Ángulos alternos

Ángulos alternos son los que se encuentran en los lados opuestos de la transversal que corta dos rectas paralelas y no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos alternos son del mismo tamaño.  

El siguiente esquema ilustra dos pares de ángulos alternos, uno se ha pintado de rojo y el otro de azul.

Angulos alternos ABC

¿Qué son los ángulos alternos?

Previo a la explicación específica sobre los ángulos alternos, es menester entender las circunstancias en las que se pueden formar estos ángulos. La forma más simple de describirlo es con un esquema de dos rectas paralelas con una transversal que las corta (para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de las "Rectas paralelas "), tal como se puede observar en esta ilustración:

Rectas_Paralelas_con_eje_de_Angulos_alternos.original (1)

Tal como lo mencionamos, aquí vemos dos rectas paralelas A y B con una transversal C que las corta. 

Otros ángulos en resumidas palabras

Hay otros tipos de ángulos que se forman en el tipo de situación que acabamos de describir. Los mencionaremos simplificadamente:

Ángulos correspondientes
Son los que se encuentran en el mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas y están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Los ángulos correspondientes son de idéntico tamaño. Para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de los «ángulos correspondientes».

Copy_of_Angulos_adyacentes_-_Ejercicio_01_-_ilu.original

Ángulos opuestos por el vértice
Se forman por dos rectas que se cortan, tienen un vértice en común y se encuentran uno frente al otro. Los ángulos opuestos por el vértice son de idéntico tamaño. Para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de los «ángulos opuestos por el vértice».

angulos opuestos al vertice

Ángulos colaterales
Son los que se encuentran en el mismo lado de la transversal que corta dos rectas paralelas y no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela. Juntos completan 180 grados, es decir, la suma de dos ángulos colaterales es igual a ciento ochenta grados. Para más detalles dirígete al artículo específico que trata el tema de los «ángulos colaterales».

Angulos_colaterales.original

Ejemplos y ejercitación

Ejercicio 1: 

En cada una de las siguientes ilustraciones indica si se trata de ángulos alternos o no. En ambos casos explica el porqué. 

Angulos_alternos_-_Ejercicio_1.1.original

Angulos_alternos_-_Ejercicio_1.2.original

Angulos_alternos_-_Ejercicio_1.3.original

Solución: 

Esquema No 1: En este caso realmente se trata de ángulos alternos ya que responden a los criterios de su definición, es decir, se trata de dos ángulos que se encuentran en los lados opuestos de la transversal que corta las dos rectas paralelas y los ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Esquema No 2: En este caso no se trata de ángulos alternos ya que no responden a los criterios de su definición, es decir, se trata de dos ángulos que se encuentran sobre el mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas y también están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Esquema No 3: En este caso no se trata de ángulos alternos ya que no responden a los criterios de su definición, es decir, se trata de dos ángulos que se encuentran sobre el mismo lado de la transversal que corta las dos rectas paralelas y los dos ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Respuesta:

Esquema No 1: ángulos alternos

Esquema No 2: no son ángulos alternos

Esquema No 3: no son ángulos alternos


Ejercicio 2: 

Angulos_alternos_-_Ejercicio_2.original

Dado el triángulo ABC tal como se ve ilustrado en el esquema. 

El ángulo B del triángulo equivale a 35 grados.

Además, sabemos que la recta AK y la arista (el lado) BC son paralelas

Encuentra los demás ángulos del triángulo ABC.

Solución: 

Observaremos la ilustración y veremos que, de hecho, tenemos dos rectas paralelas (AK y BC) que las corta una transversal (la arista AC). El ángulo C del triángulo es igual al ángulo CAK ya que se trata de ángulos alternos, es decir, se trata de dos ángulos ubicados en los lados opuestos de la transversal (AC) que corta las dos rectas paralelas (AK y BC) y estos ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

De lo anterior se deriva que el ángulo C del triángulo equivale a 60 grados. 

La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo equivale a 180 grados.

Por consiguiente, el ángulo A equivale a 180-35-60=85 grados. 

