Potencia en logaritmo

Muy importante - repasar todas las reglas de logaritmos - comenzando desde la definición de logaritmo, multiplicación, suma y cambio de base logarítmica. Este tema incluye todos los temas dentro de sí.

Comencemos aprendiendo la siguiente regla:
$log_a (a^x)=x$
Esta regla nos ayudará a eliminar expresiones largas y complicadas más adelante, así que recuérdala.
Los ejercicios donde el logaritmo aparece en un exponente generalmente toman la forma de una ecuación.

Métodos de solución:

1. Tomar el logaritmo con la misma base en ambos lados de la ecuación.
   La base será la base original - aquella a la que se aplica la potencia del logaritmo.
   Este es un paso puramente técnico donde escribimos el logaritmo en ambos lados de la ecuación. El contenido del logaritmo será el dato original.
2. Usar la regla $log_a (a^x)=x$
3. Crear una base común entre los $2$ factores de la ecuación para determinar la solución. Si una de las bases es X, la convertimos a la otra base.
4. Resolver los logaritmos que se puedan resolver y convertirlos a números.
5. Sustituir una variable auxiliar $T$ si es necesario
6. Regresar para determinar $X$.

Aunque una ecuación con un logaritmo en el exponente puede parecer confusa, siguiendo los pasos mencionados anteriormente deberíamos poder resolverla fácilmente.

Aquí está el ejercicio:
$x^{1+log_2 4x}=16$

Solución:

1. En el primer paso, tomamos el logaritmo con la misma base en ambos lados de la ecuación.
   La base es la base original = en este ejercicio $X$ (sobre la cual se aplica la potencia del $log$)
   Obtenemos lo siguiente:
   $x^{1+log_2 4x}=log_x16$
   Un paso puramente técnico - tomando el logaritmo con la misma base según la base original en ambos lados de la ecuación.
2. Ahora recordemos la regla importante que aprendimos al principio del artículo:
   $log_a (a^x)=x$
   Según la regla, podemos eliminar toda la expresión en el lado izquierdo y dejar solo el exponente como se muestra a continuación.
   $log_x (x^{1+log_2 4x} )=1+log_2 4x$
   Así que eso es lo que haremos, insertaremos los datos requeridos y continuaremos la ecuación de esta manera:
   $1+log_2 4x=log_x 16$
3. Ahora necesitamos crear un factor común que nos ayudará a determinar la solución.
   ¿Cómo lo haremos?
   Recordemos la ley del cambio de base del logaritmo:
   $log_aX=\frac{log_{la~base~a~la~que~queremos~cambiar}X}{log_{la~base~a~la~que~queremos~cambiar}a}$
   Queremos convertir el logaritmo en base $X$ a base $2$. Usando la regla obtenemos lo siguiente:
   $log_x 16=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡x }$
   Insertamos los datos en la ecuación una vez más como se muestra a continuación.
   $1+log_2 4x=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡x }$
   Continuamos con las leyes de logaritmos -
   Según la ley de multiplicación:
   $log_a⁡(x\cdot y)=log_a⁡x+log_a⁡y$
   Por lo tanto en el lado izquierdo cambiaremos
   $1+log_2 4x=$
   a:
   $1+log_2 4+log_2 x$
   Insertamos esto en la ecuación y obtenemos:
   $1+log_2 4+log_2 x=\frac{log_2⁡16}{log_2⁡x }$
4. Ahora notamos que algunas expresiones pueden convertirse a números. De esta manera nos quedaremos con un ejercicio mucho menos complejo que es totalmente más manejable.
   $log_2 4=2$
   $log_2⁡16=4$
   Procedemos a sustituir esto en la ecuación y obtenemos lo siguiente:
   $1+2+log_2 x=\frac{4}{log_2⁡x }$
   $3+log_2 x=\frac{4}{log_2⁡x }$
   Ahora multiplicamos por $log_2 x$ para eliminar el denominador de la ecuación y obtenemos:
   $3\cdot log_2 x+(log_2 x)^2=4$
5. Ahora usaremos el factor auxiliar $T$ y lo sustituiremos por la expresión con el logaritmo.
   Como se ve a continuación: $log_2 x=t$
   Sustituimos esto en la ecuación y obtenemos:
   $3t+t^2=4$
   Movemos términos, factorizamos la ecuación de la siguiente manera:
   $T_1=-4$
   $T_2=1$
   Insertamos los datos para determinar la $X$ y obtenemos:
   Primera solución cuando $T_1=-4$
   $log_2 x=-4$
   $​​​​​​​x=2^{-4}=0.0625$
   Segunda solución cuando $T_2=1$
   $log_2 x=1$
   $x=2^1=2$

Nota - Podrás encontrar ejercicios sin una base $X$ pero con una base numérica en su lugar. Estos son generalmente ejercicios más simples y fáciles que no requieren la variable auxiliar $T$. Sin embargo, si sabes cómo resolver ejercicios de logaritmos exponenciales con base $X$, resolver con una base regular será ciertamente más fácil. El método de solución es idéntico.