Resta de Logaritmos

Primero, recordemos cuál es la definición de $log$?
$log_a⁡x=b$
Donde $a$ es la base del logaritmo (usualmente $10$)
$b$ es el exponente al que elevamos $a$
$X$ es el número que aparece dentro del logaritmo, a veces entre paréntesis, y es el número que obtenemos cuando $a$ se eleva a la potencia de $b$
es decir:
$X=a^b$
Por ejemplo, si tenemos un ejercicio como este:
$log_5⁡25=$
Determina a qué potencia necesitamos elevar $5$ para obtener $25$....?
La respuesta es a la potencia de $2$ y por lo tanto la solución es $2$.

Para restar logaritmos con la misma base fácilmente, todo lo que necesitas saber es la siguiente regla sobre la resta de logaritmos con bases idénticas:
$log_a⁡x-log_a⁡y=log_a⁡\frac{x}{y}$
La regla establece que si quieres restar $2$ logaritmos con la misma base, puedes escribirlos como $1$ logaritmo y dividir los números dentro del logaritmo. Esto a veces facilitará la resolución.
Nota - El numerador siempre será el primer logaritmo del cual restamos, y el denominador siempre será el segundo logaritmo que restamos del original.

Veamos un ejemplo:
$log_7⁡147-log_7⁡3=$
A primera vista, este problema parece intimidante. Sin embargo, pronto verás cómo usar la regla de la resta para logaritmos idénticos lo hace simple.
¿A qué potencia debemos elevar $7$ para obtener $147$?... ¿A qué potencia debemos elevar $7$ para obtener $3$?
Todo lo que necesitamos hacer es dividir los números que aparecen en el logaritmo mientras mantenemos la misma base - $7$.
Por supuesto, lo haremos en orden - en el numerador pondremos el primer número $147$ y en el denominador pondremos el segundo número $3$.
Obtenemos lo siguiente:
$log_7⁡147-log_7⁡3=log_7⁡\frac{147}{3}$
Así como:
$log_7⁡\frac{147}{3}=log_7⁡(49)$
¡Ahora es mucho más fácil resolver la ecuación!
Sabemos que necesitamos elevar $7$ a la potencia de $2$ para obtener $49$ y por lo tanto la respuesta completa a este problema es $2$.
$log_7⁡(49)=2$

Nota - esta regla solo es válida en casos donde la base es idéntica. Si la base no fuera la misma en ambos logaritmos, no podríamos usar esta regla.

Para restar logaritmos con diferentes bases, necesitas usar la regla del cambio de base logarítmica.
El objetivo es convertir ambos logaritmos a la misma base.

Conoce la fórmula del cambio de base para logaritmos.
$log_aX=\frac{log_{the~base~we~want~to~change~to}X}{log_{the~base~we~want~to~change~to}a}$

Y ahora la explicación:
Cuando tenemos un logaritmo con base $a$ y queremos convertirlo a otro logaritmo, siempre lo convertiremos a una fracción de la siguiente manera:

1. Dibuja una línea de fracción.
2. En el numerador, escribe el logaritmo con la nueva base deseada y lo que estaba en el logaritmo original.
3. En el denominador, escribe el logaritmo con la nueva base deseada donde el interior del logaritmo será la base del logaritmo original.

Veamos un ejemplo:

$log_{25⁡}2=$
Convierte el siguiente logaritmo a base $5$:

$log_{25}625=\frac{log_5⁡625}{log_5⁡25}$

En el numerador escribiremos el logaritmo con base $5$, la base a la que queremos convertir. El número dentro del logaritmo en el numerador será el número original que aparece dentro del logaritmo, que es $625$.

En el denominador, escribiremos nuevamente logaritmo base $2$, la base a la que queremos convertir, pero esta vez, el número dentro del logaritmo será la base original - que es $25$
Ahora podemos resolver el problema fácilmente. Obtendremos la siguiente respuesta:

$\frac{log_5⁡625}{log_5⁡25} =\frac{4}{2}=2$

Ejercicio avanzado:
Ahora puedes resolver la resta de logaritmos con diferentes bases:
$log_3⁡x-log_9⁡x=2$
Queremos convertir ambos logaritmos a la misma base, y usualmente elegimos la base menor - $3$.
Por lo tanto:
$log_9⁡x=\frac{log_3⁡x}{log_3⁡9}$
Ahora reescribamos el ejercicio e insertemos los datos que obtuvimos:
$log_3⁡x-\frac{log_3⁡x}{log_3⁡9} =2$

Insertemos $log_3⁡9=2$
y obtenemos lo siguiente:
$log_3⁡x-\frac{log_3⁡x}{2}=2$
$log_3⁡x-0.5log_3⁡x=2$

$0.5 log_3⁡x=2$
$log_3⁡x=4$
$x=3^4$

$x=81$