Ecuación con variable en el denominador

Ecuación con incógnita en el denominador

Cuando tenemos un ejercicio con la incógnita en el denominador significa que hay conjunto solución, es decir que hay números que si los colocamos en lugar de la X obtendremos una expresión sin sentido.

Al dirigirnos a resolver un ejercicio de este tipo, primeramente, averiguaremos cuál es el conjunto solución, es decir, qué número pondría a cero al denominador y causaría que la expresión no tenga sentido.

Por ejemplo, en el ejercicio:

\( \frac{3}{X}=6\)

El denominador es X y, por lo tanto, el conjunto solución será:

\(x ≠0\)

ya que si colocáramos 0=X recibiríamos una expresión sin sentido (denominador 0).
Después de resolver el ejercicio verificaremos que el resultado no aparece en el conjunto solución.

\(/*X\)\( \frac{3}{X}=6\)

\(3=6x\)

\(X=\frac{1}{2} \)

Ahora, debemos controlar que la solución pertenezca al conjunto. En nuestro caso
\(X=\frac{1}{2} \) efectivamente, pertenece al conjunto solución que es \(x ≠0\)

por lo tanto, \(X=\frac{1}{2} \)
es la solución.

En este artículo aprenderemos cómo resolver ecuaciones con incógnita en el denominador. Comenzaremos con un ejercicio sencillo y después avanzaremos.

Ejemplo 1:

\( \frac{3}{X}=6\)

Hasta ahora no hemos realizado ejercicios con incógnita en el denominador. En este caso, el denominador del miembro ubicado a la izquierda de la ecuación es X. ¿Cómo afecta esto a nuestro ejercicio? Esto significa que el ejercicio tiene un conjunto solución (a veces llamado conjunto de soluciones), es decir que hay números que si los colocamos en lugar de la X obtendremos una expresión sin sentido.

Siempre que nos dirijamos a resolver un ejercicio con una incógnita en el denominador, primeramente, averiguaremos cuál es el conjunto solución, es decir, qué número pondría a cero al denominador y causaría que la expresión no tenga sentido.

En nuestro caso, el denominador es X, por lo tanto, el conjunto solución es 

\(x ≠0\)

o bien, el conjunto solución es cualquier X siempre y cuando 
\(x ≠0\)

ya que si ponemos \(x ≠0\) obtendremos una expresión inválida (denominador 0)

Ahora continuaremos con el ejercicio. Querremos deshacernos del denominador, por lo tanto, multiplicaremos los dos lados de la ecuación por X.

\(/*X\)\( \frac{3}{X}=6\)

y nos dará

\(3=6x\)

\(X=\frac{1}{2} \)

Ahora, debemos controlar que la solución pertenezca al conjunto. En nuestro caso

\(X=\frac{1}{2} \)

efectivamente pertenece al conjunto solución que es 

\(x ≠0\)

por lo tanto, \(X=\frac{1}{2} \)

es la solución.

En esta fase es muy recomendado comprobarlo del siguiente modo. Pondremos \(X=\frac{1}{2} \)

en la expresión original y lo verificaremos:

3/(1/2)=6


3*2=6

En efecto, hemos obtenido que
6=6

Es decir, la respuesta es correcta.

Ejemplo 2:

\(\frac{2}{X-1}=3\)

Primeramente, anotaremos cuál es el conjunto solución. Debemos constatar que el denominador difiera de 0, por lo tanto, anotaremos que el conjunto solución es:

\(x-1 ≠0\)

\(x ≠1\)

Aconsejamos anotarlo de forma clara y destacada. Retomaremos esto al final del ejercicio. Mientras tanto anotaremos:

Conjunto solución: \(x ≠1\)

Ahora volveremos a la solución del ejercicio. Querremos deshacernos del denominador, por lo tanto, multiplicaremos los dos lados de la ecuación por \(X-1\)

**Hay representaciones gráficas en Word de éste y de muchos ejercicios más.

Obtendremos:
\(/*X-1\)\(\frac{2}{X-1}=3\)

\(2=3*(x-1)\)

\(2=3x-3\)

\(5=3x\)

\(X=\frac{5}{3}\)

Ahora controlaremos si la solución se encuentra en el conjunto. Recordaremos que el conjunto solución es 

\(x ≠1\)

es decir, la solución que hemos obtenido se encuentra en él, por lo tanto, el resultado es \(X=\frac{5}{3}\)

En esta fase se recomienda intensamente colocar el resultado en la expresión original para ver si hemos acertado. ¡Pruébalo!

Ejemplo 3

\(\frac{2}{X-3}-3=2\)

Primeramente, averiguaremos cuál es el conjunto solución

\(x-3 ≠0\)

\(x ≠3\)

Ahora volveremos al ejercicio. Traspasamos el 3 al otro miembro y seguimos resolviendo. Obtendremos

\(\frac{2}{X-3}=5\)

Ahora querremos deshacernos del denominador. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por el denominador y obtendremos:

\(/*X-3\)\(\frac{2}{X-3}=5\)

\(2=5*(x-3)\)

\(2=5x-15\)

\(5x=17\)

\(X=\frac{17}{5}\)

Esta solución efectivamente se encuentra dentro del conjunto solución que es \(x ≠3\)

Se recomienda constatar que el resultado sea correcto colocándolo en la expresión original.

