Jerarquía de operaciones: (raíces)

Cuando tenemos operaciones combinadas, hemos aprendido que el orden de las operaciones básicas ,también denominado jerarquía de operaciones es fundamental para obtener el resultado correcto, y aprendimos que los paréntesis ocupan siempre el primer lugar. Una vez resueltos, podemos comenzar a trabajar con las raíces y potencias.

Debemos resaltar la importancia de la raíz en cálculos matemáticos, ya que utilizaremos esta operación en ejercicios variados, desde problemas algebraicos para determinar la solución de una ecuación de segundo grado usando la fórmula general, problemas geométricos, por ejemplo, determinar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo o el hecho de que raíz cuadrada de dos no es un número racional. Por lo tanto, es fundamenta que aprendamos a resolver operaciones combinadas donde aparece está operación.

Cuando hayamos simplificado las operaciones de raíz y potencia, podemos continuar resolviendo el ejercicio de acuerdo con el orden de las operaciones básicas: en primer lugar, las multiplicaciones y las divisiones y, en último lugar, las sumas y las restas.

Refresquemos el orden de las operaciones:

  1. Paréntesis
  2. Potencias y raíces
  3. Multiplicaciones y divisiones
  4. Sumas y restas

Dado que no se trata de una operación que afecte al resto de operaciones del ejercicio, no tenemos por qué resolverlas de izquierda a derecha como ocurre con el resto de operaciones.  

Tomemos el siguiente ejemplo:

\( 5+{\sqrt{49}}+4^3+(10\cdot3):2= \)

Para resolverlo, empezaremos resolviendo las operaciones dentro de los paréntesis:

\( 5+{\sqrt{49}}+4^3+30:2= \)

A continuación, pasamos a las raíces y las potencias.

\( 5+7+64+30:2= \)

En el siguiente paso resolvemos las multiplicaciones y las divisiones:

\( 5+7+64+15= \)

Una vez resueltas, pasamos a las operaciones de suma y resta:

\( 5+7+64+15= 91\)

Orden de operaciones en potencias

Orden de operaciones en la apertura del paréntesis


Jerarquía de Operaciones Ejemplos

Ejercicio 1:

Tomemos el siguiente ejemplo:

\(3+{\sqrt 81}+2^3+(3\cdot2):1=\)

Para resolverlo, empezaremos resolviendo los paréntesis:

\(3+{\sqrt 81}+2^3+6:1=\)

A continuación, pasamos a las raíces y las potencias.

\(3+9+2^3+6:1=\)\(3+9+8+6:1=\)

En el siguiente paso resolvemos las multiplicaciones y las divisiones:

\(3+8+8+6=\)

Una vez resueltas, pasamos a las operaciones de suma y resta:

\(3+8+8+6=25\)


Ejercicio 2:

Ahora haremos el mismo ejercicio, pero con una pequeña variación.

\(3\cdot({\sqrt 81}+2^3)+3-2:1=\)

Dado que la raíz y la potencia están dentro de los paréntesis, las simplificaremos para poder eliminar los paréntesis y cumplir así con el orden de las operaciones establecido.

\(3\cdot(9+8)+3-2:1=\)\(3\cdot17+3-2:1=\)

Ahora continuamos, guiándonos por el orden de las operaciones, y pasamos a las multiplicaciones y las divisiones (recordemos, de izquierda a derecha).
\(51+3-2:1=\)\(51+3-2=\)

En esta fase procedemos a las últimas operaciones, aquellas de suma y resta:
\(51+3-2=52\)


Ejercicio 3:

Resolveremos el próximo ejercicio

\( \sqrt{9}+\sqrt{49}+\sqrt{121}\times13-(4^2+6^2)\text{ }= \)

En este ejercicio empezaremos resolviendo la operación que están dentro de los paréntesis, en este caso entre paréntesis tenemos potencias y después resolveremos el resto:

\( \sqrt{9}+\sqrt{49}+\sqrt{121}\times13-(16+36)\text{ }= \)

\( \sqrt{9}+\sqrt{49}+\sqrt{121}\times13-(52)\text{ }= \)

\( \sqrt{9}+\sqrt{49}+\sqrt{121}\times13-52\text{ }= \)

Ahora continuamos, guiándonos por el orden de las operaciones, y pasamos a las raíces (recordemos, de izquierda a derecha).

