La propiedad conmutativa

🏆Ejercicios de propiedad conmutativa

¿Qué es la propiedad conmutativa?

La propiedad conmutativa es un principio algebraico que nos permite «jugar» con la posición que ocupan diferentes elementos en ejercicios de multiplicación y suma sin que el resultado final se vea afectado por ello. Nuestro objetivo al emplear la propiedad conmutativa es que la resolución del ejercicio sea más sencilla desde el punto de vista de los cálculos.  

Como ya hemos dicho, la propiedad conmutativa se puede aplicar en el caso de sumas y multiplicaciones. 

En otras palabras:

Si cambiamos el lugar de ciertos elementos en el ejercicio o ecuación el resultado será el mismo.

Propiedad conmutativa de la suma:

En operaciones de sumar podemos cambiar el lugar de los sumandos y llegar al mismo resultado.
Es decir:
a+b=b+a a+b=b+a
Igual que en expresiones algebraicas:
X+nuˊmero=nuˊmero+X X+número=número+X

Más allá del orden en que sumemos los términos y sin importar cuántos sumandos haya, el resultado siempre será el mismo.


Propiedad conmutativa de la multiplicación:

En operaciones de multiplicación podemos cambiar el lugar de los términos y llegar al mismo resultado.
Es decir:
a×b=b×a a\times b=b\times a
Igual que en expresiones algebraicas:
X×nuˊmero=nuˊmero×X X\times número=número\times X

Más allá del orden en que multipliquemos los factores y sin importar cuántos haya en el ejercicio, el producto siempre será el mismo.

Observa - La propiedad conmutativa no actúa de este modo en operaciones de resta y de división.


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¡Pruébate en propiedad conmutativa!

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\( 74+32+6+4+4=\text{?} \)

Quiz y otros ejercicios

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa es una de las primordiales propiedades que debemos saber ya que, de ahora en adelante, nos acompañará en todos los ejercicios o ecuaciones que tengamos que resolver.
No te preocupes, es una propiedad muy sencilla y fácil de entender que, de hecho, ya conocemos de la vida diaria.
¿A qué nos referimos?
Imagínate una situación, en la que mamá te manda al supermercado, con una lista de cosas, y te pide que compres exactamente lo que dice allí.

Ésta es la lista:
Leche -> 13.20 $
Pan -> 5.5 $
Huevos -> 6.80 $
Queso -> 9 $
Chicle -> 1 $

Cuando llegues al supermercado podrás dirigirte directamente a buscar la leche y colocarla en el carrito; seguramente, a su lado verás el queso y también lo pondrás en el carrito a pesar de que el siguiente producto de la lista es el pan.
Luego tomarás el próximo producto que capten tus ojos y seguirás de este modo hasta encontrar todos los productos de la lista.
¿Te das cuenta? no importa en qué orden coloques los productos en el carrito, el importe total a pagar será el mismo.
Incluso al llegar a la caja, el orden en que pasen los productos no alterará el resultado. Luego de pasar todos los productos, el importe será el mismo, tanto si la cajera fue pasando las cosas acorde al orden de la lista como si las pasó de un modo completamente diferente.
Exactamente igual actúa la propiedad conmutativa.
En matemática, si tienes operaciones de suma o de multiplicación puedes cambiar el orden de los términos sin modificar el resultado.
¿Para qué querríamos usar la propiedad conmutativa?
La propiedad conmutativa te ayudará a resolver ejercicios sencillamente ya que te permite sumar o multiplicar pares de números que son más fáciles de unir.
Si, por ejemplo, tenemos una serie de números, algunos decimales y otros enteros, podrás sumar los enteros primero y luego añadir los decimales, esto te ayudará a hacer un cálculo más rápido.
¿Quieres entender esta propiedad más a fondo?
Comencemos con la propiedad conmutativa de la suma.


Propiedad conmutativa de la suma

En operaciones de sumar, el orden en que sumemos los sumandos no variará el resultado.
Como en el ejemplo de la lista de las compras, si preguntáramos cuál es el importe total que deberías llevar al supermercado para comprar aquellos productos, podremos calcular sus precios en cualquier orden y llegar a idéntico resultado.
Veamos un ejemplo.
Calculando acorde al orden de la lista nos da:
13.20+5.5+6.80+9+1=35.5 13.20+5.5+6.80+9+1=35.5

Es decir, para comprar todos los productos de la lista necesitamos llevar 35.535.5 $.

