La propiedad asociativa

¿Qué es la propiedad asociativa?

La propiedad asociativa es una regla con la que podemos realizar sumas y multiplicaciones de más de dos elementos, asociandolos según consideremos oportuno sin que esto afecte al resultado final del ejercicio. Normalmente, para asociar estos elementos se recurre a los paréntesis, ya que estos nos permiten dar preferencia a operaciones determinadas en el orden de resolución.

Por ejemplo:

El siguiente ejercicio:

\( 15\times 2\times 9= \)

También podemos asociar así:

\( \left(15×2\right)×9=15×\left(2×9\right)=270 \)

Para hacernos el camino más fácil a la hora de resolver problemas algebraicos, existen algunas propiedades que podemos emplear para simplificarnos el trabajo. Estas propiedades son, entre otras, la asociativa, la conmutativa y la distributiva. En este artículo nos centramos en la asociativa y su empleo, pero no te asustes, recordaremos brevemente a sus hermanas: la distributiva y la conmutativa.


¿Cuál es la propiedad asociativa?

Es una propiedad que permite realizar sumas o multiplicaciones de más de dos elementos, sin alterar el resultado final.


¿Qué es la propiedad asociativa y dar un ejemplo?

Es una propiedad que permite realizar sumas o multiplicaciones de más de dos elementos, sin alterar el resultado final.

Por ejemplo:

\( 5+3+8=5+3+8=5+\left(3+8\right)=16 \)

\( 5\times4\times2=5\times4\times2=5\times\left(4\times2\right)=40 \)


El nombre dado a la propiedad asociativa deriva del término asociar, que significa agrupar.

Según la definición de la propiedad asociativa podemos asociar (agrupar) varios términos en un ejercicio como nos parezca más apropiado y en el orden que elijamos, sin que esto influya en el resultado. La forma habitual de llevar a cabo la asociación es añadiendo paréntesis a ciertos términos, dándoles, de este modo, prioridad en el orden de las operaciones.

Es decir: esta propiedad nos permite agrupar primeramente dos términos, calcular el resultado de su suma o multiplicación según sea el caso y, sólo después de haber hecho esto, añadir el tercer término al resultado anterior para sumarlo o multiplicarlo.


Propiedad asociativa de la suma:

En sumas de tres elementos podemos (por ejemplo) agrupar primeramente los sumandos segundo y tercero, resolver esta suma y agregar el primer sumando al resultado.

Otra manera de hacerlo es primero calcular la suma del primer y segundo sumando y luego, agregar el tercer sumando al resultado. Del mismo modo podremos sumar primeramente el primer y tercer sumando y luego agregar el segundo.

En general cuantos más términos haya, habrá más maneras de resolver el ejercicio, sin embargo, indiferentemente al orden en que elijamos resolver el ejercicio, el resultado no se verá alterado, siempre será el mismo.

Coloquemos paréntesis a los términos que queramos resolver en primer lugar.

Regla:

\( a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c) \)

La propiedad asociativa de la suma también funciona con expresiones algébricas, pero no en restas.


Propiedad asociativa de la multiplicación:

En las multiplicaciones de tres elementos podemos multiplicar primero el factor segundo con el tercero y luego, multiplicar el producto por el primer factor.

Otra manera de hacerlo es multiplicar el primer factor por el segundo y luego, multiplicar el producto por el tercero.

Asimismo, podemos comenzar multiplicando el primer y tercer factor entre ellos y, recién después, por el segundo,

En general, cuantos más términos haya, aumentan las posibilidades, pero, sin lugar a duda, indiferentemente al orden, el resultado no se verá alterado, siempre será el mismo.

Coloquemos paréntesis a los términos que queramos resolver en primer lugar.

Regla:

\( a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(b\times c)=b\times(a\times c) \)

La propiedad asociativa de la multiplicación también funciona con expresiones algébricas, pero no en divisiones.


La propiedad asociativa

De hecho ¿qué es la propiedad asociativa? y ¿por qué está podría ayudarnos a resolver ejercicios y ecuaciones?

La propiedad asociativa es una de las propiedades más fundamentales que nos acompañarán a la hora de resolver ejercicios matemáticos.

El significado de la propiedad asociativa viene de la palabra asociar: es decir, agrupar y, de hecho, describe una situación en la cual podemos agrupar dos términos y, sólo después de haberlo hecho, pasar a ocuparnos de los demás términos.

No te preocupes, tal vez suene un poco complicado en la teoría, pero en la práctica es simple y muy fácil de entender y mientras más la practiques, menos te darás cuenta de que la estás usando.

Poco a poco verás como irás aplicando esta propiedad de forma totalmente automática.


¿Para qué querríamos usar la propiedad asociativa?

