Multiplicación de Logaritmos

Para resolver la multiplicación de logaritmos, necesitas conocer la siguiente regla:
$log_a⁡(x\cdot y)=log_a⁡x+log_a⁡y$
Cuando hay una multiplicación dentro del logaritmo, podemos dividir el logaritmo en un problema de suma con la misma base donde un logaritmo tendrá el contenido de uno de los factores y el segundo logaritmo tendrá el contenido del segundo factor.
Puedes convertir el problema de multiplicación a un problema de suma y un problema de suma a un problema de multiplicación con un logaritmo según la regla, siempre que la base sea la misma.

Veamos un ejemplo:
$log_4⁡(64\cdot16)=$
Tenemos una expresión con un logaritmo que contiene una operación de multiplicación. Si multiplicáramos lo que está dentro de los paréntesis, obtendríamos algo como esto:
$log_4⁡(1024)=$

Por supuesto, gracias a la regla, podemos resolver este ejercicio de una manera mucho más fácil y rápida.
Solo necesitamos dividir el ejercicio en un ejercicio de suma con $2$ bases idénticas - en este ejercicio la base es $4$.
Debería verse así:
$log_4⁡(64\cdot16)=log_4⁡64+log_4⁡16$

¡Ahora podemos resolver el ejercicio con mayor facilidad!

Recordatorio -
La definición de un logaritmo es:
$log_a⁡x=b$
$X=a^b$
Donde:
$a$ es la base del logaritmo
$X$ es lo que aparece dentro del logaritmo. También puede aparecer entre paréntesis.
$b$ es el exponente al que elevamos la base del logaritmo para obtener el número dentro del logaritmo.

Y entonces nos preguntamos - ¿a qué potencia necesitamos elevar $4$ para obtener $64$? La respuesta es $3$.
¿Y a qué potencia necesitamos elevar $4$ para obtener $16$? La respuesta es $2$.
Obtuvimos lo siguiente:
$log_4⁡64+log_4⁡16=3+2=5$

¡Resolvamos otro ejercicio!
$log_6⁡(36\cdot216)=$

Solución:
Para resolver este ejercicio, usaremos la regla que aprendimos sobre la multiplicación de logaritmos.
Podemos dividir el ejercicio en una suma donde la base es idéntica e igual a $6$.
Como sigue:
$log_6⁡36+log_6⁡216=$
Ahora podemos resolver el problema más fácilmente.
Sabemos que para obtener $36$ necesitamos elevar $6$ a la potencia de $2$ por lo tanto
$log_6⁡36=2$
y para obtener $216$ necesitamos elevar $6$ a la potencia de $3$ por lo tanto
$log_6⁡216=3$
Sustituyamos los datos en el ejercicio de la siguiente manera:
$2+3=5$
$5$ es la respuesta final.

¡Procedamos a otro ejercicio!
\(log_6⁡2+log_6⁡18=\

¡Presta atención! A primera vista, este ejercicio parece ser una suma de logaritmos con la misma base... ¡sin embargo! ¡Estamos usando la regla que aprendimos sobre multiplicar logaritmos!

Método de Solución:
Primero intentemos resolver el ejercicio sin la regla -
$log_6⁡2=$
Si pensamos en qué potencia necesitamos elevar $6$ para obtener $2$... nos encontramos con un problema. Esta no es una solución intuitiva
Nuevamente encontramos el mismo problema para $log_6⁡18=$
¿A qué potencia necesitamos elevar $6$ para obtener $18$? También una buena pregunta..
Por lo tanto, usamos la regla que establece que podemos multiplicar los contenidos del logaritmo $2$ con la misma base. Como se ve a continuación:

$log_6⁡2+log_6⁡18=log_6⁡(2\cdot18)$
$=log_6⁡36$
¡Qué maravilloso! Ahora entendemos que para llegar a $36$ necesitamos elevar $6$ a la potencia de $2$!
Por lo tanto, la solución es $2$. Esta es la respuesta final.

¿Qué aprendimos? La regla de multiplicación que aprendimos sigue la propiedad conmutativa.
Funciona en ambos lados - puedes convertir una expresión de multiplicación en una expresión de suma, y una expresión de suma puede convertirse en un solo logaritmo con contenido multiplicado.
Sin embargo - solo si la base es idéntica.

Nota - Si hay multiplicación de logaritmos con diferentes bases, puedes intentar convertir la base del logaritmo según las reglas que aprendiste.