División de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Cuando encontremos ejercicios o expresiones con términos que tienen la misma base y entre ellos el signo de dividir o raya fraccionaria, podremos restar los exponentes.
Restaremos el exponente en el denominador del exponente en el numerador.
Es decir:
«exponente del denominador - exponente del numerador» = nuevo exponente
Convertiremos el resultado obtenido en el nuevo exponente y lo aplicaremos a la base original.

Fórmula de la propiedad:

\(\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)} \)

Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Division de potencias con bases iguales 1

Ejemplo:
\(\frac{5^4}{5^2}=\)
Ya que las bases son iguales podemos restar los exponentes.
Restaremos el exponente en el denominador del exponente en el numerador
y aplicaremos el nuevo exponente (resultado de la resta) a la base:

\(5^{4-2}= \)
\(5^2=25\)

Ejercicio 1

Cuando descubramos un ejercicio con división o fracción que tengan la misma base

restaremos del exponente en el denominador el exponente en el numerador y obtendremos una base con un exponente sin fracción.

Veamos algunos ejemplos:

\( \frac{(-5)^6}{(-5)^2}= \)

Ejercicio 2

Veamos un común y sencillo ejercicio. No permitas que el signo - en la base 5 te confunda.

Simplemente resta los exponentes tal como lo indica la propiedad que acabamos de estudiar: Exponente del numerador menos el exponente del denominador, así obtendrás la base -5 con un nuevo exponente.

Nos dará:

\( (-5)^{4}=625 \)

Ejercicio 3

Pasemos a un ejemplo un poco más complicado en el que también deberemos hacer uso de la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

\( \frac{12\cdot x^{^2}\cdot x^4}{4\cdot x^3}= \)

Que no cunda el pánico. Simplemente procederemos según las propiedades que hemos aprendido.

Primeramente, pondremos atención al numerador. Nos percataremos de que hay bases iguales X entre las que se encuentra el signo de multiplicar. Podremos sumar los exponentes y obtener:

\( \frac{12\cdot x^{^6}}{4\cdot x^3}= \)

Ahora, nos daremos cuenta de que podemos dividir 12 por 4. Además, haremos uso de la propiedad División de potencias de igual base y restaremos el exponente del numerador del exponente del denominador ya que tenemos una misma base X.

Lo haremos y obtendremos:

\( 3\cdot x^3 \)

Multiplicaremos la X por su coeficiente y nos dará:

\( 3x^3 \)

Veamos otro ejemplo:

Ejercicio 3

\( \frac{4^3\cdot2^8\cdot4^5}{2\cdot4^22^3}= \)

Sin la ayuda de la calculadora podremos desentrañar el ejercicio muy rápidamente y llegar al resultado correcto.

Comenzaremos observando el numerador. Vemos que tenemos dos bases iguales - 4 y, entre ellas el signo de multiplicar.

Por consiguiente, podremos sumar los exponentes de igual base y obtener:

\( \frac{4^8\cdot2^8}{2\cdot4^22^3}= \)

Ahora miraremos al denominador. Nos percataremos de que hay bases iguales - 2 y, entre ellas el signo de multiplicar. Podremos sumar los exponentes y obtener:

\( \frac{4^8\cdot2^8}{2^4\cdot4^2}= \)

Recordemos que, cuando no hay ningún exponente eso significa que la base está elevada a la potencia de 1 y no nos olvidaremos de sumarlo.

Finalmente podremos aprovechar la propiedad que trata de la división de potencias de igual base.

Veremos que tenemos base 4 tanto en el numerador como en el denominador. Por consiguiente, podremos restar el exponente del numerador del exponente del denominador de la misma base.

A parte, pasa lo mismo con la base 2, existe en el numerador y en el denominador. Restaremos el exponente del numerador del exponente del denominador de la base 2 y obtendremos:

\( 4^6\cdot2^4= \)

Nos deshicimos de la fracción y ahora tenemos un ejercicio sencillo y encantador.

Si bien puedes resolverlo así, podrás utilizar nuevamente las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes si desarmas la base 4 en el número natural 2.

Expresaremos el 4 como \( 2^2 \) y obtendremos:

\( (2^2)^8\cdot2^4= \)

Ahora podemos multiplicar la potencia que se encuentra dentro de los paréntesis por la que está fuera de ellos, lo que nos dará:

\( 2^{16}\cdot2^4= \)

Ahora podremos sumar los exponentes de igual base - 2 ya que entre ellos hay signos de multiplicar, obtendremos:

\( 2^{20}=1,048,576 \)

Recomendación:

Si tienes un ejercicio de división en el que hay una base en el numerador y otra diferente en el denominador, intenta hacer alguna operación para igualar ambas bases, luego podrás proceder según la propiedad de división de potencias de igual base.