Factorización de trinomios

Resolvamos la ecuación dada:

$x^4+12x^3+36x^2=0$Notamos que es posible factorizar la expresión que está en el lado izquierdo de la ecuación dada, esto se hace extrayendo el factor común $x^2$ que es el máximo común divisor de los números y letras en la expresión:

$x^4+12x^3+36x^2=0 \\ \downarrow\\ x^2(x^2+12x+36) =0$Nos enfocamos en el lado izquierdo de la ecuación y luego en el lado derecho (el número 0).

Dado que la única manera de obtener el resultado 0 de un producto es multiplicar por 0, al menos una de las expresiones en el producto del lado izquierdo debe ser igual a cero,

Es decir:

$x^2=0\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ \boxed{x=0}$

O:

$x^2+12x+36=0$Para encontrar las soluciones adicionales a la ecuación debemos resolver la ecuación:

Nota que el primer coeficiente es 1, así que podemos intentar resolverla usando la fórmula del trinomio.

Sin embargo, en este caso también podemos factorizar usando la fórmula de multiplicación corta para un binomio:

$(\textcolor{red}{a}+\textcolor{blue}{b})^2 = \textcolor{red}{a}^2+2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2$La razón para intentar factorizar con este enfoque es que podemos identificar en el lado izquierdo de la ecuación que obtuvimos en el último paso, que los dos términos que están en los extremos (es decir, el término en la primera posición - que es el término cuadrado y el término en la posición cero - que es el número libre en la expresión) pueden ser presentados (simplemente) como un término cuadrado:

$x^2+12x+36=0 \\ \downarrow\\ x^2+12x+6^2=0$

Igualando la expresión del lado izquierdo en la ecuación:

$\downarrow\\ x^2+12x+6^2$

A la expresión del lado derecho en la fórmula corta de arriba:

$\textcolor{red}{a}^2+2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}+\textcolor{blue}{b}^2$

La conclusión de esto es que lo que queda por comprobar es si el término medio en la ecuación coincide con el término medio en la fórmula de multiplicación corta de arriba, es decir - después de identificar $a$$b$que están ambos en la primera posición en la fórmula de multiplicación corta de arriba en la que $a$y $b$comprobamos si el término medio en la expresión del lado izquierdo de la ecuación puede ser presentado como $2\cdot a \cdot b$Así, comenzamos presentando la ecuación de la fórmula corta a la expresión dada:

$\textcolor{red}{a}^2+\underline{2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b}}+\textcolor{blue}{b}^2 \Leftrightarrow \textcolor{red}{x}^2+\underline{12x}+\textcolor{blue}{6}^2$Y efectivamente se cumple que:

$2\cdot\textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{blue}{6}=12x$Es decir, el término medio en la expresión de la ecuación efectivamente coincide con la forma del término medio en la fórmula de multiplicación corta (resaltado con una línea debajo), matemáticamente:

$x^2+\underline{12x}+6^2=0 \\ \textcolor{red}{x}^2+\underline{2\cdot\textcolor{red}{x}\cdot\textcolor{blue}{6}}+\textcolor{blue}{6}^2=0\\ \downarrow\\ (\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{6})^2=0$Ahora podemos recordar que una raíz real solo puede calcularse para un número positivo o para el número cero (ya que no es posible obtener un número negativo al elevar al cuadrado un número real), y por lo tanto para una ecuación hay dos soluciones reales (o una solución) solo si:

$$A continuación notamos que si: $(x+6)^2=0\hspace{6pt}\text{/}\sqrt{\hspace{4pt}}\\ x+6=0\\ \boxed{x=-6}$entonces la única solución a la ecuación es:

$x^4+12x^3+36x^2=0 \\ \downarrow\\ x^2(x^2+12x+36) =0 \\ \downarrow\\ x^2=0\rightarrow\boxed{x=0} \\ x^2+12x+36=0\\ x^2+2\cdot2\cdot6+6^2=0\\ \rightarrow(x+6)^2=0\rightarrow\boxed{x=-6}\\ \downarrow\\ \boxed{x=0,-6}$Por lo tanto, podemos resumir lo explicado usando lo siguiente:

