Factorización de fracciones algebraicas

🏆Ejercicios de factorización y fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas son fracciones con incógnitas.

Modos de acción para factorizar fracciones algebraicas:

  1. Hallaremos el factor común más apropiado para extraer.
  2. Si no vemos un factor común que podamos extraer pasaremos a la factorización con fórmulas de multiplicación abreviada tal como lo hemos estudiado.
  3. Si no se pueden utilizar las fórmulas de multiplicación abreviada pasaremos a factorizar con trinomios.
  4. Reduciremos acorde a las reglas de reducción (podremos reducir sólo cuando hay multiplicación entre los términos salvo que éstos estén entre paréntesis y, en dicho caso, los consideraremos términos independientes).
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Seleccione el campo de aplicación de la siguiente fracción:

\( \frac{x}{16} \)

Quiz y otros ejercicios

Observa, puedes factorizar toda expresión incluida en tu fracción por separado del modo que desees y, al final llegarás a la expresión factorizada.

Veamos un ejemplo de factorización de fracciones algebraicas:
x2+7x+12x+3=\frac{x^2+7x+12}{x+3}=

Como ves, en esta fracción sólo se puede factorizar el numerador.
Lo factorizaremos y obtendremos:
(x+4)(x+3)(x+3)=\frac{(x+4)(x+3)}{(x+3)}=
Ahora, podemos reducir del siguiente modo y obtendremos:

Factorización de fracciones algebraicas


x+4x+4


Ejemplos y ejercicios con soluciones de factorización de fracciones algebraicas

Ejercicio #1

Determine si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

6363=1 \frac{6\cdot3}{6\cdot3}=1

Solución

Simplificamos la expresión del lado izquierdo de la igualdad aproximada:

=?11=!1 \frac{\textcolor{red}{\not{6}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}{\textcolor{red}{\not{6}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}\stackrel{?}{= }1\\ \downarrow\\ 1\stackrel{!}{= }1 por lo tanto, la reducción descrita es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

Verdadera

Ejercicio #2

Complete la expresión correspondiente para el denominador

16ab?=8a \frac{16ab}{?}=8a

Solución

Utilizamos la fórmula:

xy=zwxy=zy \frac{x}{y}=\frac{z}{w}\xrightarrow{}x\cdot y=z\cdot y

Convertimos el 8 en fracción, y multiplicamos

16ab?=81 \frac{16ab}{?}=\frac{8}{1}

16ab×1=8a 16ab\times1=8a

16ab=8a 16ab=8a

Dividimos ambos lados por 8a:

16ab8a=8a8a \frac{16ab}{8a}=\frac{8a}{8a}

2b 2b

Respuesta

2b 2b

Ejercicio #3

Determina si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

3xx+3=0 \frac{3-x}{-x+3}=0

Solución

zxx+z=1 \frac{z-x}{-x+z}=1

Respuesta

Falso

Ejercicio #4

Determina si la simplificación aquí descrita es verdadera o falsa:

3483=12 \frac{3\cdot4}{8\cdot3}=\frac{1}{2}

Solución

Simplificamos la expresión en el lado izquierdo de la igualdad aproximada,

Primero tengamos en cuenta el hecho de que el número 8 es múltiplo del número 4:

8=24 8=2\cdot4 Por lo tanto volveremos al problema en cuestión y presentaremos el número 8 como múltiplo del número 4, posteriormente simplificaremos la fracción:

3483=?1234243=?122=?1212=!12 \frac{3\cdot4}{\underline{8}\cdot3}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2}\\ \downarrow\\ \frac{3\cdot4}{\underline{2\cdot4}\cdot3}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2}\\ \downarrow\\ \frac{\textcolor{blue}{\not{3}}\cdot\textcolor{red}{\not{4}}}{2\cdot\textcolor{red}{\not{4}}\cdot\textcolor{blue}{\not{3}}}\stackrel{?}{= }\frac{1}{2} \\ \downarrow\\ \frac{1}{2}\stackrel{!}{= }\frac{1}{2} Por lo tanto la simplificación descrita es correcta.

Es decir, la respuesta correcta es la opción A.

Respuesta

Verdadero

Ejercicio #5

x21010=0 \frac{x^2}{10}-10=0

Solución

Resolveremos la ecuación dada:x21010=0 \frac{x^2}{10}-10=0 Se deduce del hecho de que nos desharemos de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación dada, lo haremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que es el número 10, luego transferimos el número libre a un lado, recordando que cuando transferimos un término a la otra sección, el signo del coeficiente cambia:

x210101=0/101x21010=0x2100=0x2=100 \frac{x^2}{10}-\frac{10}{1}=0\hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ \\ 1\cdot x^2-10\cdot10=0 \\ x^2-100=0\\ x^2=100 A partir de aquí resolveremos de forma sencilla, realizaremos en ambos lados la operación contraria a la operación de la potencia cuadrática aplicada a la incógnita que en la ecuación, es la operación de la raíz de segundo orden, con la ayuda de un número de las leyes de potencia:

A. Definición de la raíz como potencia:

an=a1n \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} y en las dos leyes de potenciación:

B. Ley de potencias para exponente elevado a otro exponente:

(am)n=amn (a^m)^n=a^{m\cdot n}

Continuamos resolviendo la ecuación:
x2=100/x2=±100(x2)12=±10x212=±10x=10,10 x^2=100\hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \sqrt{ x^2}=\pm\sqrt{ 100}\\ (x^2)^{\frac{1}{2}}=\pm10\\ x^{2\cdot\frac{1}{2}}=\pm10\\ \boxed{x=10,-10}

En el primer paso aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, posteriormente recordamos la definición de la raíz como potencia (a) en el lado izquierdo, en el siguiente paso aplicamos la ley de las potenciación de un exponente elevado a otro exponente (b) del lado izquierdo, y recordamos que elevar un número a la 1ª potencia no cambia el número.

Además, recordemos que dado que una potencia de orden par no conserva el signo del número al que se aplica la potencia (siempre dará un resultado positivo), extraer una raíz de orden par para los lados de la ecuación requiere referencia a dos casos posibles: positivo y negativo (esto contrasta con la extracción de una raíz de orden impar, que requiere referencia a un solo caso en el signo de número en el que se aplica la raíz),

Resumamos la solución de la ecuación:

x21010=0/10x2=100/x=10,10 \frac{x^2}{10}-10=0 \hspace{8pt}\text{/}\cdot 10\\ x^2=100 \hspace{8pt}\text{/}\sqrt{\hspace{6pt}}\\ \boxed{x=10,-10}

Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.

Respuesta

x=±10 x=\pm10

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