Potencia de una multiplicación

Potencia de una multiplicación

Al encontrar una expresión con multiplicación o un ejercicio que tiene solamente operaciones de multiplicar (entre paréntesis) y todas las multiplicaciones están elevadas a cierto exponente, podremos tomar el exponente y aplicarlo a cada uno de los términos de la expresión o del ejercicio.
No hay que olvidarse de mantener los signos de multiplicar entre los términos.
Fórmula de la propiedad:
\((a*b)^n=a^n*b^n\)
Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

potencia de una multplicacion

Ejemplo de potencia de una multiplicación

Ejemplo:
\((5*2)^3=\)
Podremos ver que el exponente 3 se aplica sobre toda la expresión incluida dentro de los paréntesis.
Por lo tanto, podremos aplicar a cada uno de los términos manteniendo el signo de multiplicar entre ellos.
Obtendremos:
\(5^3*2^3=\)
\(125*8=1000\)


Si tenemos un ejercicio con una potencia sobre cierta expresión con multiplicación podremos aplicar el exponente a cada uno de los términos por separado.

Veamos algunos ejemplos:

\( (2X)^3 \)

Nos percataremos de que el exponente se aplica a toda la expresión expuesta entre los paréntesis y que entre el 2 y la X existe, de hecho, una operación de multiplicar.

Podremos elevar cada uno de los términos de la expresión al exponente y obtendremos:

\( 2^3\cdot X^3= \)

\( 8\cdot X^3= \)

Multiplicaremos la X por su coeficiente y nos dará:

\( 8X^3 \)


Ahora pasemos a un ejercicio un poco más complicado:

\( (2^2\cdot X^3)^2 \)

Vemos que el exponente 2 se encuentra fuera de los paréntesis, por lo tanto, se aplica a toda la expresión. Los términos de la expresión se multiplican, por lo tanto, se trata de la potencia de una multiplicación.

Bien, ahora podremos aplicar el exponente a cada uno de los términos por separado y no nos olvidaremos de mantener la multiplicación entre ellos.

Recordaremos la siguiente propiedad:

\( (a^n)^k=a^{n\cdot k} \)

Primero multiplicaremos el exponente ubicado fuera de los paréntesis por el exponente de la base 2 y luego, lo haremos por el exponente de la base X.

Nos dará:

\( 2^4\cdot X^6 \)

\( 16\cdot X^6 \)

Ahora multiplicaremos la X por su coeficiente y tendremos:

\( 16X^6 \)


Pasemos a ver otro ejemplo que nos demostrará que no importa cuántos términos incluya el ejercicio, siempre y cuando haya multiplicación entre ellos y siempre que éstos se eleven a cierta potencia ubicada fuera de los paréntesis, en un caso así podremos aplicar la potencia a cada uno de los términos por separado y mantener la operación de multiplicación entre ellos.

\( (2^2X\cdot X^5\cdot X^2\cdot2\cdot5)^3 \)

Recomendación::

Antes de aplicar la potencia ubicada fuera de los paréntesis a cada uno de los términos por separado observa cuidadosamente el ejercicio.

Si lo miras bien y conoces a fondo las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes, en seguida verás que, puedes primeramente actuar dentro de los paréntesis haciendo uso de la propiedad de multiplicación de potencias de igual base para simplificar la expresión.

Recordemos que, cuando tenemos una operación de multiplicar entre bases iguales podemos sumar los exponentes y obtener una sola base con un solo exponente.

Si no hay exponente significa que el exponente es uno y es importante que recordemos sumarlo.

Al observar el ejercicio descubriremos que hay algunas bases iguales: 2 y X.

Ya que la operación entre todos los términos es de multiplicar podremos sumar los exponentes pertinentes y de este modo llegaremos a:

\( (2^3\cdot X^8\cdot5)^3= \)


Ahora, con una expresión ya abreviada entre los paréntesis, nos resultará más fácil y rápido aplicar la potencia ubicada fuera de los paréntesis a cada uno de los términos.

Lo haremos y obtendremos:

\( 2^9\cdot X^{24}\cdot5^3= \)

Podemos seguir resolviendo y llegaremos a:

\( 512\cdot X^{24}\cdot125= \)

\( 64,000\cdot X^{24}= \)

Multipliquemos la X por su coeficiente y nos dará:

\( 64,000X^{24}= \)


Ejercicios con la potencia de una multiplicación

\( (2\times5)^3= \)

\( (1\times2)^3= \)

\( (3\times3)^3= \)

\( (2\times2)^2= \)

\( (7\times4)^2= \)


\( \left(3^2X\times X^5\times X^3\right)^3= \)

\( \left(5^2X\times X^2\times X^2\right)^2= \)

\( \left(8^2X\times X^2\times X^25\times3X\right)^3= \)

\( \left(2^4\times5X^2\times X37\times3X\right)^3= \)

\( \left(2^4\times5X^2\times X\times8\times X^2\right)^3= \)