Fracciones

Puede parecer que el tema de las fracciones dé miedo porque a veces tenemos que tratar con números decimales y líneas de fracción que aparecen de la nada y, de repente, hay que multiplicar o simplificar los números que se encuentran a ambos lados de la línea de fracción. Esto puede parecernos un lío, pero para dejártelo claro te hemos preparado un artículo que cubre todo acerca de las fracciones y cómo resolverlas de la manera más sencilla.

¿Qué son las fracciones?

Las fracciones hacen referencia a la cantidad de partes que equivalen al todo . Supongamos que tenemos una tarta dividida en porciones iguales, la fracción viene a representar cada una de las porciones en las que hemos cortado la tarta. Así, si tenemos cuatro porciones iguales, cada una de ellas representa un cuarto de la tarta. Esto se expresa numéricamente de la siguiente manera:  \(1 \over 4\).

El número 1 hace referencia a la porción específica del conjunto total de la tarta. Podemos verlo de la siguiente manera: estamos hablando sobre una porción y, por tanto, la expresamos con un 1. Si habláramos de dos porciones, en lugar de 1 escribiríamos 2.

El número 4 hace referencia a todas las porciones iguales de la tarta. Dado que hemos dividido la tarta en cuatro porciones iguales, el número que debe representar dicha división es el 4.

Fracciones propias de manera visual

Para los más pequeños, la forma más fácil de aprender las fracciones es mediante dibujos que representen la división de manera visual. Por ejemplo, a continuación tenemos nuestra tarta dividida de manera visual:

שברים.png

Intentemos comprender qué es lo que estamos viendo en los dibujos:

La fracción \(1 \over 1\) Representa toda la tarta. Tenemos una tarta que hemos mantenido completa, sin dividir en porciones. Por tanto, tenemos una tarta dividida en una única porción, es decir, entera.

La fracción \(1 \over 2\) Representa la mitad de la tarta. Tenemos dos porciones y por tanto, el número 2 viene a representar esas dos porciones. De ambas, hemos cogido una, algo que representamos con el número 1.

La fracción  \(3 \over 4\) Es un poco más complicada, pero hay una manera fácil de entenderla: esta fracción representa una tarta que hemos dividido en cuatro porciones (cuartos), de los que nosotros hemos cogido 3. Por tanto, el número 3 viene a representar la cantidad de porciones que hemos cogido y el 4, el número de porciones totales que había.

La fracción \(1 \over 4\) , al igual que la de ,  \(3 \over 4\)nos muestra que la tarta se ha dividido en 4 porciones y por ello lo representamos con el número 4. En el caso de ¼, esta fracción viene a decirnos que de las cuatro porciones, hemos cogido solamente una.

A veces podremos ver que las fracciones se representan de otras maneras, tales como : 1/1 o ½, pero no te preocupes, todas vienen a decir lo mismo.\(1 \over 1\)\(1/1\)1

Estructura de la fracción: numerador y denominador

Las partes y el total se representan con números que aparecen tanto sobre la línea de fracción como debajo de ella.

Numerador

El numerador se escribe sobre la línea de fracción y representa las partes del todo.

Denominador

El denominador se escribe bajo la línea de fracción y representa el todo (en nuestro ejemplo, la tarta).

Suma y resta de fracciones

Cuando queremos sumar o restar fracciones, hay una serie de puntos que debemos comprobar antes de ponernos manos a la obra.

Suma y resta de fracciones con igual denominador

Cuando las fracciones comparten un denominador, todo lo que tenemos que hacer es sumar o restar los numeradores de las fracciones. Por ejemplo:

\({3 \over 10}+{6 \over 10}-{5 \over 10}+{1 \over 10}\)

\({3+6-5+1 \over 10} = {5 \over 10}\)

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

Cuando el denominador de las fracciones es distinto, lo primero que debemos hacer es encontrar el mínimo común múltiplo del denominador.

Cómo encontrar el mínimo común denominador

Para encontrar el mínimo común denominador, debemos encontrar múltiplos del denominador más alto hasta llegar a un número que pueda dividirse por el denominador más pequeño.
Veamos un ejemplo: \({3 \over 2}+{6 \over 4}\)En este caso, el denominador común será 4 porque 2 × 2 = 4 y 4 × 1 = 4. 

