Comprender la combinación de potencias y raíces es importante y necesario.
Primera propiedad:
Segunda propiedad:
Tercera propiedad:
Cuarta propiedad:
Quinta propiedad:
Comprender la combinación de potencias y raíces es importante y necesario.
Primera propiedad:
Segunda propiedad:
Tercera propiedad:
Cuarta propiedad:
Quinta propiedad:
\( (3\times4\times5)^4= \)
La raíz es la operación opuesta a las potenciación y las potencias son la operación opuesta a las raíces.
No en vano, nos encontraremos con un montón de ejercicios en una combinación perfecta y debemos saber muy bien cómo maniobrar entre los dos.
Es exactamente por eso que estamos aquí para enseñarte reglas que te ayudarán a combinar raíces y potencias.
¿Comenzamos?
Comencemos con la primera propiedad y lo fundamental.
Raíz cuadrada, significa una potencia de .
Formulemos de esta manera:
Por ejemplo:
\( (4\times7\times3)^2= \)
\( 5^4\times25= \)
\( (4^2)^3+(g^3)^4= \)
Cada raíz tiene su propio orden. Un orden que aparece en la raíz, se traducirá en un denominador cuando el numerador tenga una participación en el denominador del número, si lo hubiere.
Raíz de un producto
Si nos dan dos números, donde se incluye una operación de multiplicación con una raíz con el mismo orden, podemos escribir una raíz que estará sobre el producto total de los elementos con el orden que aparece.
Esta regla también puede ayudarnos a hacer un producto de dos factores con una raíz para dos factores separados que tienen una raíz y una operación de multiplicación entre ellos.
Formulémoslo de esta manera:
Traduzcamos esto en potencias:
De la misma forma podemos decir que:
\( \frac{2^4}{2^3}= \)
\( \frac{9^9}{9^3}= \)
\( \frac{81}{3^2}= \)
Raíz de un cociente
Si nos dan dos números, que incluyen una operación de división (línea de fracción) y una raíz con el mismo orden, podemos escribir una raíz que estará en cada cociente de los elementos con el orden que aparece.
Esta regla también puede ayudarnos a hacer un cociente de dos factores con una raíz separada en dos factores que tienen una raíz y una operación de división entre ellos: una línea de fracción.
Pongámoslo de esta manera:
Raíz de una raíz
Cuando nos encontramos con un ejercicio donde hay una raíz en una raíz, podemos duplicar el orden de la primera raíz en el orden de la segunda raíz y el orden que obtuvimos lo ejecutaremos como una raíz en nuestro número. (Como en la norma de potencia a la potencia)
Pongámoslo de esta manera:
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\( (3^5)^4= \)
\( (6^2)^{13}= \)
\( (\frac{2}{6})^3= \)
Consigna
¿Cuál es el valor que colocaremos para resolver la siguiente ecuación?
Para responder a esta pregunta es posible contestar de dos maneras:
Una forma es el reemplazo:
Colocamos potencia de y parece que hemos llegado al resultado correcto, es decir:
Otra forma es mediante la raíz
Es decir
Respuesta:
Consigna
¿Cuál de las siguientes cláusulas es equivalente a la expresión:
Solución
De acuerdo a las propiedades de las raíces
Respuesta
\( 5^0= \)
\( (\frac{4^2}{7^4})^2= \)
\( (\frac{1}{4})^{-1} \)
Consigna
¿Cuál es la respuesta al ejercicio?
Solución
De acuerdo a las propiedades de las raíces
Por lo tanto
Respuesta
Consigna
Calcule y determine la respuesta:
Solución
Comenzamos con los paréntesis
y por lo tanto la ecuación siguiente
Respuesta
\( 5^{-2} \)
\( 4^{-1}=\text{?} \)
\( (3\times4\times5)^4= \)
Consigna
Calcule y determine la respuesta:
Solución
Comenzamos con los paréntesis
y luego calculamos
Respuesta
Calcule y determine la respuesta:
Solución
Comenzamos con los primeros paréntesis
Calculamos los segundos paréntesis
Calculamos la expresión después de la resta
y entonces obtenemos
Respuesta
\( (4\times7\times3)^2= \)
\( 5^4\times25= \)
\( (4^2)^3+(g^3)^4= \)
Los elementos de una raíz son : índice del radical, radical, radicando y raíz.
Índice del radical: Es aquel número que está afuera y sobre el radical, e indica el número de veces que se debe de multiplicar la raíz para poder obtener el número que está adentro del radical.
Radical: Símbolo de la radicación \sqrt{\placeholder{}}
Radicando: Es el número que está adentro del radical y es al número que se le sacara la raíz.
