Vértice de la parábola

🏆Ejercicios de el vértice de la parábola

Vértice de la parábola

El vértice de la parábola indica el punto más alto o máximo de una parábola de cara triste, y el punto más bajo o el mínimo de una parábola de cara feliz.

El primer modo para hallar el vértice de la parábola: (con fórmula)

Primer paso: Hallaremos la XX del vértice acorde a la fórmula x=(b)2ax=\frac{(-b)}{2a}

Segundo paso: Ubicaremos la XX del vértice que hemos hallado en la ecuación de la parábola original para encontrar la YY  del vértice.


Segundo modo para hallar el vértice de la parábola: según 2 puntos de intersección con el eje X y uso de simetría

Primer paso: Encontrar dos puntos de intersección de la parábola con el eje XX utilizando la fórmula cuadrática.

Segundo paso: Hallar la XX del vértice: el punto que se encuentra exactamente entre dos puntos de intersección. El cálculo se realizará a través de la media de dos XX de los puntos de intersección.

Tercer paso: Ubicar la XX del vértice que hemos hallado en la ecuación de la parábola original para despejar la YY del vértice.

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einstein

Halle el vértice de la parábola

\( y=x^2-6 \)

Quiz y otros ejercicios

Vértice de la parábola

En este artículo estudiaremos acerca del vértice de la parábola y descubriremos modos fáciles para hallarlo sin demasiado esfuerzo.
El vértice de la parábola señala el punto más alto de una parábola de cara triste y, el punto más bajo de una parábola de cara feliz.
Recordemos la ecuación de la parábola:
y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

Recordatorio: 
aa  positivo –> parábola de cara feliz
aa  negativo –> parábola de cara triste  

La anotación del vértice de la parábola se ve del siguiente modo: (Y veˊrtice,X veˊrtice)(Y~vértice, X~vértice)

Vértice de la parábola


Modos para hallar el vértice de la parábola

Primer modo - Con fórmula

Para encontrar el vértice de la parábola deberemos despejar el valor de su XX y el de su YY.

Para hallar el valor de la XX del vértice:
Haremos uso de la siguiente fórmula: x=(b)2ax=\frac{(-b)}{2a}

Para hallar el valor de la YY del vértice:
Colocaremos el valor de la XX que hemos hallado en la ecuación de la parábola original y obtendremos la YY del vértice.


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Veamos un ejemplo

He aquí la siguiente ecuación de la parábola –>
y=5x2+20x+4y=5x^2+20x+4
Encuentra el vértice de la parábola.

Solución:
Para encontrar la XX del vértice colocaremos en la fórmula x=(b)2ax=\frac{(-b)}{2a}
b=2b=2
a=5 a=5 
Obtendremos:
x=202×5x=\frac{-20}{2 \times 5}
x=2010x=\frac{-20}{10}
x=2x=-2

Para encontrar la YY del vértice colocaremos la XX del vértice que hemos hallado: 2-2
en la ecuación de la parábola original.
Obtendremos:
y=5×(2)2+20×(2)+4y=5 \times (-2)^2+20 \times (-2)+4
y=5×440+4y=5 \times 4-40+4
y=2040+4y=20-40+4
y=16y=-16

El vértice de la parábola es (2,16)(-2,-16)

Observa : El hecho de haber obtenido un vértice de parábola con números negativos no quiere decir que la parábola sea una parábola de carita triste.


Segundo modo: Encontrar los puntos de intersección con el eje X y utilizar los puntos de simetría en la fórmula cuadrática

Para hallar el vértice de la parábola de este modo deberemos, primeramente, encontrar los puntos de intersección de la parábola con el eje XX.
Para hacerlo, colocaremos Y=0Y=0 en la ecuación de la parábola original, solucionaremos la ecuación cuadrática con la ayuda de la fórmula cuadrática y obtendremos dos valores de XX.
Recordatorio: La fórmula cuadrática para solucionar una ecuación cuadrática es: x=b±b24ac2ax = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}

Luego, hallaremos el punto que se encuentra exactamente entre los dos valores de las XX que obtuvimos y ese será la XX del vértice.
Para hallar el punto medio calcularemos la media de las XX.

Luego de haber encontrado la XX del vértice, la colocaremos en la ecuación de la parábola original y, obtendremos la YY del vértice.

¿Sabes cuál es la respuesta?

Veamos un ejemplo

He aquí la siguiente ecuación de parábola ->
f(x)=x28x+12f(x)=x^2-8x+12
Encuentra el vértice de la parábola.

Solución

Primer paso

Primer paso: Encontrar los puntos de intersección con el eje XX

Colocaremos Y=0Y=0
Obtendremos:
x28x+12=0x^2-8x+12=0
Resolveremos la ecuación cuadrática colocando los datos en la fórmula cuadrática y obtendremos:

x1,2=8±824×1×122×1x_{1,2} = {-8 \pm \sqrt{8^2-4 \times 1 \times 12} \over 2 \times 1}

x1,2=8±42x_{1,2} = {-8 \pm 4 \over 2}

X1=6X_1=6
X2=2X_2=2

Segundo paso

Segundo paso: Calculando la media hallaremos el punto que se encuentra exactamente entre los dos puntos de intersección –> XX del vértice.

Obtendremos:
X=(6+2)2=4X={(6+2)\over2}=4

Tercer paso

Tercer paso: Colocaremos la XX del vértice que obtuvimos en la ecuación de la parábola original y hallaremos la YY del vértice.

Obtendremos:

Y=428×4+12Y=4^2-8 \times 4+12
Y=4Y=-4

El vértice de la parábola es:
(4,4)(4,-4)


¿Cuándo conviene utilizar el segundo modo?

Como puedes ver, el segundo modo parece ser bastante más largo.
Sin embargo, si ya tienes 22 puntos de intersección de la parábola con el eje XX conviene utilizar este modo, hallar el punto que se encuentra exactamente entre ellos calculando la media y seguir buscando la YY del vértice colocando los datos en la ecuación original.


Ejemplos y ejercicios con soluciones sobre el vértice de la parábola

Ejercicio #1

Halle el vértice de la parábola

y=x26 y=x^2-6

Solución en video

Respuesta

(0,6) (0,-6)

Ejercicio #2

Halle el vértice de la parábola

y=x2 y=x^2

Solución en video

Respuesta

(0,0) (0,0)

Ejercicio #3

Halle el vértice de la parábola

y=(x3)2 y=(x-3)^2

Solución en video

Respuesta

(3,0) (3,0)

Ejercicio #4

Halle el vértice de la parábola

y=(x+1)2 y=(x+1)^2

Solución en video

Respuesta

(1,0) (-1,0)

Ejercicio #5

Halle el vértice de la parábola

y=(x1)21 y=(x-1)^2-1

Solución en video

Respuesta

(1,1) (1,-1)

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