Simplificación de fracciones algebraicas

🏆Ejercicios de factorización y fracciones algebraicas

Cuando tengamos números iguales o con un común denominador en el numerador y en el denominador podremos, en ciertos casos, simplificar las fracciones.

Muchas veces nos toparemos con alguna fracción algebraica en la que se puedan simplificar el numerador y el denominador. Por ejemplo, esta ecuación:

412x4\over12x

es una fracción que podemos simplificar. La simplificación de fracciones algebraicas es una operación muy importante que nos ahorrará mucho tiempo al resolver ejercicios y nos ayudará a evitar errores. En este artículo aprenderemos cuándo se puede y cuándo no está permitido simplificar el numerador y el denominador.

‎¡Recuerda‎!‎ Se puede simplificar entre numerador y denominador cuando entre los términos hay operaciones de multiplicación y no hay sumas ni restas. 

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Seleccione el campo de aplicación de la siguiente fracción:

\( \frac{x}{16} \)

Quiz y otros ejercicios

Pasos para simplificar fracciones

Primero observa el ejercicio que se ve a continuación e intenta entenderlo.
1) Trata de sacar el factor común.
2) Intenta simplificar con las fórmulas de multiplicación abreviada.
3) ‎Intenta descomponerlo en factores con trinomios.

En nuestro ejercicio hay un número en el numerador. En el denominador hay una multiplicación de 12 12 por la incógnita X X . Por consiguiente, se puede simplificar‎.
‎Nos daremos cuenta de que tanto el 4 4 como el 12 12 se pueden dividir por 4 4 , lo anotaremos de la siguiente manera:

412x=443x=13x\frac{4}{12x}=\frac{4}{4\cdot3x}=\frac{1}{3x}

Un ejercicio de este tipo no se puede simplificar porque hay una suma:

412+x4\over12+x


Simplificación de fracciones algebraicas

Muchas veces nos toparemos con alguna fracción algebraica en la que se pueden simplificar el numerador y el denominador. Por ejemplo, esta ecuación:

412x4\over12x

es una fracción que podemos simplificar. Enseguida entenderemos por qué y cómo se puede simplificar. La simplificación de fracciones algebraicas es una operación muy importante que nos ahorrará mucho tiempo al resolver ejercicios y nos ayudará a evitar errores. En este artículo aprenderemos cuándo se puede y cuándo no se puede simplificar el numerador y el denominador.

¡Recuerda! Se puede simplificar entre numerador y denominador cuando entre los términos hay operaciones de multiplicación y no hay sumas ni restas. 

Lo explicaremos con la ayuda de algunos ejemplos.


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Ejemplo 1 - Simplificación de fracción con una incognita

412x4\over12x

Hay un número en el numerador. En el denominador hay una multiplicación de 12 12 por la incógnita X X . Por consiguiente, podemos simplificar. Lo escribiremos del siguiente modo:

En el denominador hay una multiplicación de 12 por la incógnita X


Ejemplo 2‏‎ - Simplificación de fracción con suma en el denominador

412+x4\over12+x

En este caso, en el denominador hay un signo de sumar y no una multiplicación. Por lo tanto, no se puede simplificar.


¿Sabes cuál es la respuesta?

Ejemplo 3‏‎ - Simplificación de fracción con suma en el numerador

X+22XX+2\over2X

En este caso tampoco está permitido simplificar ya que en el numerador hay una suma.


Ejemplo 4‏‎ - Simplificando una fracción con 2 incógnitas

3X11XY3X\over11XY
En este caso sólo hay multiplicaciones entre los términos de numerador y los del denominador, entonces se pueden simplificar. Simplificaremos en X X .

Simplificaremos en X


Comprueba que lo has entendido

Ejemplo 5 - Simplificación de fracciones con incógnitas y paréntesis

3X(X+2)X+23X(X+2)\over X+2

En este caso también podemos simplificar ya que la expresión (x+2) (x+2) se multiplica entera por los demás elementos del numerador. Por lo tanto, podemos considerar al numerador como si sólo incluyera operaciones de multiplicación entre los términos.

