Combinando potencias y raíces

Comprender la combinación de potencias y raíces es importante y necesario.

Primera propiedad:
\(\sqrt a=a^{ 1 \over 2}\)
Segunda propiedad:
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\)
Tercera propiedad:
\(\sqrt{(a\times b)}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\)

Cuarta propiedad:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Quinta propiedad:  
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}\)

Combinando potencias y raíces

La raíz es la operación opuesta a las potenciación y las potencias son la operación opuesta a las raíces.
No en vano, nos encontraremos con un montón de ejercicios en una combinación perfecta y debemos saber muy bien cómo maniobrar entre los dos.
Es exactamente por eso que estamos aquí para enseñarte reglas que te ayudarán a combinar raíces y potencias.
¿Comenzamos?

Comencemos con la primera propiedad y lo fundamental.


Primera propiedad:

Raíz cuadrada, significa una potencia de 0,5.
Formulemos de esta manera:
\(\sqrt a=a^{ 1 \over 2}\)
Por ejemplo:
\(√5=5^{0.5 }\)



Segunda propiedad:

Cada raíz tiene su propio orden. Un orden que aparece en la raíz, se traducirá en un denominador cuando el numerador tenga una participación en el denominador del número, si lo hubiere.

\(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\)

Por ejemplo:
\(\sqrt[3]{9}=9^{\frac{1}{3}}\)


Tercera propiedad:

Raíz de un producto
Si nos dan dos números, donde se incluye una operación de multiplicación con una raíz con el mismo orden, podemos escribir una raíz que estará sobre el producto total de los elementos con el orden que aparece.
Esta regla también puede ayudarnos a hacer un producto de dos factores con una raíz para dos factores separados que tienen una raíz y una operación de multiplicación entre ellos.

Formulémoslo de esta manera:
\(\sqrt{(a\times b)}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\)

Por ejemplo:
\(√3\times √5=√15\)

Traduzcamos esto en potencias:
\(\sqrt{3}\times \sqrt{5}=3^{\frac{1}{2}}\times 5^{\frac{1}{2}}\)
De la misma forma podemos decir que:
\(3^{\frac{1}{2}}\\times 5^{\frac{1}{2}}=(3\times 5)^{\frac{1}{2}}=15^{\frac{1}{2}}=\sqrt{15}\)


Cuarta propiedad:

Raíz de un cociente
Si nos dan dos números, que incluyen una operación de división (línea de fracción) y una raíz con el mismo orden, podemos escribir una raíz que estará en cada cociente de los elementos con el orden que aparece.
Esta regla también puede ayudarnos a hacer un cociente de dos factores con una raíz separada en dos factores que tienen una raíz y una operación de división entre ellos: una línea de fracción.

Pongámoslo de esta manera:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Por ejemplo:

\(\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{12}}=\sqrt[5]{\frac{7}{12}}\)


Quinta propiedad:

Raíz de una raíz
Cuando nos encontramos con un ejercicio donde hay una raíz en una raíz, podemos duplicar el orden de la primera raíz en el orden de la segunda raíz y el orden que obtuvimos lo ejecutaremos como una raíz en nuestro número. (Como en la norma de potencia a la potencia)
Pongámoslo de esta manera: 
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\times m]{a}\)

Veamos esto en el ejemplo: 

\(\sqrt[5]{\sqrt[2]{20}}=\sqrt[10]{20}\)



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