Descomposición de números naturales como producto de potencias

¿Qué significa?

Todo número natural que no sea primo se puede descomponer como producto de números primos. A este proceso se le conoce como descomponer números en factores primos.

De vez en cuando, para resolver cierto ejercicio de forma más simple, deberemos descomponer los números naturales que tenemos, y reescribirlos como productos de números primos. Esta factorización brinda la posibilidad de utilizar los números de una forma más cómoda, por ejemplo, al aprovechar las propiedades de las potencias o leyes de los exponentes.

Por ejemplo:
El número \(8\) se puede escribir como \(2^3\)
El número \(1176\) se puedes escribir también como \( 2^2\times3\times7^2 \)

¿Cómo se hace?

Escribamos el número que queremos descomponer y tracemos una raya a su lado.
Nos preguntaremos cuál es el número primo más pequeño por el cual se puede dividir sin que quede resto (residuo cero).

Siempre comenzaremos por el 2, si el número no es múltiplo de 2 pasaremos al siguiente número primo que es 3, y así sucesivamente. Recorremos que los primeros números primos son 2, 3 ,5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.
Si el número se puede dividir sin resto escribiremos el número primo frente a nuestro número original y, debajo de nuestro número, anotaremos el cociente (resultado de la división).

Continuaremos con la factorización hasta que lleguemos al número 1 en la columna izquierda, este número ya no se puede descomponer.
El número que queríamos descomponer es igual al producto de todos los números que anotamos en la columna del lado derecho.

imagen descomposición de números


Por ejemplo:
Descompongamos el número natural \(64\) como factores primos

Descomposición de número natural 64


Preguntemos: ¿El 64 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 32 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 16 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1. Hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho, obtendremos:
\( 64=2\times2\times2\times2\times2\times2=2^6 \)


Ahora veamos un ejemplo más avanzado de la factorización de números naturales como producto de potencias dentro de un ejercicio:

\( \frac{6^{76}\times8^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)

No te asustes de los altos exponentes ni de que no haya ninguna igualdad de base.

Justamente para eso hemos aprendido a factorizar, o sea, a descomponer cualquier número natural como producto de potencias.

Vayamos término por término y factoricemos tal como lo hemos aprendido.

Después de cada factorización volveremos a anotar el ejercicio para no confundirnos.

Comencemos por:

פירוק האיבר 6

Preguntemos: ¿El 6 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.

Llegamos al número 1, hemos terminado de factorizar.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 6=2\times3 \)


Anotémoslo en el ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times8^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)

האם 8 מתחלק ללא שארית במספר הראשוני הקטן ביותר- 2

Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1, hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 8=2^3 \)

Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{16^{12}\times9^{28}}= \)

האם 16 מתחלק ללא שארית במספר הראשוני הקטן ביותר- 2

Preguntemos: ¿El 16 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.

Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.

Preguntemos: ¿El 8 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 4 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Preguntemos: ¿El 2 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 2 y también el resultado.
Llegamos al 1. Hemos terminado de descomponer.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 16=2^4 \)

Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{(2^4)^{12}\times9^{28}} \)

Sigamos con la factorización del 9:

האם 9 מתחלק ללא שארית במספר הראשוני הבא - 3

Preguntemos: ¿El 9 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Sigamos con el número primo que viene después del 2
Preguntemos: ¿El 9 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.

Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por 2, el número primo más pequeño?
La respuesta es no.
Sigamos con el número primo que viene después del 2
Preguntemos: ¿El 3 se puede dividir, sin dejar resto, por el siguiente número primo, o sea el 3?
La respuesta es sí.
Agreguemos a nuestra ilustración el 3 y también el resultado.
Ahora multipliquemos todos los factores que anotamos en la columna del lado derecho y obtendremos:

\( 9=3^2 \)

Ahora actualizaremos nuestro ejercicio:

\( \frac{(2\times3)^{76}\times(2^3)^{-2}}{(2^4)^{12}\times(3^2)^{28}} \)

¡Muy bien! Hemos terminado de descomponer todos los números naturales como producto de potencias de números primos.

