Suma y resta de fracciones algebraicas

🏆Ejercicios de factorización y fracciones algebraicas

La clave para sumar o restar fracciones algebraicas es causar que todos los denominadores sean iguales, es decir, llegar al común denominador.
Para hacerlo deberemos descomponer en factores según los diferentes modos que hemos aprendido.

Pasos de acción:

  1. Descompondremos en factores todos los denominadores que tenemos.
  2. Anotaremos el común denominador y, de este modo, sabremos cómo llevar a cabo el tercer paso meticulosamente.
  3. Multiplicaremos cada uno de los numeradores por el mismo número que necesitemos multiplicar su denominador a fin de llegar al común denominador.
  4. Escribiremos el ejercicio con un solo denominador, el común denominador, y entre los numeradores conservaremos las mismas operaciones matemáticas que había en el ejercicio original.
  5. Luego de abrir los paréntesis puede ocurrir que nos topemos con otra expresión que haga falta descomponer. La descompondremos en factores y veremos si podemos simplificarla.
  6. Obtendremos una fracción común y la resolveremos.
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einstein

Seleccione el campo de aplicación de la siguiente fracción:

\( \frac{x}{16} \)

Quiz y otros ejercicios

Ejemplo de suma y resta de fracciones algebraicas:
1x29+1x26x+9=\frac{1}{x^2-9}+\frac{1}{x^2-6x+9}=

Descompongamos en factores todos los denominadores que tenemos:
1(x3)(x+3)+1(x3)2\frac{1}{(x-3)(x+3)}+\frac{1}{(x-3)^2}

Anotemos el común denominador:
(x+3)(x3)2(x+3) (x-3)^2
Multipliquemos cada numerador por el número necesario para que su denominador llegue al común denominador, escribamos el ejercicio con un solo denominador y tendremos:
x3+x+3(x+3)(x3)2\frac{x-3+x+3}{(x+3)(x-3)^2}
Coloquemos los elementos en el numerador y nos dará:
2x(x+3)(x3)2\frac{2x}{(x+3)(x-3)^2}
Éste es el resultado final.


Ejemplos y ejercicios con soluciones de suma y resta de fracciones algebraicas

Ejercicio #1

Determine si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

6363=1 \frac{6\cdot3}{6\cdot3}=1

Solución

Simplificamos la expresión del lado izquierdo de la igualdad aproximada:

=?11=!1 \frac{\textcolor{red}{\not{6}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}{\textcolor{red}{\not{6}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}\stackrel{?}{= }1\\ \downarrow\\ 1\stackrel{!}{= }1 por lo tanto, la reducción descrita es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

Verdadera

Ejercicio #2

Complete la expresión correspondiente para el denominador

16ab?=8a \frac{16ab}{?}=8a

Solución

Utilizamos la fórmula:

xy=zwxy=zy \frac{x}{y}=\frac{z}{w}\xrightarrow{}x\cdot y=z\cdot y

Convertimos el 8 en fracción, y multiplicamos

16ab?=81 \frac{16ab}{?}=\frac{8}{1}

16ab×1=8a 16ab\times1=8a

16ab=8a 16ab=8a

Dividimos ambos lados por 8a:

16ab8a=8a8a \frac{16ab}{8a}=\frac{8a}{8a}

2b 2b

Respuesta

2b 2b

Ejercicio #3

Determina si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

3xx+3=0 \frac{3-x}{-x+3}=0

Solución

zxx+z=1 \frac{z-x}{-x+z}=1

Respuesta

Falso

Ejercicio #4

Determina si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

3483=12 \frac{3\cdot4}{8\cdot3}=\frac{1}{2}

Solución

Simplificamos la expresión en el lado izquierdo de la igualdad aproximada,

Primero tengamos en cuenta el hecho de que el número 8 es múltiplo del número 4:

8=24 8=2\cdot4 Por lo tanto volveremos al problema en cuestión y presentaremos el número 8 como múltiplo del número 4, posteriormente simplificaremos la fracción:

3483=?1234243=?122=?1212=!12 \frac{3\cdot4}{\underline{8}\cdot3}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2}\\ \downarrow\\ \frac{3\cdot4}{\underline{2\cdot4}\cdot3}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2}\\ \downarrow\\ \frac{\textcolor{blue}{\not{3}}\cdot\textcolor{red}{\not{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{\not{4}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2} \\ \downarrow\\ \frac{1}{2}\stackrel{!}{= }\frac{1}{2} Por lo tanto la simplificación descrita es correcta.

Es decir, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

Verdadero

Ejercicio #5

x21010=0 \frac{x^2}{10}-10=0

Solución

Resolveremos la ecuación dada:x21010=0 \frac{x^2}{10}-10=0 Se deduce del hecho de que nos desharemos de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación dada, lo haremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que es el número 10, luego transferimos el número libre a un lado, recordando que cuando transferimos un término a la otra sección, el signo del coeficiente cambia:

x210101=0/101x21010=0x2100=0x2=100 \frac{x^2}{10}-\frac{10}{1}=0\hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ \\ 1\cdot x^2-10\cdot10=0 \\ x^2-100=0\\ x^2=100 A partir de aquí resolveremos de forma sencilla, realizaremos en ambos lados la operación contraria a la operación de la potencia cuadrática aplicada a la incógnita que en la ecuación, es la operación de la raíz de segundo orden, con la ayuda de un número de las leyes de potencia:

A. Definición de la raíz como potencia:

an=a1n \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} y en las dos leyes de potenciación:

B. Ley de potencias para exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}

Continuamos resolviendo la ecuación:
x2=100/x2=±100(x2)12=±10x212=±10x=10,10 x^2=100\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \sqrt{ x^2}=\pm\sqrt{ 100}\\ (x^2)^{\frac{1}{2}}=\pm10\\ x^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pm10\\ \boxed{x=10,-10}

En el primer paso aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, posteriormente recordamos la definición de la raíz como potencia (a) en el lado izquierdo, en el siguiente paso aplicamos la ley de las potenciación de un exponente elevado a otro exponente (b) del lado izquierdo, y recordamos que elevar un número a la 1ª potencia no cambia el número.

Además, recordemos que dado que una potencia de orden par no conserva el signo del número al que se aplica la potencia (siempre dará un resultado positivo), extraer una raíz de orden par para los lados de la ecuación requiere referencia a dos casos posibles: positivo y negativo (esto contrasta con la extracción de una raíz de orden impar, que requiere referencia a un solo caso en el signo de número en el que se aplica la raíz),

Resumamos la solución de la ecuación:

x21010=0/10x2=100/x=10,10 \frac{x^2}{10}-10=0 \hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ x^2=100 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=10,-10}

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

x=±10 x=\pm10

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