Factorización según fórmulas de multiplicación abreviada

Las fórmulas de multiplicación abreviada nos ayudarán a convertir expresiones con términos que tienen entre ellos signos de sumar o de restar a expresiones cuyos términos se multiplican.
Las fórmulas de multiplicación abreviada son:
\(a^2-b^2=(a-b)\times (a+b)\)

\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)

Para utilizar la primera fórmula: \( a^2-b^2=(a-b)\times(a+b) \)

Nos preguntaremos:

  1. ¿Hay una expresión positiva y otra negativa? 
  2. ¿Podemos encontrar la raíz de cada una de las expresiones por separado? 


Si hemos contestado positivamente a ambas preguntas, todo lo que nos queda por hacer es simplemente sacar la raíz de los dos términos y escribirlas según la fórmula.

Observa:
Colocaremos las raíces entre paréntesis.
En caso de que llegará a haber dos términos positivos o dos términos negativos no será posible utilizar esta fórmula.

Para utilizar las otras fórmulas :\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

deberemos corroborar que se cumplan tres condiciones. Nos preguntaremos:

  1. ¿Los dos términos de los que sacaremos las raíces tienen el mismo signo? o sea ¿ambos son positivos o ambos son negativos?
  2. ¿Podemos sacar la raíz de los dos términos por separado? ¿\( a \) y \( B \)
  3. Si multiplicamos el producto de las raíces por \( 2 \) ¿obtendremos el término medio (en positivo o en negativo)? 

Si hemos contestado positivamente a todas las preguntas,
todo lo que nos queda por hacer es simplemente colocar las raíces obtenidas en la fórmula correspondiente.
Observa que, si el tercer término era negativo en el ejercicio original lo colocaremos en la fórmula con el signo de restar. ¿Cuándo no se pueden utilizar estas fórmulas?
Cuando en el ejercicio original los signos de los términos de los que queramos sacar raíces sean diferentes, es decir, un término positivo y otro negativo, no podremos utilizar estas fórmulas.


Ejemplo del uso de la primera fórmula de multiplicación abreviada:

\(x^2-64=\)
Nos preguntaremos:

  • ¿Hay una expresión positiva y otra negativa? La respuesta es sí. 
  • ¿Podemos encontrar la raíz de cada una de las expresiones por separado? La respuesta es sí.

Magnífico. Todo lo que nos queda por hacer es simplemente sacar la raíz de los dos términos y escribirlas según la fórmula.
Obtendremos:
\((x-8)(x+8)\)


Ejemplo del uso de estas fórmulas de multiplicación abreviada:

\(x^2-18+81=\)
Nos preguntaremos:

  • ¿Los dos términos de los que sacaremos las raíces tienen el mismo signo? Es decir ¿ambos son positivos o ambos son negativos? La respuesta es sí. Ambos son positivos.
  • ¿Podemos sacar la raíz de los dos términos por separado? \(a\)  y \(b\)¿La respuesta es positiva?

raíz \(a\) sera \(x\)
raíz \(b\) sera \(9\)

Si multiplicamos el producto de las raíces por 2 ¿obtendremos el término medio (en positivo o en negativo)? La respuesta es sí.
\(9\times x\times 2=18x\)

Magnífico. Ahora, todo lo que nos queda por hacer es simplemente colocar las raíces obtenidas en la fórmula correspondiente.
Observemos que el término medio tiene el signo de restar en el ejercicio original. Por lo tanto, lo pondremos en la fórmula con signo menos y obtendremos:
\((x-9)^2\)