En algunos casos, nos toparemos con ejercicios en los cuales los términos están ordenados de un modo incómodo que estorba el cálculo. Gracias a la propiedad asociativa podremos acomodar los términos de la manera que más nos convenga y resolver el ejercicio con más facilidad.

La propiedad asociativa funciona con operaciones de suma y de multiplicación. Para entenderla correctamente explicaremos esta propiedad con ambas operaciones.


Propiedad asociativa de la suma

Cuando hay cierto ejercicio de adición en el cual debemos sumar tres sumandos o más, podemos utilizar la propiedad asociativa para agrupar primeramente los términos que más nos facilite la operación. Luego, podremos añadirle a la suma el tercer sumando o todos los sumandos que queden.

Hasta ahora sumábamos el primer sumando con el segundo y luego el tercero.

Ciertamente, ésta es una manera correcta de hacerlo, pero la propiedad asociativa nos permite unir primeramente los sumandos segundo y tercero, resolver esta suma y agregar el primer sumando al resultado.

Otra manera de hacerlo es primero calcular la suma del primer y tercer sumando y luego, agregar el segundo sumando al resultado.

Recomendación: Colocar entre paréntesis los sumandos que queramos calcular en primer lugar nos ayudará a ver con claridad los términos con los que elegimos comenzar a resolver el ejercicio.

Formulemos la propiedad asociativa de la suma:

\( a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)=b+(a+c) \)

¿Te confunde? Luego lo veremos en un ejemplo:

Formulemos la propiedad asociativa de la suma

Acorde con la propiedad asociativa de la suma podemos tomar el primer y segundo sumando, sumarlos y agregar el tercer sumando al resultado:

Veámoslo en un ejemplo:

propiedad asociativa de la suma

Primero calculemos la suma del primer y segundo sumando, nos dará 9.

Luego podremos añadir, gracias a la propiedad asociativa, el tercer sumando (5) al total anterior, es decir al 9.

De hecho, actuaremos en el siguiente orden:

\( 4+5=9 \)

\( 9+5=14 \)

Seguro dices.... Bueno...eso es lo que hacía hasta el día de hoy... ¿Dónde está la novedad?

La propiedad asociativa permite tomar los sumandos que queramos, independientemente del orden de aparición en el ejercicio y sumarlos, aunque no sean los primeros.

Veámoslo en el ejercicio que hemos escrito antes:

La propiedad asociativa permite tomar los sumandos

Ahora sumaremos \( 5+5 \) y al total le añadiremos el 4.

\( 5+5=10 \)

\( 10+4=14 \)

Ciertamente, hemos obtenido el mismo resultado, 14.

La propiedad asociativa también puede ayudarnos, por ejemplo, en ejercicios con fracciones:

La propiedad asociativa también puede ayudarnos

En lugar de llevar las fracciones a un término en común podemos, primeramente, sumar los dos primeros términos, recibir el resultado, 1 en este caso, y luego añadir el tercer término.

\( 1+\frac{3}{5}=1\frac{3}{5} \)

La propiedad asociativa de la suma también funciona con expresiones algébricas.

Veámoslo en el siguiente ejemplo:

\( 4+5X+4X= \)

Como puedes ver, podemos asociar los términos 5X y 4X y añadir al total el término libre 4.

Es decir:

\( 4+5X+4X=9X+4 \)

Pon atención, aún si los términos que quisieras asociar no estuvieran uno a continuación del otro, podrías hacerlo gracias a la propiedad conmutativa y luego usando la propiedad asociativa.

Veámoslo en un ejemplo:

\( 5X+4+4X= \)

Acorde con la propiedad conmutativa podemos cambiar el 5X y el 4 y obtendríamos:

Acorde con la propiedad conmutativa podemos cambiar el X4 y el 4

Luego podemos aplicar la propiedad asociativa y llegar a:

\( 9X+4 \)

Ahora coloquemos cualquier número en lugar de la X, por ejemplo

\( x=2 \) y controlemos si hemos obtenido el mismo resultado:

\( 5\times2+4+4\times2= \)

\( 10+4+8=22 \)

Pondremos

\( x=2 \)

\( x=2 \) en la ecuación que asociamos:

\( 9\times2+4= \)

\( 18+4=22 \)

En efecto, hemos obtenido el mismo resultado, 22, en ambos ejercicios.

La propiedad asociativa nos ayuda a resolver el ejercicio de una manera más sencilla sin alterar el resultado.

Se puede decir que la expresión

\( 5X+4+4X \)

Equivale a la expresión

\( 9X+4 \)


Pon atención, es muy importante cumplir estrictamente con el orden de las operaciones matemáticas, especialmente cuando colocas cualquier número en la X que está precedida por un coeficiente. El coeficiente de la X duplica la X.

