Solución de una ecuación

La solución de una ecuación es, de hecho, un valor numérico que, si lo colocamos en lugar de la incógnita (o la variable), lograremos igualdad entre los dos miembros de la ecuación, o sea, obtendremos un «enunciado verdadero». En ecuaciones de primer grado con una incógnita, sólo puede haber una solución. 

Ejemplo: 

\(X - 1 = 5\)

Ésta es una ecuación con una incógnita o variable indicada con la letra \(X\). La ecuación está compuesta por dos miembros separados mediante el uso del signo igual =. El miembro izquierdo es todo lo que se encuentra a la izquierda del signo = , y el miembro derecho es todo lo que está a la derecha de dicho signo. 

Nuestro objetivo es aislar la variable X de modo tal que sólo ella quede en uno de los miembros de la ecuación. Así descubriremos su valor. En este artículo aprenderemos a utilizar las cuatro operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación y división) para aislar la variable X. 

En este artículo conoceremos las ecuaciones y aprenderemos caminos simples para resolverlas.


Ahora veremos ecuaciones con una sola incógnita

Por ejemplo:

\(X-1 = 5\)

Ésta es una ecuación con una incógnita o variable indicada con la letra \(X\). La ecuación está compuesta por dos miembros separados mediante el uso del signo igual =. El miembro izquierdo es todo lo que se encuentra a la izquierda del signo = , y el miembro derecho es todo lo que está a la derecha de dicho signo.

Nuestro objetivo es aislar la variable \(X\) de modo tal que sólo ella quede en uno de los miembros de la ecuación. Así descubriremos su valor. En este artículo aprenderemos a utilizar las cuatro operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación y división) para aislar la variable \(X\).

Solución de ecuaciones aplicando operaciones de suma y resta

Volvamos a la ecuación del ejemplo anterior:

\(X-1 = 5\)\(/+1\)

Queremos aislar la \(X\). Para hacerlo sumaremos \(1 \) a ambos miembros de la ecuación.

Lo escribiremos así:

\(X-1 = 5\)

Obtendremos:

\(x-1 + 1 = 5 + 1\)

Es decir:

\(X = 6\)

Y, ésta es la solución para nuestra ecuación. Siempre podemos controlar si lo hemos hecho bien colocando nuestra respuesta en la ecuación original. Pongamos X=6 en la ecuación

\(X-1 = 5\)

y obtendremos

\( 6-1 = 5\)

\(5=5\)

éste es un enunciado verdadero, \(5\) realmente equivale a \(5\), es decir, nuestra solución es correcta.


Otro ejemplo:

\(Z + 7 = 15\)

Primeramente, veamos que esta vez la variable es \(Z\). La variable se puede señalar con la letra que queramos.

Tal como lo hemos explicado antes, nos interesa encontrar el valor de la \(Z\) que nos otorgará la solución para la ecuación. Por lo tanto, ahora intentaremos aislar la \(Z\). Lo haremos restando \(7\) de los dos miembros de la ecuación.

Se ve así:

\(Z + 7 = 15\)\(/-7\)

Obtendremos:

\(Z + 7 -7 = 15 – 7\)

\(Z = 8\)

Ésta es la solución de la ecuación. Reiteremos, siempre es conveniente controlar si lo hemos hecho bien colocando nuestra respuesta en la ecuación original.

Recordemos cuál era la ecuación original:

\(Z + 7 = 15\)

pongamos

\(Z = 8\)

y obtendremos:

\(8 + 7 = 15\)

\(15=15\)

Éste realmente es un enunciado verdadero, es decir, la respuesta que recibimos es correcta.


Solución de ecuaciones aplicando operaciones de multiplicar y dividir

Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones aplicando operaciones de suma y resta a ambos lados de la ecuación. Ahora veremos otros ejemplos de ecuaciones que solucionaremos con operaciones de multiplicar y dividir:

Ejercicio 1:

\(2X = 8\)

Queremos aislar la \(X\). Dividiremos ambos miembros de la ecuación por \(2\). Lo escribiremos así:

\(2X = 8\)\(/:2\)

y obtendremos:

\(X = 4\)

También en este caso conviene colocar la solución en la ecuación original para ver si lo hemos hecho bien:

\(2\times 4 = 8\)

\(8 = 8\)

Obtuvimos un resultado correcto, o sea, nuestra solución está bien.


Ejercicio 2:

\(-3Y = 18\)

Para aislar la variable Y dividiremos ambos miembros de la ecuación por 3

\(-3Y = 18\)\(/:-3\)

\(Y = -6\)

Para verificar nuestro resultado, siempre conviene colocarlo en la ecuación original. ¡Inténtalo!


Ejercicio 3:

\(\frac{1}{3}x=5\)

Aquí tenemos una fracción en la ecuación. Querremos deshacernos de ella y aislar la X. Multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por 3

\(\frac{1}{3}x=5\)\(/\times 3\)

Obtendremos:

\(x=15\)

Para verificarlo colocaremos el resultado obtenido en la ecuación original:

\(\frac{1}{3}\times 15=5\)

\(5=5\)

Es decir, el resultado obtenido es correcto.


Ejercicio 4:

\(2x + 3 = 5\)

Este ejercicio requiere operaciones de restar y de dividir. Primeramente, restaremos 3 de los dos miembros de la ecuación:

\(2x + 3 = 5\)\(/-3\)

\(2x + 3 - 3 = 5 – 3\)

\(2x = 2\)

Ahora dividiremos los dos miembros de la ecuación por 2 y obtendremos:

\(2x = 2\)\(/:2\)

\(X = 1\)

Coloquemos el resultado obtenido en la ecuación original para controlar si lo hemos hecho bien:

\(2\times 1 + 3 = 5\)

\(5 = 5\)

Es decir, el resultado obtenido es correcto.


Más ejercitación

Ejercicio 5:

Ejemplo a:

\(​​​​​​​X-6=0\)

La solución de la ecuación es \(X=6\) ya que si ponemos \(6\) en lugar de la \(X\) obtendremos el resultado \(0\) en ambos lados de la ecuación, tendremos dos miembros equivalentes.

Ejemplo b: 

\(2X-6=0\)

La solución de la ecuación es \(X=3\) ya que si ponemos \(3\) en lugar de la \(X\) obtendremos el resultado \(0\) en ambos lados de la ecuación, tendremos dos miembros equivalentes.

Ejemplo c: 

\(3X-5=16\)

La solución de la ecuación es \(X=7\) ya que si ponemos \(7\) en lugar de la \(X\) obtendremos el resultado \(16\) en ambos lados de la ecuación, tendremos dos miembros equivalentes.