Ecuaciones equivalentes

🏆Ejercicios de ecuaciones ponderadas

Las ecuaciones equivalentes son básicamente ecuaciones que son iguales entre sí, ya que comparten la misma incógnita, además de compartir la misma solución. Podemos pasar fácilmente de una ecuación equivalente a otra. De hecho, cada ecuación tiene una infinidad de ecuaciones equivalentes. Esto se debe a lo siguiente: si se suman, se restan, se multiplican o se dividen, los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la inicial.

X=-6 Ecuaciones equivalentes

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einstein

¿Están balanceadas las ecuaciones?

\( 9-x=1\stackrel{?}{=}5x=-40 \)

Quiz y otros ejercicios

Veamos otro ejemplo

Ecuación A
3a=9 3a=9

Ecuación B:  
a+2=5 a+2=5

Ecuación C:
3a9=1 \frac{3a}{9}=1

Resolvamos las tres ecuaciones:

Ecuación A:

3a=9 3a=9

Dividamos la ecuación por 3: 3:
a=3 a=3

Ecuación B:
a+2=5 a+2=5

Restemos 2 2 de ambos lados de la ecuación:

a+22=52 a+2-2=5-2

a=3 a=3

Ecuación C:

3a9=1 \frac{3a}{9}=1

Simplificando la fracción 39 \frac{3}{9} obtenemos lo siguiente

a3=1 \frac{a}{3}=1

Ahora multiplicamos por 3 3 ambos lados de la ecuación

a3×3=1×3 \frac{a}{3}\times3=1\times3

a=3 a=3

Aunque no hayas entendido por ahora cómo resolvimos cada una de las ecuaciones no te preocupes, está muy bien, más adelante aprenderás a resolver ecuaciones de este tipo con facilidad. Nuestro objetivo en esta clase es la solución de las ecuaciones. Observa que, para cada una de las tres ecuaciones hemos obtenido la misma solución, es decir, a=3 a=3 . Intenta tú colocar esta solución en cada una y corrobora que sea correcta.

Estas tres ecuaciones son ecuaciones equivalentes ya que tienen la misma incógnita y la misma solución.

Ten en cuenta que se puede llegar de cualquier ecuación a una equivalente a través de unas simples operaciones algebraicas.

Por ejemplo, miremos la ecuación:
2z=8 2z=8

Al solucionar esta ecuación obtendremos  
z=8 z=8 :2 :2
z=4 z=4

Ahora regresemos a la ecuación original.
2z=8 2z=8

Creemos con base a ella una ecuación equivalente, por ejemplo, multiplicando
2z=8 2z=8 /×3 /\times 3
6z=24 6z=24

Esta ecuación es equivalente a la nuestra original. Puedes corroborarlo colocando la solución obtenida en la ecuación original z=4 z=4
6×4=24 6\times4=24

24=24 24=24

Es decir, ésta es realmente la solución.

Podemos llegar de cualquier ecuación a su ecuación equivalente a través de operaciones algebraicas, tal como pasamos de la original a la equivalente con una multiplicación en este último ejemplo.

Nota: Ten en cuenta que toda ecuación tiene infinitas ecuaciones equivalentes ya que siempre podremos crear otras con las operaciones algebraicas que queramos.


A continuación te mostraremos algunos ejemplos de ecuaciones equivalentes

Ejemplo 1

X+6=0 X+6=0

2X+12=0 2X+12=0


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Ejemplo 2

3X9=5 3X-9=5

9X27=15 9X-27=15


Ejemplo 3

6X10=2X+7 6X-10=2X+7

24X40=8X+28 24X-40=8X+28


¿Sabes cuál es la respuesta?

Explicación detallada

Ecuación compuesta por dos expresiones algebraicas con un signo = entre ellas,
2x=10 2x=10

Éste es un ejemplo de ecuación. La expresión algebraica colocada del lado derecho se denomina «miembro derecho» y la que se ubica a la izquierda «miembro izquierdo». A las letras que aparecen en la ecuación, como por ejemplo la letra x x   denominamos incógnitas. La solución de la ecuación es un número que, si lo colocamos en lugar la incógnita, obtendremos una respuesta correcta. Por ejemplo, en la ecuación anterior, si colocamos el número 5 en lugar de la X obtendremos una respuesta correcta.
2×5=10 2\times5=10

10=10 10=10

Los miembros de la ecuación son equivalentes, es decir, la respuesta es correcta.

¿Qué son las ecuaciones equivalentes?


Observemos las dos siguientes ecuaciones

Ecuación A:
2x=10 2x=10

Ecuación B:
x+1=6 x+1=6

Resolvamos la ecuación A

2x=10 2x=10

Dividamos por 2: 2:

x=5 x=5

Ahora resolvamos la ecuación B

x+1=6 x+1=6

Restemos 1 1 en ambos lados de la ecuación

x=5 x=5

Obtuvimos que la solución correcta para las dos ecuaciones es x=5 x=5 , lo que implica que estas ecuaciones son equivalentes - tienen la misma incógnita y la misma solución.


Ejemplos y ejercicios con soluciones de ecuaciones equivalentes

Ejercicio #1

¿Están balanceadas las ecuaciones?

9x=1=?5x=40 9-x=1\stackrel{?}{=}5x=-40

Solución en video

Respuesta

No

Ejercicio #2

¿Están balanceadas las ecuaciones?

x25=5=?7x10=200 x-25=5\stackrel{?}{=}7x-10=200

Solución en video

Respuesta

Si

Ejercicio #3

¿Están balanceadas las ecuaciones?

26=x6=?2x=178 26{=}\frac{x}{6}\stackrel{?}{=}\frac{2}{x}{=}\frac{1}{78}

Solución en video

Respuesta

Si

Comprueba que lo has entendido

Preguntas de repaso

¿Qué es un equivalente en matemáticas?

Para poder entender lo que es una ecuación equivalente, primero definamos lo que es un equivalente en matemáticas, el concepto de equivalente se refiere a una expresión matemática igual a otra, es decir, que representa la misma cantidad que puede estar escrita de forma diferente.


¿Cuáles son las ecuaciones equivalentes?

Son aquellas ecuaciones iguales, es decir, aquellas ecuaciones que representan lo mismo, ecuaciones que tienen la misma solución, además de tener la misma variable como incógnita.


¿Cómo saber si una función es equivalente a otra?

Para determinar si una función es equivalente a otra se deberá encontrar la solución en ambas funciones y verificar que las dos ecuaciones son de igual valor, veamos con un ejemplo.

Ejemplo

Consigna. Determina si las siguientes ecuaciones son equivalentes

Ecuación 1.

2x+5=7 2x+5=7

Ecuación 2.

8x+20=28 8x+20=28

Solución:

Encontremos la solución de la ecuación 11, despejando a x x de un lado del igual, es decir, dejar a la variable x x solita de un lado del igual.

2x=75 2x=7-5

2x=2 2x=2

x=22 x=\frac{2}{2}

x=1 x=1

La solución a la ecuación 11 es x=1 x=1

Ahora encontremos la solución de la ecuación 2 2 de la misma manera

8x+20=28 8x+20=28

8x=2820 8x=28-20

8x=8 8x=8

x=88 x=\frac{8}{8}

x=1 x=1

Podemos observar que la segunda ecuación también tiene como solución x=1 x=1. Por lo tanto concluimos que las ecuaciones si son ecuaciones equivalentes.

Respuesta

Si son ecuaciones equivalentes.


¿Crees que podrás resolverlo?
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