Podremos simplificar el numerador y el denominador por la expresión‎ (x+2) (x+2)

Podremos simplificar el numerador y el denominador por la expresión‎ (x+2)

Ejemplo 6 - Extracción de factor común previo a la simplificación del numerador y del denominador

3x+6xy12x\frac {3x+6xy}{12x}

Vemos que hay una suma en el numerador y, por consiguiente, a primera vista podríamos pensar que no podemos simplificar el numerador y denominador. No es así, ya que podemos extraer el factor común del numerador, tal como hemos aprendido en clases anteriores, y luego, podremos simplificar.

Extraigamos el factor común del numerador:

3x+6xy12x=3x×(1+2y)12x\frac {3x+6xy}{12x}=\frac {3x×(1+2y)}{12x}
Ahora tenemos multiplicaciones entre los términos del numerador y entre los del denominador y, por lo tanto, se puede aplicar la simplificación.

Extracción de factor común previo a la simplificación del numerador y del denominador

No podremos volver a simplificar la última fracción que obtuvimos ya que ahora tenemos una suma en el numerador y no sólo multiplicación.


Ahora veremos algunos ejemplos de ecuaciones con fracciones que se pueden simplificar.


¿Crees que podrás resolverlo?

Ejemplo 7 - Denominador distinto de 0

2x2+6x5(x+3)=1\frac {2x^2+6x}{5(x+3)}=1


Antes que nada, recordemos que debemos anotar el conjunto solución del ejercicio. En los ejemplos previos no se nos había solicitado resolver los ejercicios, por lo tanto, no hemos mencionado el conjunto solución. 

Debemos constatar que el denominador sea distinto de cero, es decir,

5(x+3)05(x+3)≠ 0

Dividiremos ambos miembros de la ecuación por 55 para deshacernos de él:

/:5/:5,5(x+3)05(x+3)≠ 0

x+30x+3≠ 0

x3x ≠ -3

Lo que significa que nuestro conjunto solución es x3x ≠ -3

Ahora volvamos a la solución del ejercicio. Veremos que podemos extraer el factor común del numerador del miembro izquierdo de la ecuación. Obtendremos:

2x(x=3)5(x+3)=1\frac {2x(x=3)}{5(x+3)}=1

Nos percataremos de que sólo tenemos operaciones de multiplicación entre los términos del numerador y el denominador, por consiguiente, podemos aplicar la simplificación.
‎Obtendremos:

aplicar la simplificación

2x5=1\frac {2x}{5}=1

2x=52x=5

x=52x=\frac {5}{2}

Nuestro conjunto solución es x3x ≠ -3

O sea, el resultado que obtuvimos está incluido en el conjunto solución.
En esta fase conviene comprobar el resultado colocándolo en el ejercicio original. ¡Inténtalo!


Ejemplo 8 - Denominador distinto de 0

x23x(x+15)=2x+3\frac {x^2-3x}{-(x+15)}=2x+3

Primeramente, anotaremos cuál es el conjunto solución. Nos interesa constatar que el denominador no equivalga a cero

5x+150-5x+15 ≠ 0

5x155x ≠ 15

x3x ≠ 3

Es decir, nuestro conjunto solución es x3x ≠ 3

Ahora volvamos a la solución del ejercicio. Extraigamos el factor común del numerador y del denominador del miembro izquierdo de la ecuación:

x(x3)5(x3)=2x+3\frac {x(x-3)}{-5(x-3)}=2x+3

Simplifiquemos numerador y denominador

/5/*-5,x5=2x+3\frac{x}{-5}=2x+3

x=10x15x=-10x-15

11x=1511x=-15

x=1511x=- \frac{15}{11}
Recordemos que nuestro conjunto solución es x3x ≠ 3

Es decir, el resultado obtenido concuerda. En esta fase conviene comprobar nuestra respuesta colocándola en el ejercicio original. ¡Inténtalo!