En la ecuación cuadrática:

$ax^2+bx+c =0$en la que los coeficientes son sustituidos y el discriminante es calculado:

$a,b$Si se cumple:

a.$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

No hay solución (real) a la ecuación.

b.$\Delta$:

Existe una única solución (real) a la ecuación.

c.$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\textcolor{orange}{\Delta}}}{2a} \longleftrightarrow\textcolor{orange}{\Delta}=b^2-4ac$:

Existen dos soluciones (reales) a la ecuación.

Ahora volvamos a la ecuación dada y extraigamos de ella los coeficientes:

$\Delta\geq0$Continuamos y calculamos $\Delta=0$:

$x=-\frac{b}{2a}$Por lo tanto, para la ecuación cuadrática que resolvimos, una (real) solución,

y en combinación con la solución $ax^2+bx+c =0$(la solución adicional que encontramos para la ecuación dada que se indica en el primer paso después de factorizar usando el factor común),

Por lo tanto, obtenemos que para la ecuación dada:

$\Delta=b^2-4ac$

dos soluciones reales.

Resolvamos la ecuación dada:

$4x^2-14x-8=0$

$$En lugar de dividir ambos lados de la ecuación por el factor común de todos los términos en la ecuación (que es el número 2), elegiremos factorizarlo usando paréntesis:

$4x^2-14x-8=0 \\ 2(2x^2-7x-4)=0$

Ahora, recuerda que multiplicar todos los términos en la expresión dará como resultado 0 solo si al menos uno de los términos es igual a cero.

Sin embargo, el primer factor en la expresión que obtuvimos es el número 2, que obviamente no es cero, por lo tanto:

$2x^2-7x-4 =0$Ahora notemos que el coeficiente del término cuadrático (al cuadrado) es mayor que 1.

Por supuesto, podemos resolver la ecuación usando la fórmula cuadrática, pero preferimos, por el bien de mejorar nuestras habilidades, continuar y factorizar la expresión en el lado izquierdo.

Usaremos el método de agrupación.

Al igual que en el método rápido de factorización de trinomios (que en realidad es un caso especial del método general de factorización de trinomios), buscaremos un par de números $m,\hspace{2pt}n$cuyo producto nos dé el producto del coeficiente del término cuadrático y el término constante en la expresión general:

$ax^2+bx+c$y su suma.

Así, buscaremos un par de números: $m,\hspace{2pt}n$ que satisfagan:

$m\cdot n=a\cdot c\\ m+n=b$ Una vez que encontremos el par de números que satisfacen ambas condiciones mencionadas (si es que se pueden encontrar) separaremos el coeficiente del término en la primera potencia en consecuencia y factorizaremos por agrupación.

Volvamos entonces al problema y demostremos:

En la ecuación:

$2x^2-7x-4 =0$ Buscaremos un par de números $m,\hspace{2pt}n$ que satisfagan:

$m\cdot n=2\cdot (-4)\\ m+n=-7 \\ \downarrow\\ m\cdot n=-8\\ m+n=-7 \\$Continuaremos, tal como lo hacemos en el método rápido de factorización de trinomios.

Del primer requisito mencionado, es decir, de la multiplicación, notemos que el producto de los números que estamos buscando debe dar un resultado negativo y por lo tanto podemos concluir que los dos números tienen signos diferentes, esto es según las leyes de multiplicación, y ahora recordaremos que los posibles factores del número 8 son 2 y 4 u 8 y 1, cumpliendo el segundo requisito mencionado, junto con el hecho de que los signos de los números que estamos buscando son diferentes entre sí nos llevará a la conclusión de que la única posibilidad para los dos números que estamos buscando es:

$\begin{cases} m=-8\\ n=1 \end{cases}$A partir de aquí, a diferencia del método rápido de factorización de trinomios(donde este paso en realidad se omite y se factoriza directamente, pero definitivamente existe), separaremos los factores del coeficiente según el par de números $m,\hspace{2pt}n$que encontramos:

$2x^2\underline{\textcolor{blue}{-7x}}-4 =0\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{(-8+1)x}}-4 =0\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{-8x+x}}-4 =0\\$En el siguiente paso factorizaremos por agrupación:

Nos referiremos a dos grupos de términos, de modo que en cada grupo haya un término en la primera potencia (la elección de grupos no importa, siempre que se mantenga esta condición), en cada grupo - factorizaremos un factor común para que dentro de los paréntesis, en ambos grupos, obtengamos la misma expresión:

$$$\textcolor{green}{2x^2-8x}\textcolor{red}{+x-4} =0\\ \downarrow\\ \textcolor{green}{2x(x-4)}\textcolor{red}{+1(x-4)} =0\\$(En este caso, en el segundo grupo - que está marcado en rojo, no fue posible factorizar más, así que nos conformamos con factorizar el número 1 como factor común para énfasis),

Ahora, notemos que la expresión entre paréntesis en ambos grupos es idéntica y por lo tanto podemos referirnos a ella como un factor común para ambos grupos (que es un binomio) y factorizarlo fuera de los paréntesis:

$\textcolor{green}{2x}\underline{(x-4)}\textcolor{red}{+1}\underline{(x-4)}=0\\ \downarrow\\ \underline{(x-4)}(\textcolor{green}{2x}\textcolor{red}{+1})=0$Así hemos obtenido una expresión factorizada en el lado izquierdo.

Resumamos esta técnica de factorización:

$2x^2-7x-4 =0 \\ \begin{cases} m\cdot n=2\cdot (-4)=-8\\ m+n=-7 \\\end{cases}\leftrightarrow m,\hspace{2pt}n=?\\ \downarrow\\ m\stackrel{!}{= }-8\\ n\stackrel{!}{= }1\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{-7x}}-4 =0\\ \downarrow\\ 2x^2\underline{\textcolor{blue}{-8x+x}}-4 =0\\ \downarrow\\ \textcolor{green}{2x^2-8x}\textcolor{red}{+x-4} =0\\ \downarrow\\ \textcolor{green}{2x}\underline{(x-4)}\textcolor{red}{+1}\underline{(x-4)}=0\\ \downarrow\\ \underline{(x-4)}(\textcolor{green}{2x}\textcolor{red}{+1})=0$Esta técnica es muy importante - recomendamos revisarla brevemente antes de continuar.

Continuemos resolviendo la ecuación, obtuvimos:

$(x-4)(2x+1)=0$

Aquí recordamos que multiplicar los términos en la expresión dará como resultado 0 solo si al menos uno de los términos en la expresión es igual a cero.

Por lo tanto, separaremos las dos partes de la ecuación y las resolveremos por separado, aislando la variable:

$x-4=0\\ \boxed{x=4}$O :

$2x+1=0\\ 2x=-1\text{/}:2\\ \boxed{x=-\frac{1}{2}}$

Resumamos la solución de la ecuación:

$4x^2-14x-8=0 \\ 2(2x^2-7x-4)=0 \\ \downarrow\\ 2x^2-7x-4 =0 \\ \begin{cases} m\cdot n=2\cdot (-4)=-8\\ m+n=-7 \\\end{cases}\leftrightarrow m,\hspace{2pt}n=?\\ \downarrow\\ m\stackrel{!}{= }-8\\ n\stackrel{!}{= }1\\ \downarrow\\ 2x^2\textcolor{blue}{-8x+x}-4 =0 \\ \downarrow\\ 2x\underline{(x-4)}+1\cdot\underline{(x-4)}=0\\ \underline{(x-4)}(2x+1)=0\\ \downarrow\\ x-4=0\rightarrow\boxed{x=4}\\ 2x+1=0\rightarrow\boxed{x=-\frac{1}{2}}\\ \downarrow\\ \boxed{x=4,-\frac{1}{2}}$Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.