Sólo después de multiplicar la X que pusimos por su coeficiente podremos sumar el resultado a los demás términos.

Igual que en el ejemplo previamente visto, la multiplicación precede a la suma.

La propiedad asociativa no funciona con restas.


¿Dónde más puedes utilizar la propiedad asociativa? En multiplicaciones.

Propiedad asociativa de la multiplicación

Cuando hay cierto ejercicio de multiplicar en el cual debemos multiplicar tres factores o más, podemos utilizar la propiedad asociativa para agrupar primeramente los términos que mejor nos facilite la operación. Luego podremos multiplicar el tercer factor al producto de los dos primeros términos que elegimos.

Hasta ahora multiplicábamos el primer factor con el segundo y luego el tercero.

Ciertamente, ésta es una manera correcta de hacerlo, pero la propiedad asociativa nos permite unir primeramente los factores segundo y tercero, resolver la multiplicación y multiplicar el producto por el primer factor.

Otra manera de hacerlo es multiplicar el primer factor por el tercero y luego, multiplicar el producto por el segundo.

Formulemos la propiedad asociativa de la multiplicación:

\( a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times(a\times c)=(a\times c)\times b \)

Recuerda, colocar paréntesis nos ayudará a ver con claridad de qué términos nos ocupamos en primer lugar.

Sabemos que todo esto puede parecer un tanto confuso, pero ya verás un ejemplo y te darás cuenta de que se trata de una propiedad simple y básica.

Tomemos por ejemplo el siguiente ejercicio:

\( 7\times6\times\frac{3}{7}= \)

A primera vista, el ejercicio no se ve fácil de resolver. Ven a ver cómo con la ayuda de propiedad conmutativa y la asociativa se puede resolver muy fácilmente.

Apliquemos la propiedad conmutativa y cambiemos el orden de los términos para resolver el ejercicio de un modo sencillo:

\( 7\times\frac{3}{7}\times6= \)

Ahora, acorde con la propiedad asociativa de la multiplicación, podremos comenzar multiplicando los dos primeros términos y sólo después multiplicaremos el producto de esta operación por el tercer factor. Es decir:

operación por el tercer factor

Hemos elegido justamente estos dos términos ya que podremos reducir el 7 del denominador y del numerador y quedarnos con el número entero 3.Obtendremos:

\( 3\times6=18 \)


¿Quieres ver si acertaste?

Intenta resolver el ejercicio tal como se ve y comprueba si llegas al mismo resultado, 18.

La propiedad asociativa de la multiplicación también funciona con expresiones algébricas.

Veámoslo en un ejemplo:

\( 4\times X\times 5= \)

Según la propiedad conmutativa podemos cambiar el lugar del segundo y tercer término y obtener:

\( 4\times 5\times X= \)

La propiedad asociativa nos permite multiplicar los dos primeros factores y, sólo después, multiplicar el producto de esta operación por el tercer factor. Es decir:\( 20\times X=20X \)

Ahora coloquemos cualquier número en lugar de la X, por ejemplo, x=2 y veamos si llegamos al mismo resultado:

Solucionando el ejercicio del modo común:

\( 4\times 2\times 5=40 \)

En el ejercicio que aplicamos la propiedad asociativa:

En efecto, hemos obtenido el mismo resultado, 40.


Y ahora, ¿estás de acuerdo en que esta propiedad es muy simple?

Más adelante la usarás casi en todos los ejercicios y te aseguramos de que ni te darás cuenta de que estás aplicando la propiedad asociativa, simplemente lo harás.

Ejercicios:

Utiliza la propiedad asociativa para resolver los diez ejercicios siguientes sin utilizar la calculadora:

\( 9\cdot4\cdot3=\left(9\cdot4\right)\cdot3= \)

\( 15\cdot2\cdot9=15\cdot(2\cdot9)= \)

\( 18\cdot5\cdot2=18\cdot\left(5\cdot2\right)= \)

\( 27\cdot4\cdot25=27\cdot\left(4\cdot25\right)= \)

\( 13+5+5=13+(5+5)= \)

\( 8+2+7=(8+2)+7= \)

\( 19\cdot2\cdot5=19\cdot(2\cdot5)= \)

\( 38+2+8=38+(2+8)= \)

\( 102\cdot10\cdot10=102\cdot(10\cdot10)= \)

\( 13+7+100=\left(13+7\right)+100= \)

\( 18\cdot1\cdot10=18\cdot(1\cdot10)= \)

Soluciones:

\( 9\cdot4\cdot3=\left(9\cdot4\right)\cdot3=108 \)

\( 15\cdot2\cdot9=15\cdot2\cdot9=270 \)

\( 18\cdot5\cdot2=18\cdot\left(5\cdot2\right)=180 \)

