Prueba por contradicción

La prueba por contradicción es una demostración de que cierta proposición debe ser verdadera ya que, si fuera falsa, se llegaría a un absurdo o contradicción de hechos o datos.

El orden correcto de las operaciones para llevar a cabo las pruebas por contradicción:

  1. Cuando se nos presente una proposición recordaremos que hay dos opciones:
    La proposición puede ser verdadera o falsa.
  2. Imaginemos que la proposición sea falsa y veamos qué pasaría.
  3. Ahora veremos el resultado cuando la proposición es falsa. Este resultado debería contradecir algún hecho o dato.
  4. Aclararemos que, ya que se crea una contradicción de hechos o datos cuando la proposición es falsa, ésta debe ser verdadera, por consiguiente, se excluye la opción de que la proposición sea falsa.
  5. Luego de excluir la opción de que la proposición sea falsa, nos queda sólo la otra opción, que sea verdadera.

Pruebas por contradicción

Cuando se nos presente alguna proposición que debamos demostrar podremos hacerlo a través de la contradicción.
¿Qué quiere decir?
Hasta ahora hemos demostrado proposiciones de forma directa, según el siguiente patrón: debido a que pasa esto y lo otro... pasa esto y aquello... y de este modo queda demostrada la proposición.
Por ejemplo, si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces el paralelogramo es un rectángulo.
Así demostrábamos todas las proposiciones que necesitábamos.
La prueba por contradicción es una demostración que se hace de forma indirecta.
Demostramos que es imposible que la proposición sea falsa y, por consiguiente, debe ser verdadera.
De hecho, no demostramos por qué es verdadera, sino, por qué no puede ser falsa - esto es la prueba por contradicción.
¿Te marea?
Organicemos nuestra mente y veamos el orden correcto de las operaciones para llevar a cabo las pruebas por contradicción:

  1. Cuando se nos presente una proposición recordaremos que hay dos opciones:
    La proposición puede ser verdadera o falsa.
  2. Imaginemos que la proposición sea falsa y veamos qué pasaría.
  3. Ahora veamos el resultado cuando la proposición es falsa. Este resultado debería contradecir algún hecho o dato.
  4. Aclararemos que, ya que se crea una contradicción de hechos o datos cuando la proposición es falsa, ésta debe ser verdadera, por consiguiente, se excluye la opción de que la proposición sea falsa.
  5. Luego de excluir la opción de que la proposición sea falsa, nos queda sólo la otra opción, que sea verdadera.

La prueba por contradicción - la proposición debe ser verdadera ya que si fuera falsa se llegaría a un absurdo o contradicción de hechos o datos.


Veamos un ejemplo de prueba por contradicción:

La proposición dice así:
Si hay dos ángulos alternos entre rectas y estos ángulos son iguales, entonces las rectas son paralelas.
Actuemos paso tras paso, según el orden de operaciones para la prueba por contradicción:


Primer paso

Recordemos que hay dos opciones: La proposición es verdadera o la proposición es falsa.


Segundo paso

Revisemos que pasaría si la proposición fuera falsa:

Nos preguntaremos ¿es posible que \(∢1=∢2\) (los ángulos alternos en la ilustración son iguales), pero que las rectas \(A\) y \(B\) no sean paralelas sino intersecantes?

los ángulos alternos en la ilustración son iguales


Si las rectas no son paralelas, es decir son intersecantes, quiere decir que se encontrarán en algún punto y se formará un triángulo:
Intentemos trazar un bosquejo:

se encontrarán en algún punto y se formará un triángulo


Tercer paso

Veamos qué resultado salió y dónde contradice algún hecho.
¿Qué hay en el triángulo que fue creado?
Tenemos un triángulo con un ángulo externo – ángulo 2
igual al ángulo interno - ángulo 1
que no colindan.
Este resultado contradice el hecho de que no puede haber un ángulo externo de un triángulo que sea igual al ángulo interno que no colinda con él en el mismo triángulo.


Cuarto paso - aclaración

Ya que hemos visto lo que ocurre cuando la proposición es falsa (se contradice un hecho), podremos determinar que se descarta la opción de que la proposición sea falsa, por lo tanto, debe ser verdadera.
O sea, no es posible que las rectas no sean paralelas.
Las rectas deben ser paralelas y no intersecarse nunca.


Quinto paso

Nos quedamos sólo con que la opción de que la proposición dada - si hay dos ángulos alternos entre rectas y estos ángulos son iguales, entonces las rectas son paralelas - es verdadera.

¡Genial!
Ahora también sabes demostrar proposiciones por contradicción.
Este método te ayudará mucho a resolver varios tipos de ejercicios.


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