Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones equivalentes son básicamente ecuaciones que son iguales entre sí, ya que comparten la misma incógnita, además de compartir la misma solución. Podemos pasar fácilmente de una ecuación equivalente a otra. De hecho, cada ecuación tiene una infinidad de ecuaciones equivalentes. Esto se debe a lo siguiente: si se suman, se restan, se multiplican o se dividen, los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la inicial.

A continuación te mostraremos algunos ejemplos de ecuaciones equivalentes:

Ejemplo 1: 

\( X+6=0 \)

\( 2X+12=0 \)

Ejemplo 2:

\( 3X-9=5 \)

\( 9X-27=15 \)

Ejemplo 3:

\( 6X-10=2X+7 \)

\( 24X-40=8X+28 \)


Explicación detallada:

Ecuación compuesta por dos expresiones algebraicas con un signo = entre ellas,
\( 2x=10 \)

Éste es un ejemplo de ecuación. La expresión algebraica colocada del lado derecho se denomina «miembro derecho» y la que se ubica a la izquierda «miembro izquierdo». A las letras que aparecen en la ecuación, como por ejemplo la letra \( x \)  denominamos incógnitas. La solución de la ecuación es un número que, si lo colocamos en lugar la incógnita, obtendremos una respuesta correcta. Por ejemplo, en la ecuación anterior, si colocamos el número 5 en lugar de la X obtendremos una respuesta correcta.
\( 2\times5=10 \)

\( 10=10 \)

Los miembros de la ecuación son equivalentes, es decir, la respuesta es correcta.

¿Qué son las ecuaciones equivalentes?

Observemos las dos siguientes ecuaciones:

Ecuación A:
\( 2x=10 \)

Ecuación B:
\( x+1=6 \)

Resolvamos la ecuación A:
\( 2x=10 \)

Dividamos por \( 2: \)

\( x=5 \)

Ahora resolvamos la ecuación B:
\( x+1=6 \)

Restemos 1 en ambos lados de la ecuación

\( x=5 \)

Obtuvimos que la solución correcta para las dos ecuaciones es \( x=5 \) , lo que implica que estas ecuaciones son equivalentes - tienen la misma incógnita y la misma solución.

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo:

Ecuación A
\( 3a=9 \)

Ecuación B:  
\( a+2=5 \)

Ecuación C:
\( \frac{3a}{9}=1 \)

Resolvamos las tres ecuaciones:

Ecuación A:

\( 3a=9 \)

Dividamos la ecuación por \( 3: \)
\( a=3 \)

Ecuación B:
\( a+2=5 \)

Restemos \( 2 \) de ambos lados de la ecuación:

\( a+2-2=5-2 \)

\( a=3 \)

Imagen 1 Ecuaciones equivalentes

Ecuación C:

Aunque no hayas entendido por ahora cómo resolvimos cada una de las ecuaciones no te preocupes, está muy bien, más adelante aprenderás a resolver ecuaciones de este tipo con facilidad. Nuestro objetivo en esta clase es la solución de las ecuaciones. Observa que, para cada una de las tres ecuaciones hemos obtenido la misma solución, es decir, \( a=3 \). Intenta tú colocar esta solución en cada una y corrobora que sea correcta.

Estas tres ecuaciones son ecuaciones equivalentes ya que tienen la misma incógnita y la misma solución.

Ten en cuenta que se puede llegar de cualquier ecuación a una equivalente a través de unas simples operaciones algebraicas.

Por ejemplo, miremos la ecuación:
\( 2z=8 \)

Al solucionar esta ecuación obtendremos  
\( 2z=8 \) / \( :2 \)
\( z=4 \)

Ahora regresemos a la ecuación original.
\( 2z=8 \)

Creemos en base a ella una ecuación equivalente, por ejemplo multiplicando:
\( 2z=8 \) \( /\times 3 \)
\( 6z=24 \)

Esta ecuación es equivalente a la nuestra original. Puedes corroborarlo colocando la solución obtenida en la ecuación original \( z=4 \)
\( 6\times4=24 \)

\( 24=24 \)

Es decir, ésta es realmente la solución.

Podemos llegar de cualquier ecuación a su ecuación equivalente a través de operaciones algebraicas tal como pasamos de la original a la equivalente con una multiplicación en este último ejemplo.

Nota: Ten en cuenta que toda ecuación tiene infinitas ecuaciones equivalentes ya que siempre podremos crear otras con las operaciones algebraicas que queramos.