Multiplicación de potencias de igual base

$5^3\times5^{-2}\times5^5=$ Ya que las bases son iguales podemos sumar los exponentes.
Luego, aplicaremos el nuevo exponente (resultado de la suma) a la base:

$5^{3+(-2)+5}=$
$5^6=15625$

Si nos damos cuenta de que en cierto ejercicio se multiplican términos con bases iguales podremos sumar sus exponentes y aplicarle a la base el nuevo exponente obtenido.

$x^3\cdot x^4+4^2\cdot4=$

En este ejercicio vemos $2$ bases diferentes, $X$ y $4$.

Observemos que entre las $X$ hay signos de multiplicación. Según la propiedad de las potencias de igual base, podremos sumar los exponentes de las $X$, obtener un exponente nuevo y aplicarlo a la $X$.

Lo haremos y obtendremos:

$X^7+4^2\cdot4=$

Ahora veamos que también podemos sumar los exponentes que tienen base $4$ y obtener un solo exponente que podremos aplicar a dicho número.

Atención: si no hay ningún exponente, eso significa que el exponente es $1$.

Lo haremos y obtendremos:

$X^7+4^3=$

$4\cdot X^2\cdot X^3-2\cdot X^5=$

No nos alarmaremos, trabajaremos según el orden de las operaciones matemáticas.

Prestemos atención a la primera parte antes del signo de restar. Tenemos términos de igual base ($X$) y, entre ellos, el signo de multiplicar.

Podremos sumar los exponentes y obtener la siguiente expresión:

$4\cdot X^5-2\cdot X^5$

Observemos que ahora tenemos una suma de potencias de igual base, en este caso, no sumamos los exponentes, simplemente simplificamos los términos semejantes, es decir, simplemente restamos para obtener:

$4X^5-2X^5=$

$2X^5$

$3\cdot X^4\cdot4\cdot X^2\cdot X=$

Presta atención, en este ejercicio hay una multiplicación entre todos los términos.

Procederemos acorde a las propiedades que aprendimos: si tenemos igual base $X$ con operación de multiplicar entre cada base, podremos sumar los exponentes. Cuando no hay exponente significa que la base se eleva a la potencia $1$.

Lo haremos y obtendremos:

$3\cdot X^7\cdot4=$

Excelente. Ahora, podemos multiplicar $3$ por $4$ y obtener:

$12\cdot X^7=$

Indudablemente podremos multiplicar la $X$ por su coeficiente y obtendremos:

$12X^7=$

Un último ejercicio donde deberás despejar la incógnita $X$

$4^4\cdot4^2\cdot4^x=4^9$

Sin utilizar calculadora, podemos trabajar según la técnica que hemos aprendido, sumar los exponentes de igual base entre multiplicación e igualar la $X$ en el exponente al exponente en el miembro derecho.

Comenzaremos sumando los exponentes y obtendremos:

$4^{6+x}=4^9$

Para que la ecuación sea correcta los exponentes deben ser iguales debido a que se trata de la misma base. Por lo tanto, compararemos los exponentes y despejaremos la $X$. Obtendremos:

$6+X=9$

$X=3$

Importante:

No solo existe la ley de los exponentes para productos con la misma base, existe también una ley para división de potencias de igual base (cociente de potencias de igual base). Su buen manejo nos permitirá simplificar expresiones algebraicas y resolver distintos tipos de ecuaciones.

Pero recuerda que la ley del producto y del cociente solo se aplican cuando en la operación aparecen mismas bases, y no cuando tengamos multiplicación de potencias de distinta base o división de potencias de distinta base.

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Resuelve el siguiente ejercicio:

$4^2\times4^4=$

Solución

Según la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base se multiplican una con la otra. Es necesario sumar el coeficiente de la potencia.

$2+4=6$

Respuesta:

Por lo tanto, la solución es:

$4^6$

Resuelve el siguiente ejercicio:

$5^4\times25=$

Solución

En este ejercicio, debemos identificar en primer lugar que el número $25$ se puede descomponer su forma de potencia, que es $5^2$.

En el momento en que hicimos esto, podemos operar nuevamente según la regla de potencias y resolver: $4+2=6$

Respuesta:

La solución: $5^6$

Resuelve el siguiente ejercicio:

$7^9\times7=$

Solución

Según la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base se multiplican una con la otra. Es necesario sumar el coeficiente de la potencia.

Es importante recordar que un número sin potencia tiene un valor igual a la potencia de $1$, y no $0$.

Por lo tanto: $9+1=10$

Respuesta:

La solución: $7^{10}$

Resuelve el siguiente ejercicio:

$2^{10}\times2^7\times2^6=$

Solución

También cuando existen un número de productos, todavía cuando se multiplican uno con el otro, la operación entre los coeficientes de la potencia será la suma.

$10+7+6=23$

Respuesta:

Por lo tanto, la solución es:

$2^{23}$

Tarea:

Simplificar la expresión:

$a^3\times a^2\times b^4\times b^5=$

Solución

Es importante recordar que según la ley de potencias para multiplicación, solo se pueden sumar los exponentes cuando tienen la misma base. Por lo tanto, sumamos los exponentes de a por separado los de $b$.

Por lo tanto

$3+2=5$

$4+5=9$

$a^5\times b^9$

Respuesta:

$a^5\times b^9$

¿Cómo multiplicar potencias con la misma base?

Cuando realizamos una multiplicación de potencias, y estas tienen las mismas bases, debemos sumar los exponentes, la suma será el nuevo exponente y la base se mantiene.

¿Cómo resolver multiplicaciones de potencias con distinta base?

En este caso, no se pueden sumar los exponentes.

¿Qué sucede cuando alguna base no tiene exponente?

Cuando algún número o expresión no tiene exponente, se dice que tiene exponente $1$.

¿Qué significa que una base este elevada a la $0$?

Si un número o expresión diferente de cero esta elevado a la cero, el resultado es $1$.