Ejemplo 4 - Ecuación con más de un denominador

\(\frac{2}{X-3}=\frac{1}{X}\)

Notaremos que en este ejercicio hay más que un denominador. Primeramente, querremos descubrir cuál es el conjunto solución. Lo averiguaremos por separado para cada denominador

Es decir, primero debemos controlar que:

\(x-3 ≠0\)
\(x ≠3\)
Además, tenemos que controlar el denominador ubicado del lado derecho de la ecuación, es decir:

\(x ≠0\)

Antes de continuar con la resolución del ejercicio lo anotaremos de manera clara y ordenada.
El conjunto solución es 
\(x ≠3\)
\(x ≠0\)

Ahora querremos deshacernos de ambos denominadores. Para hacerlo, multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por el denominador común. El denominador común en este caso es \(x*(x-3)\)

\(/* x(x-3)\)\(\frac{2}{X-3}=\frac{1}{X}\)

\(\frac{2}{X-3}\cdot X(X-3)=\frac{1}{X}\cdot X(X-3)\)

\(2x=x-3\)
\(x=-3\)

El resultado \(x=-3\) es compatible con el conjunto solución.

Para corroborar nuestro resultado, lo ubicaremos en la ecuación original y examinaremos si se obtiene una igualdad cierta:

\(\frac{1}{(-3)}=\frac{2}{(-3-3)}\)

\(\frac{1}{(-3)}=\frac{1}{(-3)}\)

Entonces, nuestro resultado es correcto.

Ejemplo 5

\(\frac{3}{4X}+2=\frac{1}{8X}\)

Primero averiguaremos cuál es el conjunto solución. Debemos constatar que ambos denominadores difieran de cero. En este caso el número 0 pondrá a cero los dos denominadores, por lo tanto, anotaremos:

El conjunto solución es \(x=0\)


También en este ejercicio tenemos dos denominadores con incógnita y querremos deshacernos de ambos. Para hacerlo los multiplicaremos por el denominador común. Notaremos que si multiplicamos a \(4x\) por\(2\) obtendremos \(8x\).
Por lo tanto, el denominador común es \(8x\)

\(/*8X\)\(\frac{3}{4X}+2=\frac{1}{8X}\)

\( \frac{3}{4X}\cdot8X+2\cdot8X=\frac{1}{8X}\cdot8X \)

\(6+16x=1\)
\(16x=-5\)

\(X=-\frac{5}{16}\)

El resultado que obtuvimos se adecúa al conjunto solución.
Es muy recomendable ubicarlo en el ejercicio original para corroborar que se obtiene una igualdad cierta.

\(\frac{3}{4\cdot(-\frac{5}{16})}+2=\frac{1}{8\cdot(-\frac{5}{16})}\)

\(\frac{3}{(-\frac{5}{4})}+2=\frac{1}{(-\frac{5}{2})}\)

\(-\frac{12}{5}+2=-\frac{2}{5}\)

\(12-10=2\)

\(2=2\)

Hemos obtenido una igualdad cierta, por lo tanto, nuestra solución es correcta. 

Ejemplo 6 - Sacar el término común del denominador

\( \frac{3}{3X-2}+1=\frac{1}{6X-4}\)


Notaremos que, el denominador del lado derecho se puede dividir en otros términos sacando el término común. Lo haremos y obtendremos:

\( \frac{3}{3X-2}+1=\frac{1}{2(3X-2)}\)

Ahora continuaremos con el ejercicio. Primero encontraremos el conjunto solución. Anotaremos

\(3X-2 ≠0\)

\(3X ≠2\)

\(X ≠\frac{2}{3}\)

Volvamos al ejercicio. Para deshacernos del denominador tenemos que multiplicar ambos miembros de la ecuación por el denominador común. Como vemos, luego de sacar el término común, nos da que el denominador común es \(2*(3x-2)\)

Por lo tanto, multiplicaremos por él a ambos miembros de la ecuación y nos dará

\(/*2(3x-2)\)\( \frac{3}{3X-2}+1=\frac{1}{2(3X-2)}\)

\(\frac{3}{3X-2}\cdot2\cdot(3X-2)+1\cdot(3X-2)=\frac{1}{2\cdot(3X-2)}\cdot2\cdot(3X-2) \)

\(6+6x-4 =1\)

\(6x=-1\)

\(X=-\frac{1}{6}\)

Veremos que el resultado obtenido efectivamente se encuentra en el conjunto solución \(X ≠\frac{2}{3}\)

En esta fase se recomienda intensamente colocar el resultado obtenido en la ecuación original para controlar si lo hemos hecho bien. ¡Pruébalo!