Potencia de una multiplicación

Al encontrar una expresión con multiplicación o un ejercicio que tiene solamente operaciones de multiplicar dentro de un paréntesis y todas la expresión esta elevada a cierto exponente, podremos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los términos de la expresión o del ejercicio.
No hay que olvidarse de mantener los signos de multiplicar entre los términos.
Fórmula de la propiedad:
\( (a\times b)^n=a^n\times b^n \)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

potencia de una multplicacion

Ejemplo de potencia de una multiplicación

Ejemplo:
\( (5\times2)^3= \)
Observe que tenemos una potencia de un producto de números enteros. Podremos ver que el exponente \( 3 \) se aplica sobre toda la expresión incluida dentro de los paréntesis, por lo tanto, podremos elevar a cada uno de los términos manteniendo el signo de multiplicar entre ellos.
Obtendremos:
\( 5^32^3=\times \)
\( 125\times8=1000 \)


Si tenemos un ejercicio de multiplicación con exponente podremos aplicar el exponente a cada uno de los términos por separado.

Veamos algunos ejemplos:

\( (2X)^3 \)

Nos percataremos de que el exponente se aplica a toda la expresión expuesta entre los paréntesis y que entre el \( 2 \) y la \( X \) existe, de hecho, una operación de multiplicar.

Podremos elevar cada uno de los términos de la expresión al exponente y obtendremos:

\( 2^3\cdot X^3= \)

\( 8\cdot X^3= \)

Multiplicaremos la \( X \) por su coeficiente y nos dará:

\( 8X^3 \)


Ahora pasemos a un ejercicio un poco más complicado:

\( (2^2\cdot X^3)^2 \)

Vemos que el exponente \( 2 \) se encuentra fuera de los paréntesis, por lo tanto, se aplica a toda la expresión. Los términos de la expresión se multiplican, por lo tanto, se trata de la potencia de una multiplicación.

Bien, ahora podremos aplicar el exponente a cada uno de los términos por separado y no nos olvidaremos de mantener la multiplicación entre ellos.

Obtenemos:

\( \left(2^2\right)^2\cdot\left(x^3\right)^2 \)

Hemos obtenido lo que se denomina: Potencia de una potencia

Para poder seguir resolviendo el ejercicio recordaremos la siguiente propiedad:

Potencia de potencia

Si tenemos una potencia de una potencia debemos realizar una multiplicación de exponentes, es decir, multiplicar potencias.

En símbolos:

\( (a^n)^k=a^{n\cdot k} \)

Primero multiplicaremos el exponente ubicado fuera de los paréntesis por el exponente de la base \( 2 \) y luego, lo haremos por el exponente de la base \( X \).

Nos dará:

\( 2^4\cdot X^6 \)

\( 16\cdot X^6 \)

Ahora multiplicaremos la \( X \) por su coeficiente y tendremos:

\( 16X^6 \)


Pasemos a ver otro ejemplo que nos demostrará que no importa cuántos términos incluya el ejercicio, siempre y cuando haya multiplicación entre ellos y siempre que éstos se eleven a cierta potencia ubicada fuera de los paréntesis, en un caso así podremos aplicar la potencia a cada uno de los términos por separado y mantener la operación de multiplicación entre ellos.

\( (2^2X\cdot X^5\cdot X^2\cdot2\cdot5)^3 \)

Recomendación:

Antes de aplicar la potencia ubicada fuera de los paréntesis a cada uno de los términos por separado observa cuidadosamente el ejercicio.

Si lo miras bien y conoces a fondo las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes, en seguida verás que, puedes primeramente actuar dentro de los paréntesis haciendo uso de la propiedad de multiplicación de potencias de igual base para simplificar la expresión.

Recordemos que, cuando tenemos una multiplicación de potencias de igual base podemos sumar los exponentes y obtener una sola base con un solo exponente.

Si no hay exponente significa que el exponente es uno y es importante que recordemos sumarlo.

Al observar el ejercicio descubriremos que hay algunas bases iguales: \( 2 \) y \( X \).

Ya que la operación entre todos los términos es de multiplicar podremos sumar los exponentes pertinentes y de este modo llegaremos a:

\( (2^3\cdot X^8\cdot5)^3= \)


Ahora, con una expresión ya abreviada entre los paréntesis, nos resultará más fácil y rápido aplicar la potencia ubicada fuera de los paréntesis a cada uno de los términos.

Lo haremos y obtendremos:

\( \left(2^3\right)^3\cdot\left(x^8\right)^3\cdot\left(5\right)^3= \)

\( 2^9\cdot X^{24}\cdot5^3= \)

Podemos seguir resolviendo y llegaremos a:

\( 512\cdot X^{24}\cdot125= \)

\( 64,000\cdot X^{24}= \)

Multipliquemos la \( X \) por su coeficiente y nos dará:

\( 64,000X^{24}= \)


Ejercicios con la potencia de una multiplicación

\( (2\times5)^3= \)

\( (1\times2)^3= \)

\( (3\times3)^3= \)

\( (2\times2)^2= \)

\( (7\times4)^2= \)


\( \left(3^2X\times X^5\times X^3\right)^3= \)

\( \left(5^2X\times X^2\times X^2\right)^2= \)

\( \left(8^2X\times X^2\times X^25\times3X\right)^3= \)

\( \left(2^4\times5X^2\times X37\times3X\right)^3= \)

\( \left(2^4\times5X^2\times X\times8\times X^2\right)^3= \)


Preguntas de Repaso

¿Cómo resolver una potencia de una multiplicación?

Para resolver una potencia de una multiplicación debemos elevar cada uno de los factores a la potencia indicada y mantener el signo de multiplicación entre los términos.


¿Cómo resolver multiplicación de potencias de diferente base?

La ley de los exponentes indica que cuando tenemos multiplicación de potencias de la misma base, debemos sumar los exponentes, sin embargo, si tenemos diferente base no podemos aplicar dicha ley.


¿Cómo multiplicar potencias con diferente base y mismo exponente?

Si la base es distinta no podemos sumar los exponentes, aunque en algunos ejercicios será posible manipular las expresiones para igualar las bases y poder aplicar la ley de los exponentes.


¿Cómo resolver suma de potencias con diferente base?

No existe una ley para suma de potencias. No importa si tienen o no la misma base.


¿Cómo se multiplican potencias con el mismo exponente y diferente base?

Si la base es distinta, no podemos aplicar directamente la ley de los exponentes. Algunas veces podremos manipular las bases para tratar de igualarlas y aplicar la ley.