Respuesta: 

El ángulo A mide 85 grados.

El ángulo C mide 60 grados.


Ejercicio 3: 

En el siguiente esquema dado:

Angulos_alternos_-_Ejercicio_3.original

En esta ilustración se describen dos rectas paralelas y una transversal que las corta.

Se debe descubrir el ángulo K en base a los datos dados en el esquema.

Solución: 

Según la información dada podemos ver que los dos ángulos indicados en el esquema son ángulos alternos. Es decir, se trata de dos ángulos ubicados en los lados opuestos de la transversal (C) que corta las dos rectas paralelas (A y B) y estos ángulos no están en el mismo nivel respecto a la recta paralela.

Los ángulos alternos son iguales, por lo tanto, el ángulo K también mide 75 grados.

Respuesta: 

El ángulo K mide 75 grados. 


Ejercicio 4: 

a y b son paralelas Encontrar los ángulos marcados

a y b son paralelas

Encontrar los ángulos marcados

Solución:

\( ∡a=∡104 \) Ángulos alternos

\( ∡β=∡81\text{ } \) Ángulos complementarias


Ejercicio 5: 

a, b y c son paralelas

Encontrar el valor de X.

Ejercicio 5  a, b y c son paralelas Encontrar el valor de X.

Solución:

Ilustración

\( ∡a_1∡b_3=38 \) Ángulos suplementarios, por lo tanto iguales.

Complementarias por lo tanto iguales a: \( ∡c_1=∡b_1=25 \)

\( ∡b_1+∡b_2+b_3=180° \) (Ángulos adyacentes)

\( 25°+3X+38°=180° \)

\( 3X=117° \) /:3

\( X=39° \)

Respuesta: 

\( X=39° \)


Ejercicio 6: 

Dado el rectángulo, encontrar el valor de X.

Ejercicio 6  Dado el rectángulo, encontrar el valor de X

Solución:

Ilustración

El cuadrilátero es un rectángulo, es decir.

AB es paralelo a CD

AD es paralelo a BC

\( ∡4,∡3 \)

Ángulos suplementarios por lo tanto iguales a

\( ∡3=∡4=84 \)

\( ∡2,∡5 \) Opuestos por el vértice, por lo tanto iguales

\( ∡2=∡5=26 \)

\( ∡6=∡4-∡5=84--26=58 \)

\(∡7=∡1=X\) Ángulos opuestos por el vértice y por lo tanto iguales \(∡7, ∡1\)

\( ∡B=90 \) Rectángulo

\( ∡B=90+∡7+∡6=180 \) Suma de los ángulos en el triángulo

\( 90+X+58=180 \)

\( X=190-58-90=32 \)

Respuesta:

\( X=32 \)


Ejercicio 7: 

Dado el paralelogramo

Ejercicio 7  Dado el paralelogramo

Los ángulos marcados son ángulos agudos

¿Para qué valores de X hay una solución?

Solución:

El polígono es un paralelogramo a cualquier línea recta y cualquier par de lados opuestos paralelos.

Los ángulos en la figura son suplementarios por lo tanto iguales

  • Ángulos agudos

\( 0<4X²+3X<90 \)

\( 0<5X-42<90 \)

\( 5X-42=4X²+3X \)

\( 0=4X²-2X+42 \) /:2

\( 0=2X²-X+21 \)

\( 0=2X²-X+21 \)

\( X_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b²-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a} \)

\( a=2 \)

\( b=-1 \)

\( c=21 \)

\(X_{1,2}=\frac{1±\sqrt{1-4\cdot2\cdot21}}{2\cdot2}=\frac{1±\sqrt{-167}}{4}= \)

El discriminante negativo no tiene solución.


Ejercicio 8: 

Dado el paralelogramo

Ejercicio 8  Dado el paralelogramo

Dada la ilustración del paralelogramo, ¿cuáles son los ángulos suplementarios?

  1. X,Y
  2. Α,β
  3. Γ, δ
  4. X,δ

Respuesta:

La respuesta correcta es 4