Jerarquía de operaciones: (potencias)

Como parte de las operaciones combinadas, aprendimos que los paréntesis ocupan siempre el primer lugar.

Una vez resueltos, podemos comenzar a simplificar potencias (o raíces).

Cuando las hayamos simplificado, podemos continuar resolviendo el ejercicio de acuerdo con el orden de las operaciones básicas :

En primer lugar, las multiplicaciones y las divisiones y, en último lugar, las sumas y las restas.

Refresquemos el orden de las operaciones:

  1. Paréntesis
  2. Potencias y raíces
  3. Multiplicaciones y divisiones
  4. Sumas y restas

En caso de que tengamos un ejercicio con paréntesis que estén entre otros paréntesis. Primero resolveremos el paréntesis interno y luego pasaremos al paréntesis externo.

Ejemplo_de_ejercicio_sobre_operaciones_aritmeti.1

Echemos un vistazo al siguiente ejercicio con operaciones combinadas y veamos paso a paso:

Por ejemplo Ejercicio 1:

\(2 + 5 \cdot 4^2 \cdot (3-1) = \)

En el primer lugar, realizamos las operaciones dentro del paréntesis. Una vez hecho, obtendremos lo siguiente:
\(2 + 5 \cdot 4^2 \cdot 2 = \)

Observemos que tenemos una operación combinada donde aparecen potencias, multiplicaciones y sumas, por lo que procedemos a resolver la potencia.

Una vez hecho, obtendremos:
\(2+5 \cdot16 \cdot 2 =\)

Ahora es el momento de resolver las multiplicaciones (recordamos: de izquierda a derecha):
\(​​2+80\cdot2=\)\(2+160=​​\)

El último lugar, sumamos:
\(2+160=162\)


Ejercicio 2, Ahora haremos el mismo ejercicio, pero con una pequeña variación.
\(2 + 5 \cdot 4^2 \cdot (3^2-1) = \)

Primero debemos resolver la operación dentro del paréntesis, en donde hay una potencia y una resta, por lo que siguiendo el orden de las operaciones calculamos la potencia y después la resta.

\(2 + 5 \cdot 4^2 \cdot (3^2-1) = \)

\(2 + 5 \cdot 4^2 \cdot (9-1) = \)

Ahora podemos proseguir con la resolución del ejercicio tal y como habíamos venido haciendo hasta ahora.

\(2 + 5 \cdot 4^2 \cdot 8 = \)

\(2 + 5 \cdot 16 \cdot 8 = \)

\(2 + 80 \cdot 8 = \)

\(2 + 640 = 642\)


Ejercicio 3

\( (23+4^2)+8\cdot(9^2-1)= \)

Resolvemos las operaciones dentro de cada paréntesis, aplicando la jerarquía de operaciones dentro de ellos.

\( (23+16)+8\cdot(81-1)= \)

Ahora es el momento de resolver las multiplicaciones (recordamos: de izquierda a derecha):

\( 39+8\cdot80= \)

\( 39+640= \)

El último lugar, sumamos:
\( 39+640=679 \)

Recuerda que el orden de las operaciones siempre será el mismo, aunque aparezcan operaciones combinadas con fracciones.

Operaciones combinadas ejercicios:

Ejemplo básico 4:

\(4+2^2=\)

Primero las potencias

\(4+4=\)

El último lugar, sumamos

\( 4+4=8 \)


Ejemplo básico 5:

\(4+2+5^2=\)

Primero las potencias

\(4+2+25=\)

El último lugar, sumamos

\(4+2+25=31\)


Ejemplo básico 6:

\(5+5-5^2+4^2=\)

Primero las potencias

\(5+5-25+16=\)

El último lugar, sumamos

\( 5+5-25+16=1 \)


Ejercicios para practicar el orden de las operaciones básicas (potencias)

  • \(3 \cdot3+3^2=\)
  • \((3+1)^2-(4+1)=\)
  • \(10:2-2^2=\)
  • \(100:5^2+3^2=\)
  • \(5^3:5^2\cdot2^3=\)
  • \(0:2^2\cdot1^{10}+3\)
  • \(({1\over4})^2+{1\over16}=\)
  • \(({1\over2})^2+({1\over3})^2+{1\over4}=\)
  • \(8-3^2:3=\)
  • \((2+1 \cdot2)^2=\)
  • \((20-3 \cdot2^2)^2=\)
  • \((15+9:3-4^2)^2=\)
  • \([(4-2^2)]^3=\)
  • \(5+8^2=\)
  • \(2^6+3=\)
  • \(12-3^2=\)
  • \(22-3^4=\)
  • \(({1\over3})^2\cdot60=\)
  • \(7-8 \cdot 2-3^2=\)
  • \(25\cdot[({1\over2})^2+2^2]=\)
  • \(27.5+1.5^3\cdot6=\)
  • \(0.2^2\cdot5=\)
  • \((6-6)\cdot2^2=\)
  • \(1+20^2\cdot{1\over5}=\)

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Preguntas de repaso

¿Cuál es el orden de las operaciones cuando hay exponentes y potencias?

Los exponentes y las raíces siempre deben realizarse antes que una multiplicación o división; y antes que una suma o resta.


¿Cuál es el orden correcto de las operaciones matemáticas?

Cuando trabajamos con operaciones combinadas en las que hay paréntesis, potencias y raíces, multiplicaciones y divisiones, y además sumas y restas, debemos utilizar la jerarquía de operaciones que indica el orden en que debemos ir realizando las operaciones.

  • Se resuelven los paréntesis. Si hay paréntesis dentro de otros, primero resolvemos los internos y posteriormente los externos.
  • Se resuelven potencias y raíces.
  • Se resuelven multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
  • Se resuelven sumas y restas (de izquierda a derecha).

¿Qué son las operaciones con potencias?

Las potencias se usan para abreviar multiplicaciones de un número (llamado base) por si mismo, una cantidad “n” de veces.

Cuando tenemos operaciones básicas combinadas, en donde aparezcan potencias, debemos recordar que la potencia después de haber resuelto los paréntesis.


¿Cómo resolver jerarquía de operaciones con exponentes?

Resolvemos los paréntesis, y posteriormente resolvemos elevamos las bases al exponente indicado, esto se realiza multiplicándolo por si mismo, tantas veces como indique el exponente.