Calculando el total en un orden diferente, de un modo que tal vez nos facilite la cuenta permitiéndonos llegar, todo lo posible, a números enteros, obtendremos el mismo importe.
Veámoslo en un ejemplo:
13.20+6.80+9+1+5.5=35.513.20+6.80+9+1+5.5=35.5

También en este caso, el importe requerido es 35.535.5 $.

Siempre y cuando tengamos operación de sumar entre los términos podremos cambiar el orden.
De hecho, si lo formulamos como una regla, podemos decir que:
a+b=b+aa+b=b+a
También en expresiones algebraicas, de ahora en adelante, podremos decir que:
X+nuˊmero=nuˊmero+X X+número=número+X

Veámoslo en un ejemplo:
X+5=5+X X+5=5+X
Coloquemos cualquier número en lugar de la XX para ver si la ecuación realmente se cumple, por ejemplo 2=X2=X, obtendremos:
2+5=72+5=7

5+2=75+2=7
77 realmente es igual a 77.
¡La propiedad conmutativa funciona en operaciones de sumar!
Cambiamos el orden de dos sumandos y obtuvimos el mismo resultado.
Recuerda que, en operaciones de restar la propiedad conmutativa no funciona. Puedes ver que 323-2, por ejemplo, no equivale a 232-3.
Entonces ¿dónde más podemos aplicar la propiedad conmutativa?
En multiplicaciones.


Propiedad conmutativa de la multiplicación

La propiedad conmutativa de la multiplicación actúa igual que la propiedad conmutativa de la suma, sólo que en multiplicaciones.
En las multiplicaciones, si modificamos el orden de los factores no se altera el producto.
También a este principio lo conocemos de la vida diaria.

Imagínate que conciertan encontrarse cinco amigos y que llevarán 22 canicas para cada uno.
¿Cómo sabrás cuántas canicas llevar?
Haz una multiplicación entre la cantidad de amigos que serán y la cantidad de canicas que prometieron llevar a cada uno y obtendrás:
5×2=10 5\times2=10
¿Cambiaría algo si modificaras el orden y multiplicaras la cantidad de canicas que prometieron llevar a cada uno por la cantidad de amigos que serán?
Es decir:
5×2=10 5\times2=10
Obviamente no. Se ve que el resultado ha sido el mismo.
Sea como sea tendrás que llevar 1010 canicas.
De hecho, siempre que hay una multiplicación, no importa en que orden se multipliquen los factores, obtendremos el mismo resultado (producto), incluso si se tratara de un ejercicio con mucho más que dos términos.
Formulémoslo como una regla:
a×b=b×a a\times b=b\times a
También en expresiones algebraicas, de ahora en adelante, podremos decir que:
X×nuˊmero=nuˊmero×X X\times número=número\times X
Por ejemplo:
X×4=4×X X\times4=4\times X
Coloquemos cualquier número en lugar de la XX para ver si la ecuación realmente se cumple, por ejemplo 3=X3=X, obtendremos:
3×4=12 3\times4=12
4×3=12 4\times3=12

1212 realmente es igual a 1212.
¡La propiedad conmutativa funciona en operaciones de multiplicar!
Cambiamos el orden de dos factores y obtuvimos el mismo producto.

Recuerda que, en operaciones de dividir la propiedad conmutativa no funciona. 10:510:5 por ejemplo, no equivale a 5:105:10.


Ahora puedes aplicar la propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación en casi toda ecuación que se te presente.
La propiedad conmutativa es una regla fundamental que muy rápido asimilarás y llevarás a cabo de manera intuitiva y automática.

Como hemos mencionado, la propiedad conmutativa aplica a la suma y a la multiplicación.