Ahora procederemos según las propiedades de las potencias.

Comencemos con el primer término en el numerador, en este caso deberemos aplicar la propiedad de potencia de una multiplicación.

Luego seguiremos con los demás términos donde será adecuada la propiedad de potencia de una potencia o potencia de potencia.

Apliquemos las propiedades, obtendremos:

\( \frac{2^{76}\times3^{76}\times2^{-6}}{2^{48}\times3^{56}}= \)

¡Genial!

Dime, ¿también a ti te molesta ver la potencia negativa en el numerador con base 2?

Perfecto, ya que éste es nuestro siguiente paso: eliminar el exponente negativo. Claramente lo haremos ubicando la base en el denominador. Obtendremos:

\( \frac{2^{76}\times3^{76}}{2^{48}\times3^{56}\times2^6}= \)

Bien, ahora podemos aplicar en el denominador la ley del producto de potencia de igual base y sumar los exponentes de base 2.

Obtendremos:

\( \frac{2^{76}\times3^{76}}{2^{54}\times3^{56}}= \)

¡Genial! Nuestro próximo paso será, sin duda, utilizar la propiedad de cociente de potencias de igual base: Resta del exponente del numerador menos el exponente del numerador donde hay igualdad de bases.

Este paso nos aliviará del estorbo de la fracción y nos quedaremos con una expresión mucho más simple y con exponentes reducidos:

Lo haremos y obtendremos:

\( 2^{22}\times3^{20} \)

Observa como descomponer en factores primos los números naturales en conjunto con las leyes o propiedades de los exponentes ayudan a resolver ejercicios de una manera muy sencilla.

Ejercicios de descomposición de números naturales como producto de potencias

Ejercicio 1:

Encontrar 3 maneras de escribir el valor del número 8.

Solución:

\( 8=2\times4 \)

\( 8=2³ \)

\( 8=2\times2\times2 \)


Ejercicio 2:

Encontrar 3 maneras de expresar el valor de 64 desde la potencia.

Solución:

\( 8²=64 \)

\( 4³=64 \)

\( 2^6=64 \)


Ejercicio 3:

¿Cómo podrás expresar el número 3125 desde la potencia de 5?

\( 5^5=3125 \)

Solución:

Respuesta:


Ejercicio 4:

Encontrar una manera extra de expresar este número a partir de la potencia.

\( 9^3=729 \)

Respuesta:

\( 3^6=729 \)


Ejercicio 5:

¿Qué número con exponente 5 nos da el siguiente número?

\( X^5=59059 \)

Respuesta:

\( 9^5=59059 \)

Respuesta: \( 9 \)


Preguntas de repaso

¿Qué significa descomponer un número en factores?

Es cuando representamos un número como producto de otros. Por ejemplo:

  • \(24=2\times12 \)
  • \(24=3\times8 \)
  • \(24=4\times6 \)
  • \(24=2\times2\times2\times3 \)

¿Cómo descomponer un número en factores en factores?

Para descomponer un número en factores debemos realizar divisiones sucesivas hasta que el cociente sea uno, para esto colocamos nuestro número y a lado derecho una barra vertical, buscamos un divisor y lo colocamos de lado derecho, el cociente de lado izquierdo y repetimos el proceso ahora buscando un divisor del cociente obtenido previamente, hasta que obtengamos un uno de lado izquierdo. Nuestro número inicial se puede escribir como producto de todos los divisores colocados de lado derecho de la linea vertical.


¿Cómo se descompone un número en factores primos?

Para descomponer un número en factores primos, colocamos el número y una linea vertical a su derecha. Buscamos el menor divisor primo de nuestro número y lo colocamos de lado derecho de la linea vertical, el cociente lo anotamos de lado izquierdo, justo debajo del número que queremos descomponer. Repetimos el proceso ahora buscando el menor divisor primo del cociente obtenido previamente y seguimos así hasta que obtengamos un cociente \( 1 \).