Multiplicación de potencias de igual base

Multiplicación de potencias de igual base

Cuando se nos planteen ejercicios o expresiones con términos que tienen la misma base y entre ellos el signo de multiplicar, podremos sumar los exponentes.
Convertiremos el resultado obtenido en el nuevo exponente y lo aplicaremos a la base original.

La fórmula de la regla:
\( a^m\times a^n=a^{(m+n)} \)

No importa cuántos términos haya. Siempre y cuando haya términos iguales y, entre ellos, signos de multiplicación podremos multiplicar sus exponentes y obtener uno nuevo que aplicaremos a la base. Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Ejemplo:
\( 5^3\times5^{-2}\times5^5= \) Ya que las bases son iguales podemos sumar los exponentes.
Luego, aplicaremos el nuevo exponente (resultado de la suma) a la base:

\(5^{3+(-2)+5}=\)
\(5^6=15625\)


multiplicacion de potencias de igual base

Ejemplos de multiplicación de ecuaciones base potenciales:

Si nos damos cuenta de que en cierto ejercicio se multiplican términos con bases iguales podremos sumar sus exponentes y aplicarle a la base el nuevo exponente obtenido.

Veamos otros ejemplos:

\( x^3\cdot x^4+4^2\cdot4= \)

En este ejercicio vemos 2 bases diferentes, X y 4.

Observemos que entre las X hay signos de multiplicación. Según la propiedad de las potencias de igual base, podremos sumar los exponentes de las X, obtener un exponente nuevo y aplicarlo a la X.

Lo haremos y obtendremos:

\( X^7+4^2\cdot4= \)

Ahora veamos que también podemos sumar los exponentes que tienen base 4 y obtener un solo exponente que podremos aplicar a dicho número.

Atención: si no hay ningún exponente, eso significa que el exponente es 1.

Lo haremos y obtendremos:

\( X^7+4^3= \)


Ahora veamos un ejercicio un poco más complicado:

\( 4\cdot X^2\cdot X^3-2\cdot X^5= \)

No nos alarmaremos, trabajaremos según el orden de las operaciones matemáticas.

Prestemos atención a la primera parte antes del signo de restar. Tenemos términos de igual base – X y, entre ellos, el signo de multiplicar. Podremos sumar los exponentes y obtener la siguiente expresión:

\( 4\cdot X^5-2\cdot X^5 \)

*Presta atención en que, en la suma, no hemos incluido a los exponentes de las X que se encuentran del lado derecho.

Muy bien. Ahora, multiplicaremos las X por sus coeficientes y veremos el ejercicio de un modo más sencillo:

\( 4X^52X^5= \)

Ya que las X tienen el mismo exponente 5 podremos restar fácilmente y obtener:

\( 2X^5 \)


Veamos otro ejemplo:

\( 3\cdot X^4\cdot4\cdot X^2\cdot X= \)

Presta atención, en este ejercicio hay una multiplicación entre todos los términos.

Procederemos acorde a las propiedades que aprendimos: si tenemos igual base X con operación de multiplicar entre cada base, podremos sumar los exponentes. Cuando no hay exponente significa que la base se eleva a la potencia 1.

Lo haremos y obtendremos:

\( 3\cdot X^7\cdot4= \)

Excelente. Ahora, podemos multiplicar 3 por 4 y obtener:

\( 12\cdot X^7= \)

Indudablemente podremos multiplicar la X por su coeficiente y obtendremos:

\( 12X^7= \)


Un último ejercicio donde deberás despejar la incógnita X

\( 4^4\cdot4^2\cdot4^x=4^9 \)

Sin utilizar calculadora, podemos trabajar según la técnica que hemos aprendido, sumar los exponentes de igual base entre multiplicación e igualar la X en el exponente al exponente en el miembro derecho.

Comenzaremos sumando los exponentes y obtendremos:

\( 6^{6+x}=4^9 \)

Para que la ecuación sea correcta los exponentes deben ser iguales debido a que se trata de la misma base. Por lo tanto, compararemos los exponentes y despejaremos la X. Obtendremos:

\( 6+X=9 \)

\( X=3 \)


Ejercicios de multiplicación de potencias de igual base

Ejercicio 1:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 4^2\times4^4= \)

Solución

Según la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base se multiplican una con la otra. Es necesario sumar el coeficiente de la potencia.

\( 2+4=6 \)

Respuesta:

Por lo tanto, la solución es:

\( 4^6 \)


Ejercicio 2:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 5^4\times25= \)

Solución

En este ejercicio, debemos identificar en primer lugar que el número 25 se puede descomponer su forma de potencia, que es \( 5^2 \).

En el momento en que hicimos esto, podemos operar nuevamente según la regla de potencias y resolver: \( 4+2=6 \)

Respuesta:

La solución: \( 5^6 \)


Ejercicio 3:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 7^9\times7= \)

Solución

Según la propiedad de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base se multiplican una con la otra. Es necesario sumar el coeficiente de la potencia.

Es importante recordar que un número sin potencia tiene un valor igual a la potencia de 1, y no 0.

Por lo tanto: \( 9+1=10 \)

Respuesta:

La solución: \( 7^{10} \)


Ejercicio 4:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( 2^{10}\times2^7\times2^6= \)

Solución

También cuando existen un número de productos, todavía cuando se multiplican uno con el otro, la operación entre los coeficientes de la potencia será la suma.

\( 10+7+6=23 \)

Respuesta:

Por lo tanto, la solución es:

\( 2^{23} \)


Ejercicio 5:

Tarea:

Simplificar la expresión:

\( a^3\times a^2\times a^4\times a^5= \)

Solución

Es importante recordar que según la ley de potencias, solo se pueden cambiar los números que tienen la misma base de potencia. Por lo tanto a puede combinarse b y c juntos. Cada uno por separado, se pueden sumar.

Por lo tanto

\( 3+2=5 \)

\( 4+5=9 \)

\( a^5\times b^9 \)

Respuesta:

\( a^5\times b^9 \)