Veremos algunos ejemplos para ilustrar el principio de la propiedad conmutativa:

13+6= 13+6=

6+13=19 6+13=19

5×8= 5\times8=
5×8=40 5\times8=40

21+5+4=21+5+4=
4+5+21=304+5+21=30

2×9×3= 2\times9\times3=
3×2×9=54 3\times2\times9=54

El ejercicio segundo y el cuarto exponen la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Dos propiedades complementarias del álgebra
Como hemos afirmado en el preámbulo de nuestro artículo, mencionaremos dos propiedades más que podrían ayudarnos a resolver ejercicios algebraicos. Podemos decir que son complementarias ya que, podría ocurrir que, en cierto caso podamos aplicar en el mismo ejercicio ambas propiedades o incluso las tres. Las propiedades complementarias son la propiedad asociativa y la distributiva.

La propiedad asociativa es un principio matemático que nos permite «asociar», es decir, «juntar» varios valores acorde al orden que elijamos, sin alterar la integridad del ejercicio y sin afectar a su resultado. Tal como ocurre en la propiedad conmutativa, el objetivo de usar esta propiedad es facilitar el proceso de cálculo para la resolución del ejercicio.

Se puede aplicar la propiedad asociativa en ejercicios de suma y de multiplicación ya que, en dichos casos, el orden de las operaciones no afecta, de ninguna manera, al total. Nos referimos a ejercicios puros de multiplicación y de suma (sólo suma o sólo multiplicación) y no a ejercicios compuestos.


A continuación, te dejamos algunos ejercicios que ejemplifican la propiedad conmutativa:

La propiedad conmutativa

13+6= 13+6=

6+13=19 6+13=19


5×8= 5\times8=

8×5=40 8\times5=40


21+5+4= 21+5+4=

4+5+21=30 4+5+21=30


2×9×3= 2\times9\times3=

3×2×9=54 3\times2\times9=54

Los ejercicios 2 2 y 4 4 ejemplifican la propiedad conmutativa en multiplicaciones.


Otras dos propiedades adicionales

Como te prometimos al comienzo del artículo, recordaremos ahora otras dos propiedades que nos pueden ayudar a resolver problemas matemáticos. Podemos decir que se trata de propiedades adicionales, es decir, podemos aplicar más de una propiedad en el mismo ejercicio para resolverlo. Tal y como adelantábamos, estas propiedades son la asociativa y la distributiva. 

La propiedad asociativa es un principio matemático que nos permite «asociar» varios valores conforme a un orden escogido sin que el ejercicio o el resultado se vean afectados por ello. Asimismo, al igual que ocurre con la propiedad conmutativa, el objetivo es facilitar la resolución del ejercicio. 

La propiedad asociativa puede aplicarse en el caso de multiplicaciones y sumas, dado que en estos casos el orden de las operaciones matemáticas no afecta al resultado final. Nos referimos, claro está, a ejercicios de multiplicación y suma puros (solo sumas o solo multiplicaciones), y no a ejercicios que combinan ambas operaciones. 


A continuación, te dejamos algunos ejercicios que ejemplifican la propiedad asociativa:

(17+3)+11= \left(17+3\right)+11=

17+(3+11)= 17+(3+11)=

17+3+11=31 17+3+11=31


(16+8)+9= \left(16+8\right)+9=

16+(8+9)= 16+(8+9)=

16+8+9=33 16+8+9=33


5×(2×9)= 5\times(2\times9)=

(5×2)×9= (5\times2)\times9=

5×2×9=90 5\times2\times9=90


10×(1×4)= 10\times(1\times4)=

(10×1)×4= (10\times1)\times4=

10×1×4=40 10\times1\times4=40


11+(12+13)+14= 11+(12+13)+14=

11+12+(13+14)= 11+12+(13+14)=

(11+12)+13+14= (11+12)+13+14=


7×(8×3)×4= 7\times(8\times3)\times4=

(7×8)×3×4= (7\times8)\times3\times4=

7×8×(3×4)= 7\times8\times(3\times4)=


Si necesitas una explicación en detalle sobre la propiedad asociativa, puedes echarle un vistazo al artículo específico dedicado a ella. 

