Cuando encontremos ejercicios o expresiones con términos que tienen la misma base y entre ellos el signo de dividir o raya fraccionaria, podremos restar los exponentes. Restaremos el exponente en el denominador del exponente en el numerador. Es decir: «exponente del denominador - exponente del numerador» = nuevo exponente El resultado obtenido de la resta es el nuevo exponente y lo aplicaremos a la base original.
5254= Ya que las bases son iguales podemos restar los exponentes. Restaremos el exponente en el denominador del exponente en el numerador y aplicaremos el nuevo exponente (resultado de la resta) a la base:
54−2= 52=
25
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Cuando tengamos una división de exponentes de igual base, recordemos que debemos restarle al exponente del numerador el exponente del denominador.
(−5)2(−5)6=
No permitas que el signo negativo en la base te confunda.
Simplemente resta los exponentes tal como lo indica la propiedad que acabamos de estudiar: Exponente del numerador menos el exponente del denominador, así obtendrás la base −5 con un nuevo exponente.
Que no cunda el pánico. Simplemente procederemos según las propiedades que hemos aprendido.
Primeramente, pondremos atención al numerador. Nos percataremos de que hay bases iguales X entre las que se encuentra el signo de multiplicar.
Podremos sumar los exponentes y obtener:
4⋅x312⋅x6=
Ahora, nos daremos cuenta de que podemos dividir 12 por 4. Además, haremos uso de la propiedad División de potencias de igual base y restaremos el exponente del numerador del exponente del denominador ya que tenemos una misma base X.
Lo haremos y obtendremos:
3⋅x3
Multiplicaremos laX por su coeficiente y nos dará:
Sin la ayuda de la calculadora podremos desentrañar el ejercicio muy rápidamente y llegar al resultado correcto.
Comenzaremos observando el numerador. Vemos que tenemos dos bases iguales (4) y, entre ellas, el signo de multiplicar.
Por consiguiente, podremos sumar los exponentes de igual base y obtener:
2⋅422348⋅28=
Ahora miraremos al denominador. Nos percataremos de que hay bases iguales (2) y, entre ellas, el signo de multiplicar. Podremos sumar los exponentes y obtener:
24⋅4248⋅28=
Recordemos que, cuando no hay ningún exponente eso significa que la base está elevada a la potencia de 1 y no nos olvidaremos de sumarlo.
Finalmente podremos aprovechar la propiedad que trata de la división de potencias de igual base.
Veremos que tenemos base 4 tanto en el numerador como en el denominador. Por consiguiente, podremos restar el exponente del numerador del exponente del denominador de la misma base.
A parte, pasa lo mismo con la base 2, existe en el numerador y en el denominador. Restaremos el exponente del numerador del exponente del denominador de la base 2 y obtendremos:
46⋅24=
Nos deshicimos de la fracción y ahora tenemos un ejercicio sencillo y encantador.
Si bien puedes resolverlo así, podrás utilizar nuevamente las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes si desarmas la base 4 en el número natural 2.
Expresaremos el4 como22 y obtendremos:
(22)6⋅24=
Ahora podemos multiplicar la potencia que se encuentra dentro de los paréntesis por la que está fuera de ellos, lo que nos dará:
212⋅24=
Ahora podremos sumar los exponentes de igual base - 2 ya que entre ellos hay signos de multiplicar, obtendremos:
216=65,536
Recomendación:
Si tienes un ejercicio de división en el que hay una base en el numerador y otra diferente en el denominador, intenta hacer alguna operación para igualar ambas bases, luego podrás proceder según la propiedad de división de potencias de igual base.
Ejercicio 5
X6X71=
En principio observaremos a la fracción en el denominador del ejercicio.
También aquí se emplean dos leyes, en primer lugar la ley del cociente de potencias, según la cual se hace
x6x7=x(7−6)=x1=x
Ahora, nos queda la fracción
x1
Sabemos que esta forma también se puede convertir a través de la propiedad de evaluación de una potencia negativa, por lo que también podemos escribir:
x1=x−1
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Ejercicios de división de potencias de igual base y distinto exponente
Ejercicio 1
Resuelve el siguiente ejercicio:
2324=
Solución:
Según la ley de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base que se dividen entre sí, las potencias se pueden restar.
Por lo tanto:4−3=1
Respuesta
21=2
Ejercicio 2
3281=
Solución:
De acuerdo con la ley de potencias, cuando hay dos potencias con las mismas bases que se dividan entre sí, se podrán restar las potencias. En este ejercicio, debemos identificar en el primer paso que el número \ (81 \) se puede descomponer en forma de potencia, que es 34.
