Preguntemos: ¿El 64 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 32 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 16 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1. Hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho, obtendremos:
\( 64=2\times2\times2\times2\times2\times2=2^6 \)
Ahora veamos un ejemplo más avanzado de la factorización de números naturales como producto de potencias dentro de un ejercicio:
\( \frac{6^{76}\times8^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)
No te asustes de los altos exponentes ni de que no haya ninguna igualdad de base.
Justamente para eso hemos aprendido a factorizar, o sea, a descomponer cualquier número natural como producto de potencias.
Vayamos término por término y factoricemos tal como lo hemos aprendido.
Después de cada factorización volveremos a anotar el ejercicio para no confundirnos.
Comencemos por:
Preguntemos: ¿El 6 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.
Llegamos al número 1, hemos terminado de factorizar.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:
\( 6=2\times3 \)
Anotémoslo en el ejercicio:
\( \frac{(2\times3)^{76}\times8^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)
Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1, hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:
\( 8=2^3 \)
Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:
\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)
Preguntemos: ¿El 16 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1. Hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:
\( 16=2^4 \)
Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:
\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{(2^4)^{12}\times9^{28}} \)
Sigamos con la factorización del 9:
Preguntemos: ¿El 9 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Sigamos con el número primo que viene después del 2
Preguntemos: ¿El 9 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Sigamos con el número primo que viene después del 2
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:
\( 9=3^2 \)
Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:
\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{(2^4)^{12}\times(3^2)^{28}} \)
¡Muy bien! Hemos terminado de descomponer todos los números naturales como producto de potencias.
Ahora procederemos según las propiedades de las potencias.
Comencemos con el primer término en el numerador, en este caso deberemos aplicar la propiedad de potencia de una multiplicación.
Luego seguiremos con los demás términos donde será adecuada la propiedad de potencia de una potencia.
Apliquemos las propiedades, obtendremos:
\( \frac{2^{76}\times3^{76}\times2^{-6}}{2^{48}\times3^{56}}= \)
¡Genial!
Dime, ¿también a ti te molesta ver la potencia negativa en el numerador con base 2?
Perfecto, ya que éste es nuestro siguiente paso: eliminar el exponente negativo. Claramente lo haremos ubicando la base en el denominador. Obtendremos:
\( \frac{2^{76}\times3^{76}}{2^{48}\times3^{56}\times2^6}= \)
Bien, ahora podemos sumar los exponentes de base 2 en el denominador ya que hay operación de multiplicación entre ellos.
Obtendremos:
\( \frac{2^{76}\times3^{76}}{2^{54}\times3^{56}}= \)
¡Genial! Nuestro próximo paso será, sin duda, utilizar la propiedad de división de potencias de igual base: Resta del exponente del numerador menos el exponente del numerador donde hay igualdad de bases.
Este paso nos aliviará del estorbo de la fracción y nos quedaremos con una expresión mucho más simple y con exponentes reducidos:
Lo haremos y obtendremos:
\( 2^{22}\times3^{20} \)
Ejercicio 1:
Tarea:
Encontrar 3 maneras de escribir el valor del número 8.
Solución:
\( 8=2\times4 \)
\( 8=2³ \)
\( 8=2\times2\times2 \)
Ejercicio 2:
Tarea:
Encontrar 3 maneras de expresar el valor de 64 desde la potencia.
Solución:
\( 8²=64 \)
\( 4³=64 \)
\( 2^6=64 \)
Ejercicio 3:
Tarea:
¿Cómo podrás expresar el número 3125 desde la potencia de 5?
\( 5^5=3125 \)
Solución:
Respuesta:
Ejercicio 4:
Tarea:
\( 9^3=729 \)
Encontrar una manera extra de expresar este número a partir de la potencia.
Respuesta:
\( 3^6=729 \)
Ejercicio 5:
Tarea:
¿Qué número con exponente 5 nos da el siguiente número?
\( X^5=59059 \)
Respuesta:
\( 9^5=59059 \)
Respuesta: \( 9 \)