La propiedad distributiva nos permite simplificar ejercicios de multiplicación y división mediante la «separación» de uno de los elementos en dos números o más. De esta manera, uno de los elementos se representa mediante las operaciones de suma o resta, algo que nos ayuda a trabajar con números más pequeños y cómodos. 

A continuación se muestran 4 temas diferentes de propiedad distributiva, puede hacer clic en cada artículo para obtener más información.


A continuación, te dejamos algunos ejercicios que ejemplifican lo explicado hasta el momento:

5×26= 5\times26=

5×(20+6)= 5\times(20+6)=

100+30=130 100+30=130


7×87= 7\times87=

7×(80+7)= 7\times(80+7)=

560+49=609 560+49=609


208:4= 208:4=

(200+8):4= (200+8):4=

200:4+8:4= 200:4+8:4=

50+2=52 50+2=52


312:4= 312:4=

(3208):4= \left(320-8\right):4=

320:48:4= 320:4-8:4=

802=78 80-2=78

La propiedad distributiva se puede expresar más preciso del siguiente modo: 

A×(D+E)=AD+AE A\times(D+E)=AD+AE

A×(DE)=ADAE A\times(D-E)=AD-AE

El artículo específico sobre la propiedad distributiva te aportará más detalles al respecto en caso de que lo necesites.  


Ejemplos y ejercicios

Ejercicio n.º 1:

Emplea la propiedad conmutativa (o asociativa) para resolver los siguientes diez problemas sin recurrir a una calculadora:

15×2×8= 15\times2\times8=

17×5×2= 17\times5\times2=

26×4×25= 26\times4\times25=

14+5+5= 14+5+5=

8+2+9= 8 + 2 + 9 =

18×2×5= 18\times2\times5=

37+2+8= 37+2+8=

103×10×10= 103\times10\times10=

13+7+101= 13+7+101=

18×2×10= 18\times2\times10=

Soluciones:

15×2×8= 15\times2\times8=

(15×2)×8=240 (15\times2)\times8=240


17×5×2= 17\times5\times2=

17×(5×2)=170 17\times(5\times2)=170


26×4×25= 26\times4\times25=

26×(4×25)=2600 26\times(4\times25)=2600


14+5+5= 14+5+5=

14+(5+5)=24 14+(5+5)=24


8+2+9= 8+2+9=

(8+2)+9=19 (8+2)+9=19


18×2×5= 18\times2\times5=

18×(2×5)=180 18\times(2\times5)=180


37+2+8= 37+2+8=

37+(2+8)=47 37+(2+8)=47


103×10×10= 103\times10\times10=

103×(10×10)=10300 103\times(10\times10)=10300


13+7+101= 13+7+101=

(13+7)+101=121 \left(13+7\right)+101=121


18×2×10= 18\times2\times10=

18×(2×10)=360 18\times(2\times10)=360


Ejercicio n.º 2:

Como consecuencia del coronavirus, una tienda decidió comprar 1024 mascarillas para repartirlas entre sus clientes en caso de necesidad. Cuando el pedido de mascarillas llegó, estas estaban divididas en cuatro paquetes, todos ellos con la misma cantidad de mascarillas. 

¿Cuántas mascarillas hay en cada paquete?

Resuelve este problema aplicando la propiedad distributiva. 

Solución:

En primer lugar, traduzcamos el problema en un ejercicio algebraico: 

1024:4= 1024:4=

(1000+24):4= \left(1000+24\right):4=

1000:4+24:4= 1000:4+24:4=

250+6=256 250+6=256

Respuesta:

En cada paquete hay 256256 mascarillas.


Ejercicio n.º 3:

Con motivo del día de la familia, el consejo estudiantil adquirió 3131 packs de regalos para los padres porque ese es el número de estudiantes que había en la clase. En cada pack había 99 productos.

¿Cuántos productos en total compró el consejo estudiantil?

Resuelve el problema empleando la propiedad distributiva.

Solución:

Si traducimos los datos del problema a un ejercicio algebraico, obtendremos:

31×9= 31\times9=

(30+1)×9= (30+1)\times9=

30×9+1×9= 30\times9+1\times9=

270+9=279 270+9=279

Respuesta:

El consejo estudiantil compró un total de 279279 productos con motivo del día de la familia.  


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