Potencia de un cociente

🏆Ejercicios de potencia de fracción

Potencia de un cociente

Cuando nos topemos con una expresión con cociente (o división) dentro de un paréntesis y toda la expresión este elevada a cierto exponente, podremos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los términos de la expresión.
No nos olvidemos de mantener la raya fraccionaria entre los términos.
Fórmula de la propiedad:
\((\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}\)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

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¡Pruébate en potencia de fracción!

\( (\frac{2}{6})^3= \)

Quiz y otros ejercicios

Potencia de un cociente Ejemplos

Primer ejemplo:

\((\frac{3}{4})^2=\)

Observemos que tenemos una potencia de un cociente, y el exponente \( 2 \) se aplica sobre toda la expresión incluida dentro de los paréntesis.
Por lo tanto, podremos aplicarlo a cada uno de los términos manteniendo la raya fraccionaria entre ellos.
Obtendremos:
\(\frac{3^2}{4^2}=\frac{9}{16}\)


Si tenemos un ejercicio en el cual hay un cociente (o una fracción) y un exponente asignado a toda la fracción, por medio de paréntesis, aplicaremos el exponente a toda la expresión en el numerador y en el denominador por separado.

Veamos algunos ejemplos:

\( (\frac{2^3}{X})^4= \)

Podremos ver que el exponente \( 4 \) se coloca sobre toda la fracción, por lo tanto, podremos aplicarlo a todos los términos, tanto en el numerador como en el denominador.

\( \frac{\left(2^3\right)^4}{\left(x\right)^4} \)

Nos daremos cuenta de que en el numerador tenemos una base con exponente \( 3 \), entonces, aplicaremos el exponente externo sobre \( 2^3 \) y no solamente sobre el \( 2 \).

Obtendremos:

\( \frac{2^{12}}{X^4} \)

Ahora pasemos a un ejercicio un poco más complejo:

\( (\frac{(X^3\cdot2^4)}{4^2})^3= \)

No te asustes. Si trabajas acorde a las reglas podrás resolver el ejercicio muy fácilmente.

Primero notaremos que el exponente externo a los paréntesis se aplica a toda la fracción, por lo que aplicamos el exponente tanto al numerador como al denominador.

\( \frac{\left(x^3\cdot2^4\right)^3}{\left(4^2\right)^3} \)

En el numerador obtenemos una potencia de una multiplicación, por lo que aplicamos a cada uno la potencia manteniendo entre ellos el signo de multiplicación y obtenemos:

\( \frac{(x^3)^3\cdot\left(2^4\right)^3}{\left(4^2\right)^3} \)

Recordemos la siguiente propiedad que sirve para resolver una potencia de potencia:

\( (a^n)^k=a^{n\cdot k} \)

Lo haremos y obtendremos:

\( (\frac{X^9\cdot2^{12}}{4^6})= \)

¡Muy bien! Ahora... Notaremos que podemos expresar el \( 4 \) del denominador como \( 2^2 \) y así podremos aplicar la ley del cociente de potencias deigual base.

Lo haremos y obtendremos:

\( (\frac{X^9\cdot2^{12}}{(2^2)^6})= \)

Ahora apliquemos nuevamente la ley de potencia de una potencia al denominador y obtendremos:

\( (\frac{X^9\cdot2^{12}}{2^{12}})= \)

¡Genial! Esto nos permite reducir muy fácilmente, lo que nos dará:

\( X^9 \)


Pasemos a un ejemplo que sólo incluye incógnitas:

\( (\frac{Y^4}{X})^2\cdot(\frac{X}{Y})^5= \)

Notaremos que los exponentes que se encuentran fuera de los paréntesis actúan sobre toda la fracción, por lo tanto, los aplicaremos a cada término en el numerador y en el denominador.

Obtendremos:

\( \frac{Y^8}{X^2}\cdot\frac{X^5}{Y^5}= \)

Ahora, como tenemos una multiplicación entre fracciones, podremos multiplicar al numerador por el numerador y al denominador por el denominador y así unir las dos fracciones en sólo una del siguiente modo:

\( \frac{Y^8\cdot X^5}{X^2\cdot Y^5}= \)

¡Muy bien! Tenemos una sola fracción. Según la propiedad del cociente de igual base podemos restar los exponentes (exponente del numerador menos exponente del denominador de igual base) y quedarnos con una base y un exponente.

Apliquemos esta propiedad y obtendremos:

\( Y^3\cdot X^3= \)


Ejercicios de potencia de un cociente

Ejercicio 1:

¿Cuál es el resultado de la siguiente potencia?

