Cambio de Base de Logaritmo

Primero, recordemos la definición del logaritmo y entendamos qué es la base de un logaritmo:

La definición del logaritmo es:
$log_a⁡x=b$
$X=a^b$

Donde:
$a$ es la base del logaritmo
$X$ es lo que aparece dentro del logaritmo - que también puede aparecer dentro de paréntesis
$b$ es el exponente al que elevamos la base del logaritmo para obtener el número que aparece dentro del logaritmo.

La regla establece que si elevamos la base $a$ a la potencia de $b$ obtenemos $X$.
Para resolver un logaritmo, nos preguntamos - ¿a qué potencia debemos elevar $a$ para obtener $X$.
La potencia $b$ que encontramos es la solución.

Por ejemplo:
Cuando tenemos la expresión
$log_5⁡25=$

Preguntémonos –
¿A qué potencia necesitamos elevar $5$ para obtener $25$? La respuesta es $2$. Por lo tanto:
$log_5⁡25=2$

Importante saber - el logaritmo en el ejemplo se lee de la siguiente manera:
logaritmo base $5$ de $25$

Probablemente te estés preguntando, ¿por qué necesitamos cambiar la base del logaritmo?
¡Excelente pregunta!
A veces en ejercicios de resta, suma, multiplicación o división con diferentes bases, es más fácil cambiar la base de uno de los logaritmos para poder usar las fórmulas de suma y resta, y lo mismo ocurre con la multiplicación y división.
Entonces, ¿cómo lo hacemos? Según la siguiente regla:

La Regla del Cambio de Base para Logaritmos:

$log_aX=\frac{log_{base~que~queremos~cambiar~a}X}{log_{base~que~queremos~cambiar~a}a}$

Veamos un ejemplo:
Aquí está el ejercicio:
$log_8⁡16=$
Conviértelo a un logaritmo con base $2$.

Solución:
Al observar, esta es una solución ilógica... ¿A qué potencia debemos elevar $8$ para obtener $16$?
Por lo tanto, ¡podemos cambiar la base del logaritmo y resolver el problema mucho más fácilmente! Ten en cuenta que la instrucción es cambiar el logaritmo a base $2$.
Para cambiar la base del logaritmo, usaremos la fórmula:
En el numerador, tendremos logaritmo base $2$ (la base a la que queremos cambiar) con el contenido original del logaritmo $16$
Y en el denominador, tendremos logaritmo base $2$ (la base a la que queremos cambiar) con $8$ la base original.
Obtenemos lo siguiente:
$log_8⁡16=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡8 }$
¿Hemos terminado? Aún no. Ahora debemos proceder a resolver los logaritmos hasta obtener un número.
$log_2⁡16=4$
$log_28=3$
Insertamos los datos en el ejercicio como se ve a continuación para obtener nuestra solución:
$=\frac{4}{3}$
¡Increíble!

Ahora aumentaremos el nivel de dificultad y pasaremos a otro ejercicio con una variable donde también usaremos la regla del cambio de base de logaritmos:
$log_6⁡x+log_{36}⁡x=3$

Solución
Antes que nada, no te asustes. Con la regla que acabas de aprender, puedes resolver este ejercicio muy fácilmente. Empecemos paso a paso.

Cuando nos encontramos con dos logaritmos con bases diferentes, el primer paso es convertir el logaritmo mayor al menor porque será más simple de resolver.
Hagámoslo - convertiremos $log_{36}⁡x$ a base $6$ y obtenemos:
$log_{36}⁡x=\frac{log_6x}{log_6⁡36 }$

Inserta los datos en el ejercicio de la siguiente manera:

$log_6⁡x+\frac{log_6⁡x}{log_6⁡36} =3$

Continuemos resolviendo el ejercicio.
Podemos resolver el denominador -
$log_6⁡36=3$
Insertemos en el ejercicio
$log_6⁡x+\frac{log_6⁡x}{2}=3〗$
Continuemos resolviendo el problema y escribamos el ejercicio en una forma más simple:

$log_6⁡x+0.5 log_6⁡x=3$
Combinemos términos semejantes:
$1.5 log_6x=3$

$log_6 x=2$
Resuelve lo siguiente –
$x=6^2$
$x=36$

Consejo - A veces es útil sustituir una variable auxiliar $t$ en lugar de todo el logaritmo.
Cuando llegamos a esta etapa en el ejercicio -
$log_6⁡x+\frac{log_6⁡x}{2}=3$
Podemos sustituir
$log_6 x=t$
de la siguiente manera:
$t+\frac{t}{2}=3$
$1.5t=3$
$t=2$

Pero observa, este no es el resultado. Ahora necesitamos sustituir $2$ en lugar de $t$
y determinar $x$
obtenemos la siguiente solución:
$log_6 x=2$
$6^2=x$
$x=36$