Factorización de trinomios

Te presento el siguiente trinomio :

\(ax^2+bx+c\)

Mas allá de que los coeficientes de los términos sean positivos o negativos, siempre que aparezcan a estilo de trinomio, el ejercicio se denominará «trinomio».

La factorización se verá así:

\( (x+solución \space uno)(x+solución\space dos)\)
o con restas, según las soluciones.

La primera manera de factorizar un trinomio

Buscaremos dos números que su producto sea \(a*c\) y su total sea \(b\)
Nos preguntaremos: qué número multiplicado por qué otro nos dará \(a*c\)  o \(​​c\)  (si \(a\) equivale a 1).
y qué más qué sumaría \(b\).

De hecho, tenemos que encontrar un par de números que cumpla con estas dos condiciones a la vez.

Podemos trazarlo del siguiente modo:

Podemos trazarlo del siguiente modo


La segunda manera de factorizar un trinomio - fórmula cuadrática

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(a \)  El coeficiente del primer término
\(b\) El coeficiente del segundo término
\(c\) El número libre

En primer paso utilizaremos sólo la suma y hallaremos la primera solución y luego, utilizaremos sólo la resta y encontraremos la segunda.
Nuevamente, la factorización se verá del siguiente modo:
\( (x+solución \space uno)(x+solución\space dos)\)
o con restas, según las soluciones.


¿Qué es un trinomio?

\(ax^2+bx+c\)

El trinomio represente una expresión en la cual \(x\) se eleva al cuadrado, la precede un coeficiente -que puede ser positivo o negativo, pero no debe ser 0 (a veces el coeficiente equivale a 1 y por lo tanto no veremos la \(a\)), a dicho término puede haber añadido o extraído algún otro \(bx\) cuando \(b\) representa el coeficiente (en las mismas condiciones que \(a\)) y se le agrega o quita la variable independiente - número \(c\) .
Mas allá de que los coeficientes de los términos sean positivos o negativos, siempre que aparezcan a estilo de trinomio, el ejercicio se denominará «trinomio».

La primera manera de factorizar un trinomio

Buscaremos dos números que su producto sea \(a*c\) y su total sea \(b\)
Nos preguntaremos: qué número multiplicado por qué otro nos dará \(a\times c\)  o \(​​c\)  (si \(a\) equivale a 1).
y qué más qué sumaría \(b\).

De hecho, tenemos que encontrar un par de números que cumpla con estas dos condiciones a la vez.

Podemos trazarlo del siguiente modo:

Podemos trazarlo del siguiente modo



Modo de acción :
Encontraremos todos los números cuyos productos sean A*C y los anotaremos.
Luego, veremos qué par de números dentro de los que hallamos nos dará por resultado B.
Los dos números que cumplen con ambas condiciones son las soluciones del trinomio.

Importante

  • Si A fuese distinto de 1 aparecería antes de los paréntesis y luego habría una multiplicación.
  • Si alguna de las soluciones o ambas fuesen negativas no las sumaríamos a la X sino las restaríamos.

Veamos un ejemplo del uso de la factorización de trinomios del primer modo:


\(x^2+8x+12\)
Hallemos todos los números cuyos productos sean 12 (y recordémoslos también en negativo)
obtendremos:
\(12,1\)
\(2,6\)
\(3,4 \)
Ahora veamos qué par de números dentro de los que ya hallamos nos dará un total de \(8\)
El par que logra cumplir con las dos condiciones es \(2,6\).
Escribamos la factorización:
\((x+2)(x+6) \)


La segunda manera de factorizar un trinomio

Veamos un ejemplo del uso de la factorización de trinomios del segundo modo:


\(x^2+4x+4=\)

Encontremos nuestros parámetros:
\(a\)    El coeficiente del primer término \(1\)
\(b\)   El coeficiente del segundo término \(4\)
\(c\)  El número libre \(4\)

Primeramente, los colocaremos en la fórmula con el signo más y nos dará:
\(\frac{-4+\sqrt{4^2-4\times 1\times 4}}{2\times 1}=\)
\(\frac{-4+\sqrt{16-16}}{2}=\)
\(\frac{-4+\sqrt{0}}{2}=\)
\(\frac{-4}{2}=-2\)
Los colocaremos en la fórmula con el signo menos y obtendremos:
\(\frac{-4-\sqrt{0}}{2}=\)
\(-\frac{4}{2}=-2\)

Conseguimos la misma respuesta.
La factorización es:
\((x-2)(x-2)\)