\( 27\cdot4\cdot25=27\cdot\left(4\cdot25\right)=2700 \)

\( 13+5+5=13+(5+5)=23 \)

\( 8+2+7=(8+2)+7=17 \)

\( 19\cdot2\cdot5=19\cdot(2\cdot5)=190 \)

\( 38+2+8=38+(2+8)=48 \)

\( 102\cdot10\cdot10=102\cdot(10\cdot10)=10200 \)

\( 13+7+100=\left(13+7\right)+100=120 \)

\( 18\cdot1\cdot10=18\cdot(1\cdot10)=180 \)


Otras propiedades

Tal y como mencionamos al comienzo del artículo, repasaremos brevemente las otras propiedades que nos pueden facilitar la resolución de muchos ejercicios matemáticos: la propiedad distributiva y la propiedad conmutativa.

La propiedad distributiva nos permite realizar multiplicaciones en las que uno de los factores se descompone en sumas y restas.El objetivo es intentar trabajar con números más «cómodos» y hacer que el ejercicio sea más fácil.


Veamos algunos ejemplos:

\( 8\cdot28=8\cdot(20+8)=160+64=224 \)

\( 5\cdot93=5\cdot(90+3)=450+15=465 \)

\( 108:4=(100+8):4=100:4+8:4=25+2=27 \)

La propiedad distributiva puede expresarse del siguiente modo:

\( A\cdot(B+C)=AB+AC \)

\( A\cdot(B-C)=AB-AC \)

Si te hace falta, échale un ojo al artículo específico sobre la propiedad distributiva la propiedad distributiva

La conmutativa es una propiedad que nos permite intercambiar el orden de los elementos en una suma o multiplicación sin alterar el resultado de dichas operaciones

A continuación, te traemos algunos ejemplos que ilustran el empleo de esta propiedad:

\( 10+5=5+10=15 \)

\( 6\cdot7=7\cdot6=42 \)

\( 12+3+1=1+3+12=16 \)

\( 5\cdot4\cdot7=7\cdot4\cdot5=140 \)

Si te hace falta, échale un ojo al artículo específico sobre la propiedad conmutativa la propiedad conmutativa


Ejercicios con soluciones y explicaciones.

Ejercicio 1:

\( -5+3+4= \)

Solución:

En la propiedad asociativa agregamos paréntesis al ejercicio para facilitar el camino a la solución.

\( -5+(3+4)= \)

\( -5+7= \)

\( -5+7=2 \)

Respuesta:

\( 2 \)


Ejercicio 2:

\( 3+2-11= \)

Solución:

En la propiedad asociativa agregamos paréntesis al ejercicio para facilitar el camino a la solución.

\( (2+3)-11= \)

\( 5-11= \)

\( 5-11=-6 \)

Respuesta:

\( -6 \)


Ejercicio 3:

\( 12:4−3+3×3= \)

Solución:

En la propiedad asociativa agregamos paréntesis al ejercicio para facilitar el camino a la solución.

\( (12:4)-3+(3\times3)= \)

\( (3)-3+(9)= \)

\( (3)-3+(9)=9 \)

Respuesta:

\( 9 \)


Ejercicio 4:

\( 9:3-1.5\times2= \)

Solución:

Agregamos al ejercicio 2 paréntesis para calcular la operación por separado. Después de esto restamos los resultados.

\( (9:3)-(1.5\times2)= \)

\( (3)-(3)= \)

\( (3)-(3)=0 \)

Respuesta:

\( 0\)


Ejercicio 5:

\( 1+2×3−7:4= \)

Solución:

Al comienzo resolvemos la multiplicación y división de izquierda a derecha.

\( 1+2\times3-7:4= \)

\( 1+6-\frac{7}{4}= \)

\( 1+6-7:4= \)

Después de esto, resolvemos la suma y resta de izquierda a derecha.

Agrupamos (1+6)

\( (1+6)-\frac{7}{4}= \)

\( 7-\frac{7}{4}= \)

\( 7-1\frac{3}{4}=5\frac{1}{4} \)

Respuesta:

\( 5\frac{1}{4} \)


Ejercicio 6:

\( 3+10−2:4+1= \)

Solución:

Al comienzo resolvemos la multiplicación y división de izquierda a derecha.

\( 3+10-2:4+1= \)

\( 3+10-\frac{1}{2}+1= \)

Después de esto, resolvemos la suma y resta de izquierda a derecha.

\( (3+10+1)-\frac{1}{2}= \)

\( (14)-\frac{1}{2}= \)

Agrupamos los factores que entre ellos hay conexión:

\( 14-\frac{1}{2}=13\frac{1}{2} \)

Respuesta:

\( 13\frac{1}{2} \)


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