Raíz: Es el resultado de la radicación.
Con estos elementos ahora si podemos definir a la raíz, y como ya lo dijimos es el resultado. Cuando elevamos el resultado a la potencia que nos indica el índice, nos dará como resultado el radicando, es decir, el número que está adentro del radical.
En este ejemplo el índice de radical es el
El radicando es el
Y la raíz es el
Esto quiere decir que si nosotros elevamos el a la potencia , nos dará , en otras palabras;
\( \frac{2^4}{2^3}= \)
\( \frac{9^9}{9^3}= \)
\( \frac{81}{3^2}= \)
Como sabemos todas las operaciones tienen una operación inversa, sabemos que la operación inversa de la suma es la resta o viceversa, de la multiplicación es la división y de las raíces su operación inversa son las potencias, de esta manera es como se relacionan al ser operaciones inversas, veamos esta relación con algunos ejemplos:
Es decir debemos de buscar un número que multiplicado veces por sí mismo nos dé . De aquí podemos deducir que la raíz será , ya que sabemos lo siguiente:
Por lo tanto el resultado es
Calcular lo siguiente
Aquí no tenemos de forma explícita al índice del radical, pero cuando esto sucede y no aparece un índice como tal, entonces nosotros damos por hecho que el índice es un . Entonces debemos de buscar un número que multiplicado dos veces por sí mismo nos dé . En este caso la respuesta es , ya que:
Por lo tanto el resultado es
Para poder resolver cálculos combinados con raíz y potencias debemos de tomar en cuenta primero la jerarquía de operaciones y después las leyes y propiedades de potencias y raíces.
Resolver
\(\left(\sqrt[3]{8}+\sqrt{100}\right)^2-4^2+\sqrt{81}=
Por jerarquía de operaciones resolvemos el signo de agrupación que son los paréntesis y lo podemos hacer por separado, de la siguiente manera:
,
De acuerdo a esto entonces tenemos lo siguiente:
Por lo tanto el resultado es
\( (3^5)^4= \)
\( (6^2)^{13}= \)
\( (\frac{2}{6})^3= \)
Debemos recordar que existe una jerarquía de operaciones (orden de realizar operaciones). El orden es el siguiente:
Cuando nos encontramos con operaciones que tienen el mismo orden como es el caso de las potencias y raíces y cuando aparecen de forma combinada se resuelven de izquierda a derecha
En este ejemplo podemos ver que nos apareció una raíz, una suma y una resta de una potencia, como la raíz y la potencia estaban independientes se pueden realizar al mismo tiempo y por ultimo realizamos la suma y resta.
Aquí podemos observar que nos aparece una raíz y una potencia, entonces se resuelve primero la raíz pero adentro de la raíz tenemos a una potencia, por lo tanto debemos de resolver primero la potencia , posteriormente la suma y después finalizamos calculando la raíz.
Existen tipos de reglas de radicación, a las cuales se les llama leyes de los radicales las cuales son las siguientes:
\( 5^0= \)
\( (\frac{4^2}{7^4})^2= \)
\( (\frac{1}{4})^{-1} \)
Utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre paréntesis:
Lo aplicamos en el problema:
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.
Nota:
De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos de la multiplicación entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.
Un buen ejercicio es demostrar que si la ley anterior es válida para una potencia sobre una multiplicación de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).
Utilizamos la ley de potencias para la multiplicación entre paréntesis:
Lo aplicamos en el problema:
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.
Nota:
De la fórmula de la propiedad de potencias entre paréntesis mencionada anteriormente, se puede entender que se refiere solo a dos términos de la multiplicación entre paréntesis, pero en realidad también es válida para la potencia sobre una multiplicación de muchos términos entre paréntesis, como por ejemplo lo que se hizo en este problema y en otros problemas.
Un buen ejercicio es demostrar que si la ley anterior es válida para una potencia sobre una multiplicación de dos términos entre paréntesis (como está formula anteriormente), entonces también es válida para una potencia sobre varios términos del producto entre paréntesis (por ejemplo - tres términos, etc.).
Para resolver este ejercicio, primero debemos reconocer que 25 es el resultado de una potencia y necesitamos llevarlo nuevamente a una base común de 5.
Ahora, nos ubicamos en el ejercicio inicial y resolvemos sumando las potencias según la fórmula:
Utilizamos la fórmula:
Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:
Lo aplicamos en el problema:
Recordemos que todo número elevado a la 1ª potencia es igual al número mismo, es decir que:
Por lo tanto en el problema obtenemos:
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.