Transposición de términos

La transposición de términos implica pasar los términos de una ecuación de un miembro a otro. De hecho, se trata de un grupo de números que, según las reglas matemáticas, están permitidos para colocarlos en lugar de la incógnita (o variable) dentro de una ecuación. El concepto transposición de términos es especialmente concerniente a las ecuaciones con fracciones o raíces cuadradas. 

En ciertos casos debemos prestar atención a la transposición de términos:

  1. En caso de fracción el denominador no puede ser igual a cero.
  2. En caso de raíz cuadrada, el radicando no puede ser negativo. 

Esto significa que, en dichos casos, no es suficiente resolver la ecuación sino, se debe corroborar si la solución dada es sustentable.

¿Cómo se encuentra la transposición de términos?
1. En ecuaciones con fracciones encontraremos la transposición de términos igualando el denominador a cero.
El valor o los valores que causan que el denominador sea igual a cero se encuentran fuera de la transposición de términos.

  • En una ecuación con raíz los valores que causan que la raíz sea negativa se encuentran fuera de la transposición de términos.

A continuación podemos ver dos ejemplos de transposición de términos:

Ejemplo :

\( \frac{1}{(X-2)}=1 \)

Se trata de una ecuación con fracción en la que la incógnita aparece en el denominador. El denominador no puede ser cero, por lo tanto no sería real \( 0=X-2 \)

Por lo tanto, la transposición de términos es \( X≠2 \)

Elaboración de tema del transposición de términos:

En este artículo aprenderemos qué es la transposición de términos (también llamada conjunto solución), veremos varios ejemplos que nos enseñarán a utilizarla.

La transposición de términos (o conjunto solución) es el conjunto de todos los números que se pueden colocar en la ecuación manteniéndola definida y correcta acorde a las propiedades matemáticas.

En este artículo sólo nos enfocaremos en diferentes casos para examinar cuál es el conjunto solución que permitirá que la expresión matemática siga siendo legítima:


Ejemplo 1:

Enseguida veremos que no se trata de un tema tan complicado. Comencemos con un ejercicio sencillo. Observemos esta ecuación:

\( \frac{2}{X}=4 \)

Como hemos aprendido: en matemática no se puede dividir por 0. Es decir, ¡hacerlo derivaría en una expresión inválida!

Recalquémoslo:

Jamás escribiremos un 0 en el denominador. Siempre constataremos que el denominador no sea cero.

Esto es lo primero que examinaremos en nuestro conjunto solución.

Volvamos a la ecuación:

\( \frac{2}{X}=4 \)

Antes de dirigirnos a resolver el ejercicio escribiremos:

Conjunto solución: \( X≠0 \)

o, en palabras: el conjunto solución es toda X que no sea 0.


Ejemplo 2:

\( \frac{2}{(5-X)}=10 \)

Se trata de una ecuación con fracción en la que la incógnita aparece en el denominador. El denominador no puede ser cero, por lo tanto no sería real

\( 5-X=0 \)

Por lo tanto, la transposición de términos es \( X≠5 \)


Ejemplo 3:

\( \frac{4}{X-1}=2 \)

Se trata de una ecuación con fracción en la que la incógnita aparece en el denominador. El denominador no puede ser cero, por lo tanto no sería real

\( X-1≠0 \)

\( X≠1 \)

Por lo tanto, la transposición de términos es \( X≠1 \)


Ejemplo 4:

En el ejercicio

\( \sqrt{X}=4 \)

Constataremos que la expresión en la raíz no sea negativa. Lo anotaremos del siguiente modo:

o, en palabras: el conjunto solución es toda X igual o mayor que cero.

\( \sqrt{X}=4 \)

Nos aseguraremos de que la expresión dentro de la raíz no sea negativa. Lo escribiremos así:

\( X≥0 \)

Por lo tanto, la transposición de términos es cualquier X que sea mayor o igual a cero.


Ejemplo 3: dos denominadores diferentes

Éste es un ejemplo un poco más complejo, pero nos ayudará a entender el significado del conjunto solución.

Aunque por ahora no sepas resolver una ecuación así está bien, lo importante en este momento es el conjunto solución.

Observemos la ecuación:

\( \frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-3} \)

Recordemos que el denominador no puede ser 0. En este caso tenemos dos fracciones, o sea, dos denominadores diferentes. Debemos verificar que ninguno de los dos sea igual a cero. Averiguaremos cuál es el conjunto solución:

\( X-2≠0 \)

\( X≠2 \)

y también

\( X-3≠0 \)

\( X≠3 \)

Es decir, el conjunto solución es

\( X≠2 \)

y también

\( X≠3 \)

o, en palabras: el conjunto solución es toda X que no sea 2 ni 3.

Si hubiéramos tenido más denominadores habríamos tenido que controlar a cada uno de ellos para corroborar que ninguno equivalga a 0.


Ejemplo 5:

Ecuación sin solución con conjunto solución (ejercicio para alumnos avanzados)

Éste es un ejercicio para avanzados (requiere entendimiento sobre la solución de ecuaciones y conocimiento con ecuaciones que no tienen solución)

Observemos la ecuación:

\( \frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-2} \)

Primeramente, como en todos los casos en los que tenemos una variable en el denominador, averiguaremos cuál es el conjunto solución.

Debemos corroborar que el denominador no equivalga a 0.

En este caso queda claro que el conjunto solución es:

\( X≠2 \)

Ahora continuaremos con el ejercicio. Multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por el denominador común y obtendremos:

\( \frac{X-1}{X-2}=\frac{1}{X-2} \) /\( X-2 \)

\( X-1=1 \)

\( X=2 \)

Es decir, nos dio por resultado X=2. Sin embargo, recordemos nuestro conjunto solución que es

\( X≠2 \)

Eso quiere decir que el resultado que obtuvimos no se encuentra dentro del conjunto solución. Por consiguiente, este ejercicio carece de solución. Este ejercicio remarca por qué es tan importante que siempre controlemos el conjunto solución.


Ahora te presentaremos otro tipo de ejercicios con conjunto solución un poco distinto:

Transposición de término en raíces

Miremos el ejercicio:

\( \sqrt{X}=4 \)

Cuando tenemos una incógnita en la raíz, recordaremos que la expresión dentro de la raíz no puede ser negativa, o sea, debe ser igual o mayor que 0. De otro modo sería una expresión inválida.

Por ejemplo, la expresión

\( \sqrt{(-5)} \)

no es válida y tampoco está definida matemáticamente.

La expresión:\( \sqrt{0} \)

es válida: \( \sqrt{0}=0 \)

Volvamos a nuestro ejercicio

\( \sqrt{X}=4 \)

Primeramente, averiguaremos cuál es el conjunto solución, es decir, constataremos que la expresión en la raíz no sea negativa. Lo anotaremos del siguiente modo:

\( X≥0 \)

o, en palabras: el conjunto solución es toda X igual o mayor que cero.


Ejemplo 6:

Encuentra el conjunto solución de la ecuación:

\( \sqrt{X-2}=3 \)

Recordemos que debemos constatar que la expresión en la raíz no sea negativa, por lo tanto, escribiremos:

\( X−2≥0 \)

Es decir,

\( X≥2 \)

el conjunto solución es toda X igual o mayor que 2.

Existen otros casos en los que podríamos obtener expresiones matemáticas inválidas o indefinidas que influyan en el conjunto solución, pero por ahora será suficiente que controlemos lo siguiente:

  • El denominador nunca es 0
  • La expresión en la raíz no sea negativa