La propiedad conmutativa

¿Qué es la propiedad conmutativa?

La propiedad conmutativa es un principio algebraico que nos permite «jugar» con la posición que ocupan diferentes elementos en ejercicios de multiplicación y suma sin que el resultado final se vea afectado pro ello. Nuestro objetivo al emplear la propiedad conmutativa es que la resolución del ejercicio sea más sencilla desde el punto de vista de los cálculos.  

Como ya hemos dicho, la propiedad conmutativa se puede aplicar en el caso de sumas y multiplicaciones. 

A continuación, te dejamos algunos ejercicios que ejemplifican la propiedad conmutativa:

13 + 6 =
6 + 13 = 19

5 x 8 =
8 x 5 = 40

21 + 5 + 4 =
4 + 5 + 21 = 30

2 x 9 x 3 =
3 x 2 x 9 = 54


Los ejercicios 2 y 4 ejemplifican la propiedad conmutativa en multiplicaciones.

Otras dos propiedades adicionales
Como te prometimos al comienzo del artículo, recordaremos ahora otras dos propiedades que nos pueden ayudar a resolver problemas matemáticos. Podemos decir que se trata de propiedades adicionales, es decir, podemos aplicar más de una propiedad en el mismo ejercicio para resolverlo. Tal y como adelantábamos, estas propiedades son la asociativa y la distributiva. 

La propiedad asociativa es un principio matemático que nos permite «asociar» varios valores conforme a un orden escogido sin que el ejercicio o el resultado se vean afectados por ello. Asimismo, al igual que ocurre con la propiedad conmutativa, el objetivo es facilitar la resolución del ejercicio. 

La propiedad asociativa puede aplicarse en el caso de multiplicaciones y sumas, dado que en estos casos el orden de las operaciones matemáticas no afecta al resultado final. Nos referimos, claro está, a ejercicios de multiplicación y suma puros (solo sumas o solo multiplicaciones), y no a ejercicios que combinan ambas operaciones. 

A continuación, te dejamos algunos ejercicios que ejemplifican la propiedad asociativa:

(17 + 3) + 11 =
17 + (3 + 11) =
17 + 3 + 11 = 31

(16 + 8) + 9 =
16 + (8 + 9) =
16 + 8 + 9 = 33

5 x (2 x 9) =
(5 x 2) x 9 =
5 x 2 x 9 = 90

10 x (1 x 4) =
(10 x 1) x 4 =
10 x 1 x 4 = 40

11 + (12+13) + 14 =
11+ 12 + (13+14) =
(11+12)+13+14 = 50

7 x (8 x 3) x 4 =
(7 x 8) x 3 x 4 =
7 x 8 x (3 x 4) = 672


Si necesitas una explicación en detalle sobre la propiedad asociativa, puedes echarle un vistazo al artículo específico dedicado a ella. 

La propiedad distributiva nos permite simplificar ejercicios de multiplicación y división mediante la «separación» de uno de los elementos en dos números o más. De esta manera, uno de los elementos se representa mediante las operaciones de suma o resta, algo que nos ayuda a trabajar con números más pequeños y cómodos. 

A continuación, te dejamos algunos ejercicios que ejemplifican lo explicado hasta el momento:

5 X 26 =
5 X (20 + 6) =
100 + 30 = 130

7 X 87 =
7 X (80 + 7) =
560 + 49 = 609

208 : 4 =
(200 + 8) : 4 =
200 : 4 + 8 : 4 =
50 + 2 = 52

312 : 4 =
(320 - 8) : 4 =
320 : 4 - 8 : 4 =
80 - 2 = 78

La propiedad distributiva se puede expresar más preciso del siguiente modo: 

A x (D + E) = AD + AE
A x (D - E) = AD - AE

El artículo específico sobre la propiedad distributiva te aportará más detalles al respecto en caso de que lo necesites.  

Ejemplos y ejercicios

Ejercicio n.º 1:

Emplea la propiedad conmutativa (o asociativa) para resolver los siguientes diez problemas sin recurrir a una calculadora:

15 x 2 x 8 =
17 x 5 x 2 =
26 x 4 x 25 =
14 + 5 + 5 =
8 + 2 + 9 =
18 x 2 x 5 =
37 + 2 + 8 =
103 x 10 x 10 =
13 + 7 + 101=
18 x 2 x 10 = 

Soluciones:

5 x 2 x 8 =
(15 x 2) x 8 = 240

17 x 5 x 2 =
17 x (5 x 2) = 170

26 x 4 x 25 =
26 x (4 x 25) = 2600

14 + 5 + 5 =
14 + (5 + 5) = 24

8 + 2 + 9 =
(8 + 2) + 9 = 19

18 x 2 x 5 =
18 x (2 x 5) = 180

37 + 2 + 8 =
37 + (2 + 8) = 47

103 x 10 x 10 =
103 x (10 x 10) = 10300

13 + 7 + 101 =
(13 + 7) + 101 = 121

18 x 2 x 10 =
18 x (2 x 10) = 360

Ejercicio n.º 2:

Como consecuencia del coronavirus, una tienda decidió comprar 1024 mascarillas para repartirlas entre sus clientes en caso de necesidad. Cuando el pedido de mascarillas llegó, estas estaban divididas en cuatro paquetes, todos ellos con la misma cantidad de mascarillas. 

¿Cuántas mascarillas hay en cada paquete?

Resuelve este problema aplicando la propiedad distributiva. 

Solución:

En primer lugar, traduzcamos el problema en un ejercicio algebraico: 

1024 : 4 =
(1000 + 24) : 4 =
1000 : 4 + 24 : 4 =
250 + 6 = 256

Respuesta:

En cada paquete hay 256 mascarillas.

Ejercicio n.º 3:

Con motivo del día de la familia, el consejo estudiantil adquirió 31 packs de regalos para los padres porque ese es el número de estudiantes que había en la clase. En cada pack había 9 productos.

¿Cuántos productos en total compró el consejo estudiantil?

Resuelve el problema empleando la propiedad distributiva.

Solución:

Si traducimos los datos del problema a un ejercicio algebraico, obtendremos:

31 x 9 =
(30 + 1) x 9 =
30 x 9 + 1 x 9 =
270 + 9 = 279

Respuesta:

El consejo estudiantil compró un total de 279 productos con motivo del día de la familia.