Ecuaciones con fracciones

Cuando nos encontremos con una ecuación que tiene un número en el denominador, querremos deshacernos de ese número y conseguir que no haya ningún denominador. Lo haremos multiplicando ambos miembros de la ecuación por el denominador común más pequeño posible.

Por ejemplo, observemos esta ecuación:

E - Ecuaciones con fracciones

25x=3\frac{2}{5}x=3

Es una ecuación fraccionaria. Para eliminar el denominador, en este caso 55, lo multiplicaremos por los dos miembros de la ecuación.

Al multiplicar los miembros por 5 obtendremos:

25x 5=3 5\frac{2}{5}x \cdot \ 5=3 \cdot \ 5
Es decir,

2x=152x=15 /:2/:2

x=7.5x=7.5

En este artículo aprenderemos cómo solucionar ecuaciones fraccionarias. Cuando nos encontremos con una ecuación que tiene un número en el denominador, querremos deshacernos de ese número y conseguir que no haya ningún denominador.

Lo haremos multiplicando ambos miembros de la ecuación por el denominador común más pequeño posible.

En este artículo veremos varios ejemplos de ejercicios con números en el denominador, e iremos ascendiendo gradualmente con los niveles de dificultad. 

Los primeros ejercicios serán relativamente simples, tendrán una sola fracción con un número en el denominador. En los siguientes veremos ejercicios con dos o tres fracciones.

Cuando nos encontremos con una ecuación que tiene un número en el denominador, querremos deshacernos de ese número y conseguir que no haya ningún denominador. Lo haremos multiplicando ambos miembros de la ecuación por el denominador común más pequeño posible.


Ejemplos con soluciones de ecuaciones con fracciones

Ejemplo 1

25X=3\frac{2}{5}X=3

En este caso tenemos un 55 en el denominador. Querremos deshacernos de él. Entonces multiplicaremos los dos miembros de la ecuación por el denominador, es decir por cinco. 

Se acostumbra a expresarlo de esta manera:

25X=3\frac{2}{5}X=3 /×5/\times 5

Multiplicaremos por separado cada miembro y obtendremos:

25X×5=3×5\frac{2}{5}X\times 5=3\times 5
Es decir,

2x=152x=15 /:2/:2

x=7.5x=7.5


¡Únete a 30,000 estudiantes destacados en matemáticas!
Práctica ilimitada, guía de expertos: mejora tus habilidades matemáticas hoy

Ejemplo 2

13X=2X4\frac{1}{3}X=2X-4

Multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por el denominador, es decir, multiplicaremos por 33 y obtendremos

13X=2X4\frac{1}{3}X=2X-4 /×3/\times 3

13X×3=2X×34×3\frac{1}{3}X\times 3=2X\times 3-4\times 3

x=6x12 x=6x-12

12=5x 12=5x

X=125 X=\frac{12}{5}


Ejemplo 3: Ecuación con dos denominadores

2X+13=3X22+4\frac{2X+1}{3}=\frac{3X-2}{2}+4

En este ejercicio tenemos dos fracciones, o sea, dos denominadores distintos. También aquí nuestro objetivo es deshacernos de los denominadores. Para conseguirlo multipliquemos ambos miembros de la ecuación por el denominador común más pequeño posible. En este caso, el denominador común es 66.

Obtendremos:

2X+13=3X22+4\frac{2X+1}{3}=\frac{3X-2}{2}+4 /×6/\times 6

2X+13×6=3X22×6+4×6 \frac{2X+1}{3}\times 6=\frac{3X-2}{2}\times 6+4\times 6

2(2x+1)=3(3x2)+4×62(2x+1)=3(3x-2)+4\times 6

4x+2=9x6+244x+2=9x-6+24

16=5x-16=5x

X=165X=-\frac{16}{5}


Ejemplo 4

53XX+14=2X+1\frac{5}{3}X-\frac{X+1}{4}=2X+1

Nos gustaría deshacernos del denominador de las dos fracciones, por lo tanto, nuevamente multiplicaremos por el común denominador. El común denominador más pequeño es 1212 en este caso.

53XX+14=2X+1\frac{5}{3}X-\frac{X+1}{4}=2X+1 /×12/\times 12

53X×12(X+14)×12=2X×12+1×12\frac{5}{3}X\times 12-(\frac{X+1}{4})\times 12=2X\times 12+1\times 12

20x3×(x+1)=24x+1220x-3\times (x+1) =24x+12

20x3x3=24x+1220x-3x-3 =24x+12

15=7x-15=7x

X=157X=-\frac{15}{7}


Ejemplo 5

X2+X3=14\frac{X}{2}+\frac{X}{3}=\frac{1}{4}

También en esta situación querremos deshacernos del denominador. Tenemos que multiplicar por el denominador común más pequeño posible. Veremos que la multiplicación de todos los denominadores juntos nos dará 2424, éste es un común denominador que nos podría servir, pero no es el más pequeño y, por lo tanto, no es conveniente usarlo para la multiplicación. 

Recordemos que para descubrir el común denominador más pequeño debemos multiplicar entre ellos a todos los factores primos de los números que aparecen en el denominador. En nuestro caso: 2424 está compuesto por 22 y 22. 33 es número primo. El 22 también es número primo, incluido, igualmente, dentro del 44.

Por lo tanto, tenemos que multiplicar:

2×2×3=122\times 2\times 3=12

O sea, 1212 es el común denominador más pequeño posible. Entonces multipliquemos los dos miembros por 1212 y obtendremos:

X2+X3=14\frac{X}{2}+\frac{X}{3}=\frac{1}{4} /×12/\times 12

X2×12+X3×12=14×12\frac{X}{2}\times 12+\frac{X}{3}\times 12=\frac{1}{4}\times 12

6x4x=36x-4x=3

2x=32x=3

X=32X=\frac{3}{2}