Teorema de Tales

Según el teorema de Tales, si hay dos líneas paralelas y una de ellas interseca los lados de un triángulo, se puede identificar una proporción entre los segmentos cortados en los lados.
Esto se puede observar en el diagrama siguiente:

Según el teorema de Tales –

Si:
$DE∥CB$
entonces:
$\frac{AD}{DC} =\frac{AE}{EB}$

Nota- Las dos líneas deben ser paralelas para satisfacer el teorema de Tales.
El triángulo no necesita ser isósceles en absoluto. Note que es la razón la que es igual.

Nota adicional:
Si es verdad que:
$\frac{AD}{DC} =\frac{AE}{EB}$
Podemos determinar que:
$DE∥CB$
Según el recíproco del teorema de Tales.

Ejercicio:

Dado:
$DE∥CB$
AD=4
$DC=5$
$EB=7$
Encuentra la longitud de $AE$

Solución
De acuerdo al teorema de Tales, podemos determinar que si
$DE∥CB$
entonces
$\frac{AD}{DC} =\frac{AE}{EB}$

Todos los segmentos están dados excepto $AE$. Llamémoslo $X$ e insertemos los datos dados en la ecuación:
$AE=X$
$\frac{X}{7} =\frac{4}{5}$
Multipliquemos de forma cruzada para obtener lo siguiente:
$4\cdot7=5X$
$5X=28$
$X=5.6$
$AD= 5.6$
Hemos determinado la longitud de $AD$.

La primera extensión del teorema de Tales establece que:

Si
$DE∥CB$
entonces:
$\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$

Énfasis importante:
Ten en cuenta que los denominadores consisten en todo el lado y no solo en una parte de él.

Nota:
Si lo siguiente es verdadero: $\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$

Podemos determinar que:
$\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$
según el recíproco del Teorema de la Extensión de Tales 1.

Practiquemos:

Dado:
$DE∥CB$

$AB=8$
$AE=4$
$AC=6$
$CB=8$
Determina la longitud de $DC$ y la longitud de $DE$

Solución:
De acuerdo con el Teorema de Tales Extendido sabemos que:
$\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$

Marquemos la información dada en la figura para entender mejor cómo progresar:

De acuerdo con esta proporción:
$\frac{AD}{AC} =\frac{AE}{AB}$
Podemos encontrar $AD$ y así obtener la longitud de $DC$ que necesitamos encontrar.

Insertemos los datos en la proporción correspondiente y llamemos $AD$ como $X$
$\frac{X}{6} =\frac{4}{8}$

Multipliquemos en cruz de la siguiente manera:
$8X=24$
Dividamos entre $8$ y obtenemos:
$X=3$
De esto determinamos que: $AD=3$
De aquí podemos determinar que si $6=AC$ y $AD=3$
entonces $3=DC$ dado que el todo es igual a la suma de sus partes.

Ahora continuaremos encontrando $DE$
De acuerdo con esta proporción $\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{CB}$
Vamos a sustituir los valores dados y sea $DE =X$
Obtenemos lo siguiente:
$\frac{X}{8} =\frac{4}{8}$
Podemos determinar que $X=4$
Por lo tanto $DE=4$

De acuerdo con la segunda extensión del teorema de Tales

Si
$AB∥DC$
entonces:

$\frac{DC}{AB} =\frac{DE}{EB} = \frac{CE}{EA}$

Presta atención -
Esta forma de reloj de arena puede aparecer como un trapecio o círculo como parte de un ejercicio en una pregunta.
Cuando identifiques tal "reloj de arena," debes saber que hay una alta probabilidad de que necesites usar el Teorema de Thales Extendido.

Nota:
Si se cumple que:

$\frac{DC}{AB} =\frac{DE}{EB} = \frac{CE}{EA}$

Podemos determinar que:
$AB∥DC$
según el recíproco del Teorema Extendido de Tales.

Ejercicio:

Dado:
$ABCD$ es un trapecio
$AO$ es una mediana al lado $DC$
$AB=5$
$AE=2$
$OE=3$
$EB=6$
Encuentra la longitud de $DE$
y la longitud de $DC$

Solución:
A partir de la ilustración, podemos identificar el "reloj de arena" y entender que probablemente necesitaremos usar el teorema extendido de Tales.
Se nos da que $ABCD$ es un trapecio, por lo que podemos concluir que:
$AB∥DC$
Y por lo tanto:
$AB∥DO$
Ya que $DO$ es parte de $DC$

De acuerdo con el Teorema de Tales Extendido:
$\frac{AE}{EO} =\frac{BE}{DE}$
Tenemos todos los datos excepto $DE$ al cual llamaremos $X$.
Insertemos esto en la ecuación de la siguiente manera:
$\frac{X}{6} =\frac{2}{3}$

Multiplica de forma cruzada:
$2X=18$
$X=9$
Por lo tanto: $9=DE$
Determina $DC$.
Como $AO$ es una mediana, determinaremos $DO$ usando el teorema extendido de Tales II y lo multiplicaremos por $2$ para obtener $DC$
Según el teorema extendido de Tales II:
$\frac{AB}{DO} =\frac{AE}{EO}$
Insertemos los valores dados y sea $X=DO$
Obtenemos lo siguiente:
$\frac{X}{5} =\frac{2}{3}$
$2X=15$
$​​​​​​​X=7.5$
$DO=7.5$
Por lo tanto: $DC =15$