División de potencias de igual base

División de potencias de igual base

Cuando encontremos ejercicios o expresiones con términos que tienen la misma base y entre ellos el signo de dividir o raya fraccionaria, podremos restar los exponentes.
Restaremos el exponente en el denominador del exponente en el numerador.
Es decir:
«exponente del denominador - exponente del numerador» = nuevo exponente
Convertiremos el resultado obtenido en el nuevo exponente y lo aplicaremos a la base original.

Fórmula de la propiedad:

\(\frac {a^m}{a^n} =a^{(m-n)} \)

Esta propiedad también es concerniente a expresiones algebraicas.

Division de potencias con bases iguales 1

Ejemplo:
\(\frac{5^4}{5^2}=\)
Ya que las bases son iguales podemos restar los exponentes.
Restaremos el exponente en el denominador del exponente en el numerador
y aplicaremos el nuevo exponente (resultado de la resta) a la base:

\(5^{4-2}= \)
\(5^2=25\)

Ejercicio 1

Cuando descubramos un ejercicio con división o fracción que tengan la misma base

restaremos del exponente en el denominador el exponente en el numerador y obtendremos una base con un exponente sin fracción.

Veamos algunos ejemplos:

\( \frac{(-5)^6}{(-5)^2}= \)


Ejercicio 2

Veamos un común y sencillo ejercicio. No permitas que el signo - en la base 5 te confunda.

Simplemente resta los exponentes tal como lo indica la propiedad que acabamos de estudiar: Exponente del numerador menos el exponente del denominador, así obtendrás la base -5 con un nuevo exponente.

Nos dará:

\( (-5)^{4}=625 \)


Ejercicio 3

Pasemos a un ejemplo un poco más complicado en el que también deberemos hacer uso de la propiedad de multiplicación de potencias de igual base.

\( \frac{12\cdot x^{^2}\cdot x^4}{4\cdot x^3}= \)

Que no cunda el pánico. Simplemente procederemos según las propiedades que hemos aprendido.

Primeramente, pondremos atención al numerador. Nos percataremos de que hay bases iguales X entre las que se encuentra el signo de multiplicar. Podremos sumar los exponentes y obtener:

\( \frac{12\cdot x^{^6}}{4\cdot x^3}= \)

Ahora, nos daremos cuenta de que podemos dividir 12 por 4. Además, haremos uso de la propiedad División de potencias de igual base y restaremos el exponente del numerador del exponente del denominador ya que tenemos una misma base X.

Lo haremos y obtendremos:

\( 3\cdot x^3 \)

Multiplicaremos la X por su coeficiente y nos dará:

\( 3x^3 \)


Veamos otro ejemplo:

Ejercicio 3

\( \frac{4^3\cdot2^8\cdot4^5}{2\cdot4^22^3}= \)

Sin la ayuda de la calculadora podremos desentrañar el ejercicio muy rápidamente y llegar al resultado correcto.

Comenzaremos observando el numerador. Vemos que tenemos dos bases iguales (4) y, entre ellas, el signo de multiplicar.

Por consiguiente, podremos sumar los exponentes de igual base y obtener:

\( \frac{4^8\cdot2^8}{2\cdot4^22^3}= \)

Ahora miraremos al denominador. Nos percataremos de que hay bases iguales (2) y, entre ellas, el signo de multiplicar. Podremos sumar los exponentes y obtener:

\( \frac{4^8\cdot2^8}{2^4\cdot4^2}= \)

Recordemos que, cuando no hay ningún exponente eso significa que la base está elevada a la potencia de 1 y no nos olvidaremos de sumarlo.

Finalmente podremos aprovechar la propiedad que trata de la división de potencias de igual base.

Veremos que tenemos base 4 tanto en el numerador como en el denominador. Por consiguiente, podremos restar el exponente del numerador del exponente del denominador de la misma base.

A parte, pasa lo mismo con la base 2, existe en el numerador y en el denominador. Restaremos el exponente del numerador del exponente del denominador de la base 2 y obtendremos:

\( 4^6\cdot2^4= \)

Nos deshicimos de la fracción y ahora tenemos un ejercicio sencillo y encantador.

Si bien puedes resolverlo así, podrás utilizar nuevamente las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes si desarmas la base 4 en el número natural 2.

