Ecuaciónes de primer grado con una incógnita

¿Qué es una ecuación con una incógnita?

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que contienen números e incógnitas. Es importante saber diferenciar estos dos grupos: los números son valores fijos mientras que las incógnitas, como su nombre lo indica, representan valores desconocidos (al menos al principio), y en la mayoría de los casos se nos pide que encontremos cual es este valor.

¿Qué hacemos con las ecuaciones?

Cuando se nos da un ejercicio que contiene una ecuación con una incógnita, nuestro objetivo es resolver la ecuación, es decir, encontrar una solución a la ecuación. ¿Qué significa encontrar la solución de una ecuación? La idea es encontrar el valor de la incógnita con el objetivo de que ambos lados de la ecuación sean iguales.

Cuando tenemos ecuaciones que tienen la misma solución, estas serán denominadas ecuaciones equivalentes

Cuando las ecuaciones de primer grado incluyen fracciones, y la incógnita se encuentra en el denominador, es importante tener en cuenta el dominio de la función

Principios y métodos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita

Ejemplos y ejecricios

Ejercicio 1:

Resuelve la siguiente ecuación:

\( 12\left(2X-3\right)=-4\left(3-4X\right) \)

Solución:

Para resolver la ecuación, en primer lugar eliminamos los paréntesis y obtendremos:

\( 24X-36=-12+16X \)

A continuación agruparemos los términos semejantes, de modo que del lado izquierdo de la ecuación aparezcan todas las incógnitas, mientras que del lado derecho de la ecuación aparezcan los números. Recuerda, que al transponer los términos de un lado a otro de la ecuación, cambiará su signo. Es decir, que si está sumando, pasará hacia el otro lado restando, y viceversa.

\( 24X-16X=-12+36 \)

Luego reducimos los términos semejantes:

\( 8X=24 \)

Ahora, para encontrar el valor de la incógnita, dividimos ambos lados de la ecuación entre 8 y obtendremos:

\( 8X=24 \) /\( 8 \)

\( X=3 \)

\( X=3 \) es la solución de la ecuación.

Respuesta: 

\( X=3 \)


Ejercicio 2:

Resuelve la siguiente ecuación:

\( 8\left(2-5X\right)-12\left(1-X\right)=0 \)

Para resolver esta ecuación, en primer lugar eliminaremos los paréntesis, obteniendo:

\( 16-40X-12+12X=0 \)

A continuación agruparemos los términos semejantes, de modo que del lado izquierdo de la ecuación aparezcan todas las incógnitas, mientras que del lado derecho de la ecuación aparecerán los números. Recuerda, que al transponer los términos de un lado a otro de la ecuación, cambiará su signo.

\( -40X+12X=12-16 \)

El siguiente paso será reducir los términos semejantes:

\( -28X=-4 \)

Ahora, para encontrar el valor de la incógnita, dividimos los dos lados de la ecuación entre (-28) y obtendremos:

\( -28X=-4 \) / \( -28 \)

\( X=\frac{4}{28}=\frac{1}{7} \)

Respuesta: 

\( X=\frac{1}{7} \)


Ejercicio 3:

Resuelve la siguiente ecuación:

\( -6\left(-X-1\right)+10\left(2-X\right)=16 \)

Para resolver la ecuación, en primer lugar eliminamos los paréntesis y obtendremos:

\( 6X+6+20-10X=16 \)

A continuación agruparemos los términos semejantes, de modo que del lado izquierdo de la ecuación aparezcan todas las incógnitas, mientras que del lado derecho de la ecuación aparezcan los números. Recuerda, que al transponer los términos de un lado a otro de la ecuación, cambiará su signo. Es decir, que si está sumando, pasará hacia el otro lado restando, y viceversa.

\( 6X-10X=16-6-20 \)

El siguiente paso será reducir los términos semejantes:

\( -4X=-10 \)

Ahora, para encontrar el valor de la incógnita, dividimos ambos lados de la ecuación entre (-4), y obtendremos:

\( -4X=-\frac{10}{-4} \)

\( X=\frac{10}{4}=2.5 \)

Respuesta:

\( X=2.5 \)


Ejercicio 4:

Consigna

Resolver la ecuación

\(3\frac{1}{2}\cdot y=21\)

Solución

Dividir por \( -3\frac{1}{2} \) para simplificar

\( 3\frac{1}{2}:3\frac{1}{2}=1 \)

\( 21:3\frac{1}{2}=6 \)

\( y=6 \)

Respuesta

\( y=6 \)


Ejercicio 5:

Consigna

Resolver la ecuación

\( 4\frac{1}{3}\cdot x=21\frac{2}{3} \)

Solución

Dividir por \( -4\frac{1}{3} \) para simplificar

\( 4\frac{1}{3}:4\frac{1}{3}=1 \)

\( 12\frac{2}{3}:4\frac{1}{3}=5 \)

\( x=5 \)

Respuesta

\( x=5 \)


Ejercicio 6:

Consigna

\( 3x+4+x+1=9 \)

Solución

Primero ingresamos los elementos parecidos

Primero quienes están con \( x \) y luego números comunes

\( 3x+x+4+1=9 \)

Sumamos en consecuencia

\( 4x+5=9 \)

Pasamos a \( 5 \) al lado derecho

\( 4x=9-5 \)

Resolver el ejercicio de resta

\( 4x=4 \)

Dividir por \( -4 \)

\( x=4:4=1 \)

Respuesta

\( x=1 \)


Ejercicio 7:

Consigna

Rocío está entrenando para una prueba de carrera. Cada día Rocío logró hacer más ensayos que el día anterior.

- El segundo día hizo 2 repeticiones más que el primer día.

- El tercer día hizo 3 repeticiones más que el segundo día.

- El cuarto día hizo 5 repeticiones más que el tercer día.

- ¿Cuántas repeticiones hizo Rocío en los cuatro días juntos, si el primer día hizo 3 carreras?

Solución

Calcularemos cuántas repeticiones hizo cada día y ayúdese del dato conocido sobre el primer día.

Segundo día - 2 repeticiones más que el primer día (dada la cantidad que hizo el domingo) \( 2+3=5 \)

Tercer día - 3 repeticiones más que el segundo día \( 3+5=8 \)

Cuarto día - 5 repeticiones más que el tercer día \( 8+5=13 \)

Sumamos a todas las repeticiones que hizo cada día para encontrar el total

\( 3+5+8+13= \)

\( 8+8+13= \)

\( 16+13=29 \)

Respuesta

\( 29 \)


Ejercicio 8:

Consigna

¿Cuál es el campo de aplicación de la ecuación?

\( \frac{xyz}{2(3+y)+4}=8 \)

Solución

Debemos calcular a cuánto \( Y \) está prohibida ser igual

\( 2\left(3+y\right)+4=0 \)

Multiplicamos a \( 2 \) en los dos elementos de los paréntesis

\( 6+2y+4=0 \)

Sumamos en consecuencia

\( 10+2y=0 \)

Pasamos a \( 10 \) a la sección de la derecha

\( 2y=-10 \)

Dividimos por \( 2 \)

\( y=-5 \)

\( y\ne-5 \)

Si \( Y \) es igual a menos \( 5 \) entonces el denominador es igual a \( 0 \) y el ejercicio no tiene solución

Respuesta

\( y\ne-5 \)