Potencia de un cociente

Potencia de un cociente

Cuando nos topemos con una expresión con cociente o con un ejercicio que tiene solamente operaciones de dividir (entre paréntesis) y todas las divisiones estén elevadas a cierto exponente, podremos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los términos de la expresión o del ejercicio.
No nos olvidemos de mantener la raya fraccionaria entre los términos.
Fórmula de la propiedad:
\((\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}\)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Ejemplo:
\((\frac{3}{4})^2=\)
Podremos ver que el exponente 2 se aplica sobre toda la expresión incluida dentro de los paréntesis.
Por lo tanto, podremos aplicarlo a cada uno de los términos manteniendo la raya fraccionaria entre ellos.
Obtendremos:
\(\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}\)

Si tenemos un ejercicio en el cual hay un cociente - fracción

y un exponente asignado a toda la fracción, por medio de paréntesis, aplicaremos el exponente a toda la expresión en el numerador y en el denominador por separado.

Veamos algunos ejemplos:

\( (\frac{2^3}{X})^4= \)

Podremos ver que el exponente 4 se coloca sobre toda la fracción, por lo tanto, podremos aplicarlo a todos los términos, tanto en el numerador como en el denominador.

Nos daremos cuenta de que en el numerador tenemos una base con exponente 3, entonces, aplicaremos el exponente externo sobre \( 2^3 \) y no solamente sobre el 2.

Obtendremos:

\( \frac{2^{12}}{X^4} \)

Ahora pasemos a un ejercicio un poco más complejo:

\( (\frac{(X^3\cdot2^4)}{4^2})^3= \)

No te asustes. Si trabajas acorde a las reglas podrás resolver el ejercicio muy fácilmente.

Primero notaremos que el exponente externo a los paréntesis se aplica a toda la fracción.

Comencemos con el numerador y apliquemos el exponente de fuera de los paréntesis a cada uno de los términos del numerador. Además, aplicaremos el exponente al denominador.

Recordemos la siguiente propiedad:

\( (a^n)^k=a^{n\cdot k} \)

Lo haremos y obtendremos:

\( (\frac{X^9\cdot2^{12}}{4^6})= \)

¡Muy bien! Ahora... Notaremos que podemos expresar el 4 del denominador como\( 2^2 \) y así podremos restar los exponentes del 2 en el numerador y en el denominador.

Lo haremos y obtendremos:

\( (\frac{X^9\cdot2^{12}}{(2^2)^6})= \)

Ahora apliquemos esta propiedad al denominador y obtendremos:

\( (\frac{X^9\cdot2^{12}}{2^{12}})= \)

¡Genial! Esto nos permite reducir muy fácilmente, lo que nos dará:

\( X^9 \)

Pasemos a un ejemplo que sólo incluye incógnitas:

\( (\frac{Y^4}{X})^2\cdot(\frac{X^}{Y})^5= \)

Notaremos que los exponentes que se encuentran fuera de los paréntesis actúan sobre toda la fracción, por lo tanto, los aplicaremos a cada término en el numerador y en el denominador.

Obtendremos:

\( \frac{Y^8}{X^2}\cdot\frac{X^5}{Y^5}= \)

Ahora, como tenemos una multiplicación entre fracciones, podremos multiplicar al numerador por el numerador y al denominador por el denominador y así unir las dos fracciones en sólo una del siguiente modo:

\( \frac{Y^8\cdot X^5}{X^2\cdot Y^5}= \)

¡Muy bien! Tenemos una sola fracción. Según la propiedad del cociente de igual base podemos restar los exponentes (exponente del numerador menos exponente del denominador de igual base) y quedarnos con una base y un exponente.

Apliquemos esta propiedad y obtendremos:

\( Y^3\cdot X^3= \)