Cuando se nos planteen ejercicios o expresionesen donde aparecen multiplicación de potencias de igual base, podremos sumar los exponentes.
El resultado obtenido de la suma de exponentes, será el nuevo exponente y se mantiene la base original.
La fórmula de la regla: am×an=a(m+n)
No importa cuántos términos haya. Siempre y cuando haya productos de potencias de igual podremos sumar sus exponentes y obtener una nueva que aplicaremos a la base.
Es importante recordar que esta propiedad solo la debemos aplicar cuando aparecen productos de potencias de igual base. Dicho de otra forma, si tenemos una multiplicación de potencias de distinta base, no podemos sumar los exponentes.
Ejemplo de multiplicación de potencias de igual base
53×5−2×55= Ya que las bases son iguales podemos sumar los exponentes. Luego, aplicaremos el nuevo exponente (resultado de la suma) a la base:
53+(−2)+5= 56=15625
Ejemplos de multiplicación de ecuaciones base potenciales
Si nos damos cuenta de que en cierto ejercicio se multiplican términos con bases iguales podremos sumar sus exponentes y aplicarle a la base el nuevo exponente obtenido.
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Observemos que entre las X hay signos de multiplicación. Según la propiedad de las potencias de igual base, podremos sumar los exponentes de las X, obtener un exponente nuevo y aplicarlo a la X.
Lo haremos y obtendremos:
X7+42⋅4=
Ahora veamos que también podemos sumar los exponentes que tienen base 4 y obtener un solo exponente que podremos aplicar a dicho número.
Atención: si no hay ningún exponente, eso significa que el exponente es 1.
Prestemos atención a la primera parte antes del signo de restar. Tenemos términos de igual base (X) y, entre ellos, el signo de multiplicar.
Podremos sumar los exponentes y obtener la siguiente expresión:
4⋅X5−2⋅X5
Observemos que ahora tenemos una suma de potencias de igual base, en este caso, no sumamos los exponentes, simplemente simplificamos los términos semejantes, es decir, simplemente restamos para obtener:
Presta atención, en este ejercicio hay una multiplicación entre todos los términos.
Procederemos acorde a las propiedades que aprendimos: si tenemos igual base X con operación de multiplicar entre cada base, podremos sumar los exponentes. Cuando no hay exponente significa que la base se eleva a la potencia 1.
Lo haremos y obtendremos:
3⋅X7⋅4=
Excelente. Ahora, podemos multiplicar3 por4 y obtener:
12⋅X7=
Indudablemente podremos multiplicar laX por su coeficiente y obtendremos:
12X7=
Un último ejercicio donde deberás despejar la incógnitaX
44⋅42⋅4x=49
Sin utilizar calculadora, podemos trabajar según la técnica que hemos aprendido, sumar los exponentes de igual base entre multiplicación e igualar la X en el exponente al exponente en el miembro derecho.
Comenzaremos sumando los exponentes y obtendremos:
46+x=49
Para que la ecuación sea correcta los exponentes deben ser iguales debido a que se trata de la misma base. Por lo tanto, compararemos los exponentes y despejaremos la X. Obtendremos:
6+X=9
X=3
Importante:
No solo existe la ley de los exponentes para productos con la misma base, existe también una ley para división de potencias de igual base (cociente de potencias de igual base). Su buen manejo nos permitirá simplificar expresiones algebraicas y resolver distintos tipos de ecuaciones.
Pero recuerda que la ley del producto y del cociente solo se aplican cuando en la operación aparecen mismas bases, y no cuando tengamos multiplicación de potencias de distinta base o división de potencias de distinta base.
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Ejercicios de multiplicación de potencias de igual base
Ejercicio 1
Resuelve el siguiente ejercicio:
42×44=
Solución
Según la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base se multiplican una con la otra. Es necesario sumar el coeficiente de la potencia.
2+4=6
Respuesta:
Por lo tanto, la solución es:
46
Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1
¿Cuál de las cláusulas es igual a la siguiente expresión:
En este ejercicio, debemos identificar en primer lugar que el número 25 se puede descomponer su forma de potencia, que es 52.
En el momento en que hicimos esto, podemos operar nuevamente según la regla de potencias y resolver: 4+2=6
Respuesta:
La solución: 56
Ejercicio 3
Resuelve el siguiente ejercicio:
79×7=
Solución
Según la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base se multiplican una con la otra. Es necesario sumar el coeficiente de la potencia.
Es importante recordar que un número sin potencia tiene un valor igual a la potencia de 1, y no 0.
También cuando existen un número de productos, todavía cuando se multiplican uno con el otro, la operación entre los coeficientes de la potencia será la suma.
10+7+6=23
Respuesta:
Por lo tanto, la solución es:
223
Ejercicio 5
Tarea:
Simplificar la expresión:
a3×a2×b4×b5=
Solución
Es importante recordar que según la ley de potencias para multiplicación, solo se pueden sumar los exponentes cuando tienen la misma base. Por lo tanto, sumamos los exponentes de a por separado los de b.
Cuando realizamos una multiplicación de potencias, y estas tienen las mismas bases, debemos sumar los exponentes, la suma será el nuevo exponente y la base se mantiene.
¿Cómo resolver multiplicaciones de potencias con distinta base?
En este caso, no se pueden sumar los exponentes.
¿Qué sucede cuando alguna base no tiene exponente?
Cuando algún número o expresión no tiene exponente, se dice que tiene exponente 1.
¿Qué significa que una base este elevada a la0?
Si un número o expresión diferente de cero esta elevado a la cero, el resultado es 1.
ejemplos con soluciones para Multiplicación de potencias
Ejercicio #1
42×44=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Para resolver el ejercicio usamos la propiedad de multiplicación de potencias con bases iguales:
an∗am=an+m
Con la ayuda de esta propiedad podemos sumar conectar los exponentes.
42×44=44+2=46
Respuesta
46
Ejercicio #2
79×7=
Solución en video
Solución Paso a Paso
De acuerdo a la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base multiplicadas entre sí, se deben sumar los exponentes.
Según la fórmula:an×am=an+m
Es importante recordar que un número sin potencia equivale a un número elevado a 1, no a 0.
Por lo tanto, si sumamos los exponentes:
79+1=710
Respuesta
710
Ejercicio #3
82⋅83⋅85=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Todas las bases son iguales y por lo tanto se pueden sumar los exponentes.
82⋅83⋅85=810
Respuesta
810
Ejercicio #4
210⋅27⋅26=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Usamos la propiedad de potencias para multiplicar términos con bases idénticas:
am⋅an=am+nTengamos en cuenta que esta propiedad también es válida para varios términos en la multiplicación y no para dos, por ejemplo para la multiplicación de tres términos con la misma base obtenemos:
am⋅an⋅ak=am+n⋅ak=am+n+kCuando utilizamos dos veces la mencionada propiedad de potencias, también podríamos realizar el mismo cálculo para cuatro términos de la multiplicación de cinco, etc.,
Retornemos al problema:
Tengamos en cuenta que todos los términos de la multiplicación tienen la misma base, por lo que usaremos la propiedad anterior:
210⋅27⋅26=210+7+6=223Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción c.
Respuesta
223
Ejercicio #5
a3×a4=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Tenga en cuenta que es necesario calcular una multiplicación entre términos con bases idénticas, por lo tanto usaremos la propiedad de potencia adecuada:
bm⋅bn=bm+nTenga en cuenta que en esta propiedad solo se puede utilizar para calcular la multiplicación entre términos con bases idénticas,
Lo aplicamos en el problema:
a3⋅a4=a3+4=a7Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.