En el caso de fracción \({3 \over 2}\) , la multiplicamos por 2 (tanto el numerador como el denominador) y en el caso de la fracción  \({6 \over 4}\) , la multiplicamos por 1. De esto modo, obtendremos el siguiente resultado:

\({3 \over 2}+{6 \over 4} = {6 \over 4} + {6 \over 4} = {12 \over 4}\)

Fracciones mixtas

Hasta ahora hemos hablado solamente de fracciones simples. En este apartado nos centraremos en otro tipo más complicado de fracciones, las fracciones mixtas, que también se llaman números mixtos. Antes de entrar de lleno en la suma y resta de números mixtos, entendamos qué son. Los números mixtos son números que combinan números enteros y fracciones, tales como:  \(2{1 \over 2}\)

Suma y resta de números mixtos

Se pueden sumar y restar números mixtos de dos formas distintas.

  • Por un lado, podemos calcular por separado los números enteros y las fracciones según las reglas que ya hemos visto.

Por ejemplo: \(1{1 \over 3}+2{1 \over 3}\)

\((1+2)+​​({1 \over 3}+{1 \over 3})=3+{1+1 \over 3}=3{2 \over 3}\)

  • Por otro lado, la segunda manera en que podemos sumar y restar números mixtos es convertir el número entero en una fracción cuyo denominador sea igual al de la fracción que lo acompaña. Para hacer esto, tan solo debemos multiplicar el número entero por el denominador de la fracción y luego colocar el resultado en el numerador. Parece un tanto lioso, pero es bastante sencillo.

Por ejemplo: \(1{1 \over 3}+2{1 \over 3}\)

Convertimos los números enteros en fracciones y luego sumamos según las reglas que ya hemos visto:

\(1{1 \over 3}={3 \over 3}+ {1 \over 3}={4 \over 3}\)

\(2{1 \over 3}={6 \over 3}+ {1 \over 3}={7 \over 3}\)

El resultado será el siguiente:

\({4 \over 3}+{7 \over 3}={11 \over 3}\)

Hasta ahora hemos cubierto muchos temas y conceptos como números mixtos o fracciones impropias sin adentrarnos demasiado en ellos, así que hagamos un breve repaso.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. Es decir, es una fracción cuyo resultado es mayor que 1 o, en otras palabras, la fracción impropia contiene más que el todo.

Por ejemplo: \({4 \over 2}\)

En este caso vemos que el denominador es 2. Es decir, el todo equivale a 2 partes y, además, tenemos otras 2 partes de otro todo.

\({4 \over 2}= {2 \over 2}+{2 \over 2} = 2\)

Número mixto

Un número mixto es un número que combina un número entero con una fracción, como \(2{​​1 \over 2}\).

Cuando nos encontramos con una fracción impropia, podemos simplificarla hasta llegar a un número mixto.

Podemos hacer esto si descomponemos la fracción en varias fracciones más pequeñas basadas en un mismo denominador.

Por ejemplo, la fracción \({5 \over 2}\) se puede dividir en: \({​​2 \over 2} + {​​2 \over 2} + {1 \over 2} = 2{​​1 \over 2}\)

Simplificación de fracciones

A veces podemos simplificar fracciones para que nos resulte más fácil trabajar con ellas. Por ejemplo, la siguiente fracción se puede simplificar: \({3 \over 15}\)

La simplificación de fracciones se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el mismo número, preferiblemente por aquel que transforme el numerador en el número más pequeño posible.

Por ejemplo, en la fracción  \({3 \over 15}\) , el numerador es 3 y el denominador, 15. Ambos se pueden dividir entre 3, obteniendo así una fracción mucho más sencilla:

3 ÷ 3 = 1

15 ÷ 3 = 5

Al simplificar 3 ÷ 15 obtenemos 1÷5 \({1 \over 5}\)

Puedes leer más sobre la simplificación de fracciones en el artículo « Simplificación de fracciones » de nuestra página web para saber cómo hacerlo

Una vez comprendidos los principios y los conceptos, podemos proseguir con otros temas relacionados con las fracciones.

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, lo que debemos hacer es multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Multiplicación de fracciones propias: multiplicar una fracción por otra

Multiplicar fracciones propias es bastante fácil. Todo lo que debemos hacer es multiplicar el denominador de la primera fracción por el de la segunda y hacer lo mismo con los numeradores. 

Por ejemplo: \({{1\over2}\times{3\over4}}={3 \over 8}\)

Multiplicación de fracciones propias: multiplicar una fracción por un número entero

Cuando tenemos un ejercicio en el que haya que multiplicar una fracción por un número entero, todo lo que debemos hacer es convertir el número entero en una fracción como ya hemos aprendido.