\( 3+7+11\times13-52= \)

Ahora continuamos, guiándonos por el orden de las operaciones, y pasamos a las multiplicaciones y las divisiones (recordemos, de izquierda a derecha).

\( 3+7+143-52= \)

Finalmente, sumamos y restamos:
\( 3+7+143-52=101 \)


Ejercicio 4:

\( {\sqrt9}\cdot{\sqrt4}+9^2\cdot6= \)

En este ejercicio vemos que no hay paréntesis por lo que resolveremos en orden de acciones, raíces y potencias de izquierda a derecha.

\( 3\cdot2+81\cdot6= \)

Ahora continuamos, guiándonos por el orden de las operaciones, y pasamos a las multiplicaciones y las divisiones (recordemos, de izquierda a derecha).

\( 6+486= \)

Finalmente, sumamos y restamos:
\( 6+486=492 \)


Ejercicio 5:

\( 3^2-2+{\sqrt49}= \)

En este ejercicio vemos que tampoco hay paréntesis por lo que resolveremos en orden de acciones, raíces y potencias de izquierda a derecha.

\( 9-2+{7}= \)

Finalmente, sumamos y restamos:
\( 9-2+{7}=14 \)


Ejercicio 6:

\( \sqrt[3]{27}+\left(\sqrt{2}\right)^2+\frac{\sqrt{16}}{\sqrt[3]{8}}+\sqrt{9}\times\sqrt{4} = \)

Para poder realizar la suma de raíces, iniciamos calculando de forma independiente la raíz cubica de 27, la cual es 3. Por otro lado, cuando elevamos al cuadrado la raíz cuadrada de 2, cancelamos la raíz con la potencia, dando como resultado 2, por lo que obtenemos:

\( 3+2+\frac{\sqrt{16}}{\sqrt[3]{8}}+\sqrt{9}\times\sqrt{4}= \)

Para poder realizar la multiplicación de raíces y división de raíces, procedemos a obtener el resultado de cada raíz:

\( 3+2+\frac{4}{2}+3\times2=\)

Realizamos la división y multiplicación

\( 3+2+2+6= \)

Y calculamos la suma

\( 13 \)


Ejercicios de jerarquía de operaciones con raíz

  • \({\sqrt 16} \cdot{\sqrt 4}+4^2\cdot10=\)
  • \(12^2-7+{\sqrt 36}=\)
  • \(6+{\sqrt 64}-4=\)
  • \(2\cdot({\sqrt 32}+9)=\)
  • \(2\cdot(3^3+{\sqrt 144})=\)
  • \((4^2+3)\cdot{\sqrt 9}=\)
  • \(18^2-(100+{\sqrt 9})=\)
  • \(({\sqrt 16}-2^2+6):2^2=\)

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Preguntas de repaso

¿Qué se hace primero división o raíz?

Cuando tenemos operaciones combinadas, en donde aparecen divisiones y raíces, primero se resuelve la raíz y después la división.


¿Qué se hace primero la raíz o la potencia?

La raíz y la potencia están en el mismo nivel en la jerarquía de operaciones, estás operaciones normalmente no se afectan entre sí, ni afectan el resto de las operaciones, por lo que no es necesario hacerlas de derecha a izquierda.


¿Cuál es el orden correcto de las operaciones matemáticas?

Cuando tenemos operaciones o ejercicios combinados con distintas operaciones debemos resolverlos en el siguiente orden:

  1. Operaciones dentro de los paréntesis (La jerarquía se mantiene dentro de estos).
  2. Raíces y potencias.
  3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha).
  4. Sumas y restas (de izquierda a derecha).

¿Cómo resolver operaciones combinadas con raíces?

Antes de resolver las raíces, debemos resolver las operaciones dentro de los paréntesis, una vez concluido, procedemos a resolver las raíces y potencias.