De acuerdo con la propiedad de potencias, cuando nos encontramos con una expresión en la que el valor de la potencia aparece en todo el producto o en todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de multiplicación entre los miembros (usando paréntesis en toda la expresión), podemos tomar el valor de la potencia y aplicarlo a cada producto
Es decir, cada uno de los productos se potencian.
Por lo tanto 4a9a11a
Respuesta:
4a9a11a
Ejercicio 4
(x2×3)2=
Solución:
En esta consigna hay uso de dos leyes, tanto la multiplicación de potencias como la potencia de una potencia. Cada uno de los productos entre paréntesis recibe la potencia externa, ya que tienen bases diferentes y una operación de multiplicación entre ellos. La potencia dentro del paréntesis se multiplica por la potencia fuera de él, según la ley de una potencia de una potencia
De acuerdo con la ley de potencias, cuando nos encontramos con una expresión en la que el valor de la potencia aparece en todo el producto o en todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de multiplicación entre los productos (usando paréntesis en toda la expresión), podemos tomar el valor de la potencia y aplicarlo a cada producto.
Es decir, cada uno de los productos se potencian.
Puede continuar resolviendo el ejercicio por completo -
42=16
72=49
32=9
Respuesta:
16×49×9=7056
Ejercicio 6
(2×3×7×9)ab+3
Solución:
Aun cuando el coeficiente de la potencia sea un ejercicio compuesto por varios productos, no modifica la propiedad. Cada uno de los productos entre paréntesis, siempre que exista una operación de multiplicación entre ellos, recibe por sí mismo el coeficiente de potencia.
Es importante recordar que incluso cuando se trata de propiedades de potencias, el orden de las operaciones aritméticas sigue existiendo. Por lo tanto, es posible (y correcto) duplicar los productos entre paréntesis antes de otorgarles la potencia.
Usando la fórmula:
(a×b×c)n=5n×bn×cn
Pondremos los números en la fórmula.
(5×X×3)3=53×X3×33
Respuesta:
53×X3×33
Preguntas de repaso
¿Cómo se realiza la división de potencias de igual base?
Cuando tenemos una división de potencias con la misma base, debemos restar el exponente del denominador, del exponente del numerador. El resultado de esta resta será la nueva potencia y la base se mantiene.
¿Cómo dividir potencias de igual base y distinto exponente?
Al exponente del numerador, le restamos el exponente del denominador. Se coloca el resultado de la resta como exponente de la base común.
¿Qué pasa cuando la base y el exponente son iguales?
Es un caso particular de la potencia, en la que multiplicamos la base X por sí misma X veces.
Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:
bnbm=bm−nLo aplicamos en el problema:
2324=24−3=21Recordemos que todo número elevado a la 1ª potencia es igual al número mismo, es decir que:
b1=bPor lo tanto en el problema obtenemos:
21=2Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a.
Respuesta
2
Ejercicio #2
3281=
Solución en video
Solución Paso a Paso
Primero reconocemos que 81 es una potencia del número 3, lo que significa que:
34=81Reemplazamos en el problema:
3281=3234Tengamos en cuenta que el numerador y denominador de la fracción tienen términos con la misma base, por lo tanto usamos la propiedad de potencias para dividir entre términos con la misma base:
bnbm=bm−nLo aplicamos en el problema:
3234=34−2=32Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción b.
Respuesta
32
Ejercicio #3
¿Cuál de las cláusulas es igual a la siguiente expresión:
a5:a4 ?
Solución en video
Solución Paso a Paso
Primero, para mantener el orden, escribimos la expresión en forma de fracción:
a4a5Más adelante recordamos la propiedad de potenciación para dividir términos cuyas bases son iguales:
cncm=cm−nAplicamos la propiedad en el problema:
a4a5=a5−4=a1=aCuando en el segundo paso calculamos el resultado de la operación de resta en el exponente y luego usamos el hecho de que cada número en la 1ra potencia es igual al número mismo, significando que:
X1=XObtenemos que: a4a5=aPor lo tanto, la respuesta correcta es A.
Respuesta
a
Ejercicio #4
3235=
Solución Paso a Paso
Usando la regla del cociente para exponentes: anam=am−n. Aquí, tenemos 3235=35−2. Simplifying, we get 33.
Respuesta
33
Ejercicio #5
5456=
Solución Paso a Paso
Usando la regla del cociente para exponentes: anam=am−n.