Descomposición de números naturales como producto de potencias

¿Qué significa?

Todo número natural que no sea primo se puede descomponer como producto de potencias.
De vez en cuando, para resolver cierto ejercicio de forma simple y correcta, deberemos descomponer los números naturales que tenemos.
La factorización brinda la posibilidad de utilizar los números de una forma más cómoda, por ejemplo, al aprovechar las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes.

Por ejemplo:
El número \(8\) se puede escribir como \(2^3\)
El número \(1176\) se puedes escribir también como \( 2^2\times3\times7^2 \)

¿Cómo se hace?

Escribamos el número que queremos descomponer y tracemos una raya a su lado.
Nos preguntaremos cuál es el factor primo más pequeño por el cual se puede dividir sin que quede resto
(siempre comenzaremos por el 2, si el número no es múltiplo de 2 pasaremos al siguiente).
Si el número se puede dividir sin resto escribiremos el número primo frente a nuestro número original y, debajo de nuestro número, anotaremos el cociente (resultado de la división).
Continuaremos con la factorización hasta que lleguemos al número 1 en la columna izquierda, este número ya no se puede descomponer.
La multiplicación es la de los factores que anotamos en la columna del lado derecho que equivale al número natural que hemos descompuesto.

imagen descomposición de números


Por ejemplo:
Descompongamos el número natural \(64\) como factores primos

Descomposición de número natural 64


Preguntemos: ¿El 64 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 32 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 16 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1. Hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho, obtendremos:
\( 64=2\times2\times2\times2\times2\times2=2^6 \)


Ahora veamos un ejemplo más avanzado de la factorización de números naturales como producto de potencias dentro de un ejercicio:

\( \frac{6^{76}\times8^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)

No te asustes de los altos exponentes ni de que no haya ninguna igualdad de base.

Justamente para eso hemos aprendido a factorizar, o sea, a descomponer cualquier número natural como producto de potencias.

Vayamos término por término y factoricemos tal como lo hemos aprendido.

Después de cada factorización volveremos a anotar el ejercicio para no confundirnos.

Comencemos por:

פירוק האיבר 6

Preguntemos: ¿El 6 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.

Llegamos al número 1, hemos terminado de factorizar.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 6=2\times3 \)


Anotémoslo en el ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times8^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)

האם 8 מתחלק ללא שארית במספר הראשוני הקטן ביותר- 2

Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1, hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 8=2^3 \)

Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)

האם 16 מתחלק ללא שארית במספר הראשוני הקטן ביותר- 2

Preguntemos: ¿El 16 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.

Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.

Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1. Hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 16=2^4 \)

Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{(2^4)^{12}\times9^{28}} \)

Sigamos con la factorización del 9:

האם 9 מתחלק ללא שארית במספר הראשוני הבא - 3

Preguntemos: ¿El 9 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Sigamos con el número primo que viene después del 2
Preguntemos: ¿El 9 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.

Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Sigamos con el número primo que viene después del 2
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 9=3^2 \)

Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{(2^4)^{12}\times(3^2)^{28}} \)

¡Muy bien! Hemos terminado de descomponer todos los números naturales como producto de potencias.

Ahora procederemos según las propiedades de las potencias.

Comencemos con el primer término en el numerador, en este caso deberemos aplicar la propiedad de potencia de una multiplicación.

Luego seguiremos con los demás términos donde será adecuada la propiedad de potencia de una potencia.

Apliquemos las propiedades, obtendremos:

\( \frac{2^{76}\times3^{76}\times2^{-6}}{2^{48}\times3^{56}}= \)

¡Genial!

Dime, ¿también a ti te molesta ver la potencia negativa en el numerador con base 2?

Perfecto, ya que éste es nuestro siguiente paso: eliminar el exponente negativo. Claramente lo haremos ubicando la base en el denominador. Obtendremos:

\( \frac{2^{76}\times3^{76}}{2^{48}\times3^{56}\times2^6}= \)

Bien, ahora podemos sumar los exponentes de base 2 en el denominador ya que hay operación de multiplicación entre ellos.

Obtendremos:

\( \frac{2^{76}\times3^{76}}{2^{54}\times3^{56}}= \)

¡Genial! Nuestro próximo paso será, sin duda, utilizar la propiedad de división de potencias de igual base: Resta del exponente del numerador menos el exponente del numerador donde hay igualdad de bases.

Este paso nos aliviará del estorbo de la fracción y nos quedaremos con una expresión mucho más simple y con exponentes reducidos:

Lo haremos y obtendremos:

\( 2^{22}\times3^{20} \)


Ejercicios de descomposición de números naturales como producto de potencias

Ejercicio 1:

Tarea:

Encontrar 3 maneras de escribir el valor del número 8.

Solución:

\( 8=2\times4 \)

\( 8=2³ \)

\( 8=2\times2\times2 \)


Ejercicio 2:

Tarea:

Encontrar 3 maneras de expresar el valor de 64 desde la potencia.

Solución:

\( 8²=64 \)

\( 4³=64 \)

\( 2^6=64 \)


Ejercicio 3:

Tarea:

¿Cómo podrás expresar el número 3125 desde la potencia de 5?

\( 5^5=3125 \)

Solución:

Respuesta:


Ejercicio 4:

Tarea:

\( 9^3=729 \)

Encontrar una manera extra de expresar este número a partir de la potencia.

Respuesta:

\( 3^6=729 \)


Ejercicio 5:

Tarea:

¿Qué número con exponente 5 nos da el siguiente número?

\( X^5=59059 \)

Respuesta:

\( 9^5=59059 \)

Respuesta: \( 9 \)