Por ejemplo: \({2\times{3\over4}}={2 \over 1}\times{3\over4}={6\over4}={3\over2}\)

Multiplicación de fracciones mixtas: multiplicar una fracción por un número mixto

Al igual que ocurre con la multiplicación de una fracción por un número entero, la manera más sencilla es la de convertir los números mixtos en fracciones propias.

Por ejemplo: \({2{1\over2}\times{3\over4}}\)

En primer lugar, convertimos \(2{1\over2}\) en una fracción sencilla:

\(2{1\over2}={4\over2}+{1\over2}={5\over2}\)

Luego continuamos con el ejercicio:

\({{5\over2}\times{3\over4}}={15\over8}=1{7\over8}\)

Multiplicación de fracciones mixtas: multiplicar número entero por uno mixto

Existen dos formas de multiplicar un número entero por un número mixto.

  • La primera manera de hacerlo es como los casos de multiplicación anteriores: convertimos el número mixto en una fracción impropia y el número entero en una fracción propia. Debemos asegurarnos de que ambos tengan un denominador común.

Por ejemplo: \(2{1\over2}\times{2}\)

\(2{1\over2}={4\over2}+{1\over2}={5\over2}\)

\(2={4\over2}\)

Luego, proseguimos con el ejercicio:

\({5\over2}\times{4\over2}={20\over4}={5\over1}=5\)

La segunda manera de hacerlo es aplicando la propiedad distributiva, pero sobre ello hablaremos detenidamente más adelante.

División de fracciones

Dividir fracciones propias es sencillo. Todo lo que debemos hacer es dividir ambos numeradores entre sí y ambos denominadores. Pero ¿qué pasa cuando cuando nos encontramos con números enteros y mixtos?

División de fracciones propias: dividir una fracción entre otra

Tal y como hemos dicho anteriormente, dividir fracciones propias es bastante sencillo. Todo lo que tenemos que hacer es dividir el denominador de la primera fracción entre el denominador de la segunda y hacer lo mismo con los numeradores.  

Por ejemplo: \({{3\over4}\div{1\over2}}={3 \over 2}=1{1\over2}\)

Multiplicación en cruz

Cuando los números son grandes y están en orden, todo va bien, pero ¿qué ocurre si tenemos un ejercicio a la inversa como el siguiente? \({{1\over2}\div{3\over4}}\)

En este caso, nos conviene recurrir a la multiplicación en cruz. Lo que debemos hacer es dejar la primera fracción tal cual, transformar la división en una multiplicación e invertir el numerador y el denominador de la segunda fracción. 

Por ejemplo: \({{1\over2}\div{3\over4}}={{1\over2}\times{4\over3}}\)

Ahora nos resulta mucho más sencillo resolver el ejercicio:

\({{1\over2}\times{4\over3}}={4\over6}={2\over3}\)

División de fracciones propias: dividir una fracción entre un número entero

Cuando tenemos un ejercicio en el que haya que dividir una fracción entre un número entero, lo que debemos hacer es convertir el número entero en una fracción como ya aprendimos en el apartado Multiplicación de fracciones propias: multiplicar una fracción por un número entero.

Por ejemplo: \({{3\over4}\div2}={{3\over4}\times{1\over2}}={3\over8}\)

División de fracciones propias: dividir un número entero entre una fracción

Cuando tenemos un ejercicio en el que haya que dividir un número entero entre una fracción, lo único que debemos hacer es convertir el número entero en una fracción como ya aprendimos y después multiplicar la fracción que hemos creado por la otra fracción en cruz. En realidad, se trata del mismo procedimiento que aplicamos para dividir una fracción entre un número entero. Lo único que cambia es que debemos invertir la fracción y no el número entero.

Por ejemplo: \(2\div{3\over4}={2\over1}\times{4\over3}={8\over3}=2{2\over3}\)

División de fracciones impropias: dividir un número mixto entre un número entero o una fracción

El procedimiento ya lo hemos comprendido. En ejercicios de este tipo, lo que tenemos que hacer es convertir el número mixto en una fracción impropia y el número entero también. Luego dividimos según las reglas que hemos aprendido. Los principios de la división se mantienen.

Existen otros tipos de fracciones, como las decimales, pero ya las estudiaremos en otro artícu

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