Ejemplos, ejercicios y soluciones de área de un triángulo

Dado el triángulo ABC.
AC = 10 cm, AD = 3 cm, BC = 11.6 cm
¿Cuál es el área del triángulo?

El triángulo que estamos viendo es el triángulo grande - ABC

El triángulo está formado por tres lados AB, BC y CA.

Ahora recordemos lo que necesitamos para el cálculo de un área triangular:

(lado x la altura que desciende del lado)/2

Por lo tanto, lo primero que debemos encontrar es una altura y un lado adecuados.

Se nos da el AC lateral, pero no hay altura que desciende, por lo que no nos sirve.

El lado AB no está dado,

Y así nos quedamos con el lado BC, que está dado.

Por el lado BC desciende la altura AD (los dos forman un ángulo de 90 grados).

Se puede argumentar que BC es también una altura, pero si profundizamos parece que CD puede ser una altura en el triángulo ADC,

y BD es una altura en el triángulo ADB (ambos son los lados de un triángulo rectángulo, por lo tanto son la altura y el lado).

Como no sabemos si el triángulo es isósceles o no, tampoco es posible saber si CD=DB, o cuál es su razón, y esta teoría falla.

Recordemos nuevamente la fórmula del área triangular y reemplacemos los datos que tenemos en la fórmula:

(lado* la altura que desciende del lado)/2

Ahora reemplazamos los datos existentes en esta fórmula:

$\frac{CB\times AD}{2}$

$\frac{11.6\times3}{2}$

$\frac{34.8}{2}=17.4$

17.4

Calcula el área del triángulo siguiente:

La fórmula de cálculo del área triangular es:

(el lado * la altura del lado que desciende al lado) /2

Es decir:

$\frac{BC\times AE}{2}$

Ahora reemplazamos los datos existentes:

$\frac{4\times5}{2}=\frac{20}{2}=10$

10

Calcula el área del triángulo ABC mediante los datos del dibujo:

En primer lugar, recordemos la fórmula para el área de un triángulo:

(el lado * la altura del desciende al lado) /2

En la pregunta tenemos tres datos, ¡pero uno de ellos es redundante!

Solo tenemos una altura, la línea que forma un ángulo de 90 grados - AD,

El lado al que desciende la altura es CB,

Por lo tanto, podemos usarlos en nuestro cálculo:

$\frac{CB\times AD}{2}$

$\frac{8\times9}{2}=\frac{72}{2}=36$

36 cm²

Frente a ti hay un triángulo rectángulo, calcula su área

Como vemos que AB es perpendicular a BC y forma un ángulo de 90 grados

Se puede argumentar que AB es la altura del triángulo.

Entonces podemos calcular el área de la siguiente manera:

$\frac{AB\times BC}{2}=\frac{8\times6}{2}=\frac{48}{2}=24$

24 cm²

¿Cuáles de los siguientes triángulos tienen el mismo área?

Calculamos el área del triángulo ABC:

$\frac{12\times5}{2}=\frac{60}{2}=30$

Calculamos el área del triángulo EFG:

$\frac{6\times10}{2}=\frac{60}{2}=30$

Calculamos el área del triángulo JIK:

$\frac{6\times5}{2}=\frac{30}{2}=15$

Se puede ver que después del cálculo, las áreas de los triángulos semejantes son ABC y EFG

EFG, ABC

El área del triángulo ABC es 20 cm²

El largo de la altura AD=8

Calcula la longitud del lado BC

Podemos presentar los datos en la fórmula para calcular el área del triángulo:

$S=\frac{AD\times BC}{2}$

$20=\frac{8\times BC}{2}$

Multiplicación cruzada:

$40=8BC$

Divide ambos lados por 8:

$\frac{40}{8}=\frac{8BC}{8}$

$BC=5$

5 cm

Dado el triángulo PRS

El largo del lado SR es 4 cm

El área del triángulo PSR es 30 cm²

Calcula la altura PQ

Utilizamos la fórmula para calcular el área del triángulo.

Presta atención: ¡en el triángulo obtusángulo, su altura se encuentra por fuera del triángulo!

$$$\frac{Lado\cdot\text{Altura}}{2}=Área~del~triangulo$

Duplicar la ecuación por un denominador común.

$\frac{4\cdot PQ}{2}=30$

$\cdot2$

Divide la ecuación por el coeficiente de $PQ$.

$4PQ=60$ / $:4$

$PQ=15$

15 cm

triángulo ABC es rectángulo

El área del triángulo es 6 cm²

Calcula a X y el largo del lado BC

Utilizamos la fórmula para calcular el área del triángulo rectángulo:

$\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{cateto\times cateto}{2}$

Y compara la expresión con el área del triángulo $6$

$\frac{4\cdot(X-1)}{2}=6$

Duplicar la ecuación por el denominador común significa que multiplicamos por $2$

$4(X-1)=12$

Abrimos los paréntesis antes de la propiedad distributiva

$4X-4=12$ / $+4$

$4X=16$ / $:4$

$X=4$

Reemplazamos \( X=4 \) en la expresión $BC$ y

encontramos:

$BC=X-1=4-1=3$

X=4 BC=3

Calcule el área del triángulo ABC:

Dado que: Perímetro=26

Recuerda que el perímetro de un triángulo es igual a la suma de todos los lados juntos,

Ahora halla el lado BC:

$26=9+7+BC$

$26=16+BC$

Pasamos el 16 hacia la sección izquierda y mantenemos el signo correspondiente:

$26-16=BC$

$10=BC$

Usamos la fórmula para calcular el área de un triángulo:

(el lado * la altura) /2

Es decir:

$\frac{BC\times AE}{2}$

Reemplazamos los datos existentes:

$\frac{10\times6}{2}=\frac{60}{2}=30$

30

Dado el triángulo ABC cuyo perímetro es 42 cm

AD=12 AC=15 AB=13

Calcule el área del triángulo ABC

Dado que el perímetro del triángulo ABC es 42.

Usaremos este dato para hallar el lado CB:

$13+15+CB=42$

$CB+28=42$

$CB=42-28=14$

Ahora podemos calcular el área del triángulo ABC:

$\frac{AD\times BC}{2}=\frac{12\times14}{2}=\frac{168}{2}=84$

84 cm²

Dado un triángulo rectángulo ABD cuyo perímetro es 36 cm

Dado: AB=15 AC=13 DC=5 CB=4

Calcule el área del triángulo ABD

De acuerdo a los datos:

$BD=4+5=9$

Ahora que nos dan el perímetro del triángulo ABD podemos hallar el lado que falta AD:

$AD+15+9=36$

$AD+24=36$

$AD=36-24=12$

Ahora podemos calcular el área del triángulo ABD:

$\frac{AD\times BD}{2}=\frac{12\times9}{2}=\frac{108}{2}=54$

54 cm²

Dado el triángulo ABC

AD=6 CE=3 CB=5

¿Cuál debería ser la longitud de AB de modo que el área de un triángulo ABC sea compatible con el resto de datos del dibujo?

Dado que AD es perpendicular a CB

Por lo tanto AD es la altura en el triángulo ADB

Área del triángulo ABC=

$\frac{AD\times CB}{2}$

Reemplazamos los datos existentes en la fórmula:

$\frac{6\times5}{2}=\frac{30}{2}=15$

Como CE también es una altura, podemos calcular el área del triángulo ABC de la siguiente manera:

$\frac{CE\times AB}{2}$

Puesto que hallamos el área del triángulo ABC, reemplazaremos los datos en la fórmula:

$15=\frac{3\times AB}{2}$

Multiplicamos en cruce:

$30=3AB$

Dividimos ambos lados por 3:

$\frac{30}{3}=\frac{3AB}{3}$

$AB=10$

10 cm

El perímetro del triángulo ABD es 36 cm

Dado en cm: AB=15 AC=13 DC=5 CB=4

Calcule el área del triángulo ADC

Usamos el dato del perímetro del triángulo, con la ayuda del cual primero encontraremos el lado AD calculando la suma de todos los lados del triángulo:

$AD+9+15=36$

$AD+24=36$

$AD=36-24=12$

Ahora que sabemos que AD es igual a 12, notaremos que AD también es altura de BD ya que forma un ángulo de 90 grados.

Si AD es la altura de BD, también lo es de DC.

Ahora calculamos el área del triángulo ADC:

$\frac{AD\times DC}{2}$

$\frac{12\times5}{2}=\frac{60}{2}=30$

30 cm²

Triángulo ABC es un triángulo isósceles AB=AC

AD es la altura del lado BC

Dado DC=10

El largo de la altura AD es mayor por 20% que el largo del lado BC.

Calcule el área del triángulo ABC

Dado que es un triángulo isósceles, y por lo tanto mediana, y por eso $DC=10$ entonces $BC=20$.

La altura $AD$ es mayor en $20$ que el largo de $BC$.

Es decir:

$AD=1.2\cdot BC$

$\frac{100}{100}+\frac{20}{100}=\frac{120}{100}=1.2$

$AD=1.2\cdot20=24$

De aquí, el área del triángulo $ΔABC$:

$AΔ\text{ABC}=\frac{AD\cdot BC}{2}=\frac{24\cdot20}{2}=\frac{480}{2}=240$

240 cm²

En el jardín del hotel quieren construir una piscina especial en forma de triángulo.

El largo de la piscina 10 metros y su ancho 8 metros.

La piscina está cubierta con baldosas. La longitud de cada mosaico es 2 metros y su ancho es 2 metros

¿Cuántas baldosas necesita para cubrir el área de la piscina?

Para saber cuántas baldosas se necesitan calcularemos el área triangular y el área de cada baldosa y luego dividiremos.

$\frac{\text{A.triángulo}}{A.baldosa}$

El resultado es igual a la cantidad de baldosas que se necesitan.

En un triángulo su largo es igual a su altura y su ancho es igual a la base del triángulo

$\text{A.triangulo=}\frac{10\cdot8}{2}=40$

Dado=h=largo=$10$ metros

Dado=base=ancho=$8$ metros

Dado que el largo son $2$ metros

El ancho: \( 2 \) metros

Área de la baldosa $2\cdot2=4$

$\frac{40}{4}=10$

10 baldosas