Ejemplos y ejercicios con soluciones de simplificación de fracciones algebraicas

Ejercicio #1

Determine si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

6363=1 \frac{6\cdot3}{6\cdot3}=1

Solución

Simplificamos la expresión del lado izquierdo de la igualdad aproximada:

=?11=!1 \frac{\textcolor{red}{\not{6}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}{\textcolor{red}{\not{6}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}\stackrel{?}{= }1\\ \downarrow\\ 1\stackrel{!}{= }1 por lo tanto, la reducción descrita es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

Verdadera

Ejercicio #2

Complete la expresión correspondiente para el denominador

16ab?=8a \frac{16ab}{?}=8a

Solución

Utilizamos la fórmula:

xy=zwxy=zy \frac{x}{y}=\frac{z}{w}\xrightarrow{}x\cdot y=z\cdot y

Convertimos el 8 en fracción, y multiplicamos

16ab?=81 \frac{16ab}{?}=\frac{8}{1}

16ab×1=8a 16ab\times1=8a

16ab=8a 16ab=8a

Dividimos ambos lados por 8a:

16ab8a=8a8a \frac{16ab}{8a}=\frac{8a}{8a}

2b 2b

Respuesta

2b 2b

Ejercicio #3

Determina si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

3xx+3=0 \frac{3-x}{-x+3}=0

Solución

zxx+z=1 \frac{z-x}{-x+z}=1

Respuesta

Falso

Ejercicio #4

Determina si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

3483=12 \frac{3\cdot4}{8\cdot3}=\frac{1}{2}

Solución

Simplificamos la expresión en el lado izquierdo de la igualdad aproximada,

Primero tengamos en cuenta el hecho de que el número 8 es múltiplo del número 4:

8=24 8=2\cdot4 Por lo tanto volveremos al problema en cuestión y presentaremos el número 8 como múltiplo del número 4, posteriormente simplificaremos la fracción:

3483=?1234243=?122=?1212=!12 \frac{3\cdot4}{\underline{8}\cdot3}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2}\\ \downarrow\\ \frac{3\cdot4}{\underline{2\cdot4}\cdot3}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2}\\ \downarrow\\ \frac{\textcolor{blue}{\not{3}}\cdot\textcolor{red}{\not{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{\not{4}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2} \\ \downarrow\\ \frac{1}{2}\stackrel{!}{= }\frac{1}{2} Por lo tanto la simplificación descrita es correcta.

Es decir, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

Verdadero

Ejercicio #5

x21010=0 \frac{x^2}{10}-10=0

Solución

Resolveremos la ecuación dada:x21010=0 \frac{x^2}{10}-10=0 Se deduce del hecho de que nos desharemos de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación dada, lo haremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que es el número 10, luego transferimos el número libre a un lado, recordando que cuando transferimos un término a la otra sección, el signo del coeficiente cambia:

x210101=0/101x21010=0x2100=0x2=100 \frac{x^2}{10}-\frac{10}{1}=0\hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ \\ 1\cdot x^2-10\cdot10=0 \\ x^2-100=0\\ x^2=100 A partir de aquí resolveremos de forma sencilla, realizaremos en ambos lados la operación contraria a la operación de la potencia cuadrática aplicada a la incógnita que en la ecuación, es la operación de la raíz de segundo orden, con la ayuda de un número de las leyes de potencia:

A. Definición de la raíz como potencia:

an=a1n \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} y en las dos leyes de potenciación:

B. Ley de potencias para exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}

Continuamos resolviendo la ecuación:
x2=100/x2=±100(x2)12=±10x212=±10x=10,10 x^2=100\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \sqrt{ x^2}=\pm\sqrt{ 100}\\ (x^2)^{\frac{1}{2}}=\pm10\\ x^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pm10\\ \boxed{x=10,-10}

En el primer paso aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, posteriormente recordamos la definición de la raíz como potencia (a) en el lado izquierdo, en el siguiente paso aplicamos la ley de las potenciación de un exponente elevado a otro exponente (b) del lado izquierdo, y recordamos que elevar un número a la 1ª potencia no cambia el número.

Además, recordemos que dado que una potencia de orden par no conserva el signo del número al que se aplica la potencia (siempre dará un resultado positivo), extraer una raíz de orden par para los lados de la ecuación requiere referencia a dos casos posibles: positivo y negativo (esto contrasta con la extracción de una raíz de orden impar, que requiere referencia a un solo caso en el signo de número en el que se aplica la raíz),

Resumamos la solución de la ecuación:

x21010=0/10x2=100/x=10,10 \frac{x^2}{10}-10=0 \hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ x^2=100 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=10,-10}

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

x=±10 x=\pm10

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