Expresaremos el 4 como \( 2^2 \) y obtendremos:

\( (2^2)^8\cdot2^4= \)

Ahora podemos multiplicar la potencia que se encuentra dentro de los paréntesis por la que está fuera de ellos, lo que nos dará:

\( 2^{16}\cdot2^4= \)

Ahora podremos sumar los exponentes de igual base - 2 ya que entre ellos hay signos de multiplicar, obtendremos:

\( 2^{20}=1,048,576 \)


Recomendación:

Si tienes un ejercicio de división en el que hay una base en el numerador y otra diferente en el denominador, intenta hacer alguna operación para igualar ambas bases, luego podrás proceder según la propiedad de división de potencias de igual base.


Ejercicios de divisionón de potencias de igual base

Ejercicio 1:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \frac{2^4}{2^3}= \)

Solución:

Según la ley de potencias, cuando hay dos potencias con la misma base que se dividen entre sí, las potencias se pueden restar.

Por lo tanto: \( 4-3=1 \)

Respuesta

\( 2^1=2 \)


Ejercicio 2:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \frac{81}{3^2}= \)

Solución:

De acuerdo con la ley de potencias, cuando hay dos potencias con las mismas bases que se dividan entre sí, se podrán restar las potencias. En este ejercicio, debemos identificar en el primer paso que el número \ (81 \) se puede descomponer en forma de potencia, que es \( 3^4 \).

Respuesta:

\( \frac{3^4}{3^2}=3^2 \)


Ejercicio 3:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \frac{1}{\frac{X^7}{X^6}}= \)

Solución:

En principio observaremos a la fracción en el denominador del ejercicio.

También aquí se emplean dos leyes, en primer lugar la ley del cociente de potencias, según la cual se hace

\( \frac{x^7}{x^6}=x^{(7-6)}=x^1=x \)

Ahora, nos queda la fracción

\( 1\x \)

Sabemos que esta forma también se puede convertir a través de la propiedad de evaluación de una potencia negativa, por lo que también podemos escribir:

Respuesta:

\( \frac{1}{x}=x^{^{-1}} \)


Ejercicio 4:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (4\times9\times11)^a \)

Solución:

De acuerdo con la propiedad de potencias, cuando nos encontramos con una expresión en la que el valor de la potencia aparece en todo el producto o en todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de multiplicación entre los miembros (usando paréntesis en toda la expresión), podemos tomar el valor de la potencia y aplicarlo a cada producto

Es decir, cada uno de los productos se potencian.

Por lo tanto \( 4^a9^a11^a \)

Respuesta:

\( 4^a9^a11^a \)


Ejercicio 5:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (x^2\times3)^2= \)

Solución:

En esta consigna hay uso de dos leyes, tanto la multiplicación de potencias como la potencia de una potencia. Cada uno de los productos entre paréntesis recibe la potencia externa, ya que tienen bases diferentes y una operación de multiplicación entre ellos. La potencia dentro del paréntesis se multiplica por la potencia fuera de él, según la ley de una potencia de una potencia

Por lo tanto:

\( 3^2=9 \)

\( 2^2=4 \)

Respuesta:

\( 9x^4 \)


Ejercicio 6:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (4\times7\times3)^2= \)

Solución:

De acuerdo con la ley de potencias, cuando nos encontramos con una expresión en la que el valor de la potencia aparece en todo el producto o en todo el ejercicio en el que solo hay operaciones de multiplicación entre los productos (usando paréntesis en toda la expresión), podemos tomar el valor de la potencia y aplicarlo a cada producto.

Es decir, cada uno de los productos se potencian.

Puede continuar resolviendo el ejercicio por completo -

\( 4^2=16 \)

\( 7^2=49 \)

\( 3^2=9 \)

Respuesta:

\( 16\times49\times9=7056 \)


Ejercicio 7:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( (2\times3\times7\times9)^{ab+3} \)

Solución:

Aun cuando el coeficiente de la potencia sea un ejercicio compuesto por varios productos, no modifica la propiedad. Cada uno de los productos entre paréntesis, siempre que exista una operación de multiplicación entre ellos, recibe por sí mismo el coeficiente de potencia.

Respuesta:

\( 2^{ab+3}3^{ab+3}7^{ab+3}9^{ab+3} \)


Ejercicio 8:

Tarea:

Resuelve el siguiente ejercicio:

\( \left(5\times X\times3\right)^3= \)

Solución:

Es importante recordar que incluso cuando se trata de propiedades de potencias, el orden de las operaciones aritméticas sigue existiendo. Por lo tanto, es posible (y correcto) duplicar los productos entre paréntesis antes de otorgarles la potencia.

Usando la fórmula:

\( \left(a\times b\times c\right)^n=5^n\times b^n\times c^n \)

Pondremos los números en la fórmula.

\( \left(5\times X\times3\right)^3=5^3\times X^3\times3^3 \)

Respuesta:

\( 5^3\times X^3\times3^3 \)