\( (\frac{2}{3})^3 \)

Solución:

De acuerdo con la propiedad de potencias, cuando nos encontramos con un cociente elevado a una potencia podemos aplicar el exponente al numerador y al denominador.

Por lo tanto:

\( \left(\frac{2}{3}\right)^3= \frac{\left(2\right)^3}{\left(3\right)^3}=\frac{8}{27}\)

Respuesta:

\( \frac{8}{27} \)


Ejercicio 2:

\( (\frac{4^2}{7^4})^2= \)

Solución:

En esta consigna hay una combinación de dos propiedades, la ley de la potencia de un cociente, que nos permite dar la potencia al numerador y denominador en la fracción, junto con la ley de la potencia de la potencia, que nos permite multiplicar la potencia de afuera de los paréntesis por el interior.

Por lo tanto:

\( \left(\frac{4^2}{7^4}\right)^2=\frac{\left(4^2\right)^2}{\left(7^4\right)^2}=\frac{4^4}{7^8} \)

Respuesta:

\( \frac{4^4}{7^8} \)


Ejercicio 3:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (6^2)^{13}= \)

Solución:

De acuerdo con la ley de potencias, cuando nos encontramos con una expresión en la que se opera una potencia sobre una expresión que contiene una base y una potencia propia (entre paréntesis), podemos multiplicar entre las potencias y convertir el producto obtenido en una nueva potencia que aplicamos al número base.

Por lo tanto:

\( \left(6^2\right)^{13}=\left(6\right)^{2\cdot13}=6^{26} \)

Respuesta:

\( 6^{26} \)


Ejercicio 4:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (x^2\times3)^2= \)

Solución:

Esta consigna tiene el uso de dos leyes, tanto la potencia de un producto como la potencia de una potencia. Cada uno de los factores entre paréntesis recibe la potencia externa, ya que tienen bases diferentes y una operación de multiplicación entre ellos. La potencia dentro del paréntesis se multiplica por la potencia fuera de él, según la propiedad de la potencia de una potencia.

Por lo tanto:

\( \left(x^2\cdot3\right)^2=\left(x^2\right)^2\left(3\right)^2=\left(x\right)^{2\cdot2}\cdot3^2=x^4\cdot9=9x^4 \)

Respuesta:

\( 9x^4 \)


Ejercicio 5:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \left(4^x\right)^y= \)

Solución:

Incluso cuando se trata de incógnitas, la propiedad sigue siendo válida. Cuando nos encontramos con una expresión en la que valor de la potencia aparece en el coeficiente o en todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de división entre las fracciones de las extremidades (usando paréntesis en toda la expresión), podemos tomar el valor de la potencia y aplicarlo a cada uno de los productos

Respuesta:

\( 4^{xy} \)


Ejercicio 6:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \left(4^2\right)^3+\left(g^3\right)^4= \)

Solución:

Cuando hay productos distintos unidos entre sí en una suma, y en cada uno de ellos hay paréntesis con una potencia externa, es posible utilizar la propiedad dos veces para cada uno de los productos por separado.

Por lo tanto:

\( \left(4^2\right)^3+\left(g^3\right)^4=4^{2\cdot3}+g^{3\cdot4}=4^6+g^{12} \)

Respuesta:

\( 4^6+g^{12} \)


Ejercicio 7:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \left(\left(y^6\right)^8\right)^9= \)

Solución:

Para resolver este ejercicio aplicamos dos veces la ley de potencia de una potencia.

Por lo tanto:

\( \left(\left(y^6\right)^8\right)^9=\left(y^{6\cdot8}\right)^9=\left(y^{48}\right)^9=y^{48\cdot9}=y^{432} \)

Respuesta:

\( y^{432} \)


Preguntas de Repaso

¿Cuál es el cociente de potencia?

Cuando tenemos una potencia de un cociente podemos aplicar la potencia al numerador y al denominador por separado, manteniendo la operación de cociente.


¿Cómo sacar potencia de un cociente?

De forma independiente se eleva el numerador y el denominador a la potencia indicada, y se mantiene el cociente.


¿Qué es una potencia definición?

Una potencia es una abreviación de una operación en la que un número llamado base se multiplica por sí mismo tantas veces como lo indica otro número llamado exponente.


¿Cómo se calcula el cociente de una potencia de igual base?

Cuando tenemos un cociente de igual base podemos simplificar la expresión, para ello restamos al exponente del numerador, el exponente del denominador. Se coloca la base y el resultado de la resta se le coloca como exponente.


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