntesis a los que se aplica la misma potencia.

Continuaremos y simplificaremos la expresión entre paréntesis, lo haremos rápidamente si notamos que entre paréntesis hay una multiplicación entre dos números opuestos, entonces su producto dará el resultado: 1, aplicaremos este entendimiento a la expresión que llegamos en el último paso:

(515)4=14=1 \big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 = 1^4=1 Cuando en el primer paso aplicamos el entendimiento anterior, y luego usamos el hecho de que elevar el número 1 a cualquier potencia siempre dará el resultado: 1, lo que significa que:

1x=1 1^x=1 Resumiendo los pasos para resolver el problema, obtenemos que:

54(15)4=(515)4=1 5^4\cdot(\frac{1}{5})^4=\big(5\cdot\frac{1}{5}\big)^4 =1 Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.

Respuesta

1

Ejercicio #12

3x2x32x= 3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=

Solución

En este caso tenemos 2 bases diferentes, por lo que sumaremos lo que se puede sumar, es decir, los exponentes de 3 3

3x2x32x=2x33x 3^x\cdot2^x\cdot3^{2x}=2^x\cdot3^{3x}

Respuesta

33x2x 3^{3x}\cdot2^x

Ejercicio #13

22x+12523x= 2^{2x+1}\cdot2^5\cdot2^{3x}=

Solución

Como las bases son iguales, se pueden sumar los exponentes:

2x+1+5+3x=5x+6 2x+1+5+3x=5x+6

Respuesta

25x+6 2^{5x+6}

Ejercicio #14

Resuelva el ejercicio extrayendo el factor común:

6x69x4=0 6x^6-9x^4=0

Solución

Primero sacamos la potencia más pequeña

6x69x4= 6x^6-9x^4=

6x4(x21.5)=0 6x^4\left(x^2-1.5\right)=0

Si es posible reducimos los números por un denominador común

Finalmente compararemos las dos secciones con: 0 0

6x4=0 6x^4=0

Dividimos por: 6x3 6x^3

x=0 x=0

x21.5=0 x^2-1.5=0

x2=1.5 x^2=1.5

x=±32 x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}

Respuesta

x=0,x=±32 x=0,x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}

Ejercicio #15

1X7X6= \frac{1}{\frac{X^7}{X^6}}=

Solución

Primero nos enfocaremos al ejercicio de fracción en el denominador, lo resolveremos usando la fórmula:

anam=anm \frac{a^n}{a^m}= a^{n-m}

x7x6=x76=x1 \frac{x^7}{x^6}=x^{7-6}=x^1

Por lo tanto el ejercicio resultante es:

1x \frac{1}{x}

Sabemos que un producto elevado a la 0 es igual a 1 y por lo tanto:

x0x1=x(01)=x1 \frac{x^0}{x^1}=x^{(0-1)}=x^{-1}

Respuesta

X1 X^{-1}

¿Cuántos ejercicios y ejemplos de potencias es necesario realizar?

La cantidad de ejercicios y ejemplos de potenciación que debemos practicar, varía de persona en persona.
En general, recomendamos resolver muchas pruebas y observar varios ejemplos para que, en total, éstos cubran la mayor cantidad de tipos de ejercicios posibles.
Cuanto más ejercicios con potenciación practiques, comprenderás el tema más profundamente y aumentará la probabilidad de que te vaya bien y que tengas éxito.

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