Valor absoluto y desigualdad con valor absoluto

Las desigualdades las resolvemos como una ecuación solo que en lugar de un signo igual que está en la ecuación, hay un signo de mayor que $>$ , o menor que $<$.
Pero hay otra regla: Cuando las dos secciones se multiplican o dividen por un número negativo, el signo de desigualdad se invierte.

Cuando nos dan una desigualdad con valor absoluto, no sabemos si la expresión como valor absoluto es positiva o negativa y por lo tanto tendremos que dividirla en dos casos.
El primer caso: La expresión que está dentro el valor absoluto es igual a $0$.
y el segundo caso: La expresión dentro del valor absoluto es menor que $0$.

Comencemos con la pregunta ¿Qué es el valor absoluto?

Un valor absoluto es la distancia desde el punto cero.
¿Qué significa?
Puedes tomar cualquier número en un valor absoluto y preguntarte: ¿qué tan lejos está del $0$?
Y eso sería la respuesta correcta.
Otras cosa importante que debes saber, que un valor absoluto está simbolizado de la siguiente manera: $││$
Cuando quieras preguntar cuál es el valor absoluto de un número determinado, colócalo dentro del marcado de estas dos franjas.

Vamos a demostrar.

Si queremos saber el valor absoluto del número $5$ por ejemplo, escribiremos:
$│5│= ?$
Nos preguntamos, ¿qué tan lejos está el $5$ del $0$? Y la respuesta es, por supuesto, $5$.
De hecho, cuando hay un número positivo en un valor absoluto, el valor absoluto no lo afecta y seguirá siendo el mismo número solo que sin un valor absoluto.
Por lo tanto, un valor absoluto de $5$ es $5$.
$│5│=5$
Además, también las fracciones, números no enteros en valor absoluto, seguirán siendo exactamente el mismo número.
Cualquier número positivo, no afectado por el valor absoluto.
Demostramos:
$│2/3│= 2/3$

¿Qué sucede cuando hay un número negativo como valor absoluto?
Cuando hay un número negativo dentro del valor absoluto, la misma pregunta sigue siendo: ¿cuál es su distancia desde el punto $0$?
La distancia debe ser positiva, no existe tal cosa como una distancia negativa. Entonces, cuando hay un número negativo en un valor absoluto, será igual al mismo número solo que sin el signo menos.
Vamos a demostrar.

$│-5│=5$
De la misma manera:
$│-2/3│= 2/3$

De hecho, podemos decir que el valor absoluto de un número negativo es igual al mismo número positivo, tanto en el valor absoluto como sin él.
Es decir:
$│-5│= │5│= 5$
La distancia de $5$ a $0$ y de $-5$ a $0$ es la misma: $5$.
Por lo tanto podemos escribir:
$│-X│= │X│= X$

Ahora, colocamos el valor absoluto en una ecuación.
Ejemplo:
$│X│=4$
Cuando recordamos que un valor absoluto es igual a una distancia desde el punto cero, podemos preguntarnos, ¿cuál $X$ está exactamente a cuatro pasos del $0$?
Existen $2$ respuestas.
$4$ está a cuatro pasos del $0$ y también $-4$ está a cuatro pasos del $0$.
Por lo tanto:
$X=4, -4$
Ahora, pasemos al siguiente paso de valor absoluto y usémoslo en una ecuación un poco más complicada. No te asustes, no es mucho más complicado.
$│X+3│= 7$
¿Cómo abordas tal ecuación? Fácilmente.
Simplemente reemplace toda la expresión dentro del valor absoluto con la palabra algo.
$-7 =$ │algo│
Nos preguntamos, ¿qué algo en valor absoluto puede ser igual a $7$? ¡Por supuesto!
$7$ o $-7$.

Ahora, reemplazaremos en lugar de "algo" a lo que que aparece dentro del valor absoluto, en las dos ecuaciones que obtuvimos.
Es decir:
En un caso: $X+3=-7$
Y en el segundo caso: $X+3=7$

¡Magnífico! Estas ya son ecuaciones que podemos resolver fácilmente.
En un caso: $X=-10$
Y en el segundo caso: $X=4$
Por tanto, la solución del ejercicio son las dos $X$ obtenidas.
$X=-10 ,4$
Ahora, pasamos al segundo tema que queremos presentar.

En la desigualdad obtenemos un resultado que es básicamente un dominio de valores. Por ejemplo, $X$ es mayor que algún número o $X$ es menor que algún número.
¿Cómo resolvemos las desigualdades?
Las desigualdades las resolvemos exactamente como una ecuación solo que en vez de un signo igual que hay en la ecuación, hay un signo mayor que $>$ , o menor que $<$
Una regla importante a tener en cuenta es la desigualdad: cuando duplica o divide las dos secciones en un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.
Por ejemplo:
$3X-5<X-11$
En la solución, como en la ecuación, transferiremos todas las $X$ a una sección y todos los números libres al otro segmento.
Obtenemos:
$2X<-6$
Divida por $2$ las dos secciones como en la ecuación y obtenemos:
$X<-3$

Un ejemplo donde se invierte la desigualdad:
$3X+4<6X-11$
Moveremos las secciones:
$-3X<-15$
Ahora dividiremos las dos secciones por: $-3$.
Como dividimos por un número negativo, invertimos la desigualdad.

Es decir:
$X>5$

Ahora, como prometimos, combinaremos los dos temas que hemos estudiado.

Solución de forma geométrica:
El significado geométrico de un valor absoluto se divide en dos casos:
$│X│$ será la distancia entre $X$ y $a$.
$│X-a│$ será la distancia entre $X$ y $a$.

Por ejemplo, resolveremos la siguiente desigualdad:
$│X-2│<6$
¿Qué significa esta desigualdad?

Básicamente estamos buscando todas las $X$ que existen que la distancia entre $X$ y $2$ sea, menor que $6$.

En el primer paso:
Trazaremos el eje numérico y marcaremos el punto $2$, del que nos interesa la distancia a $X$.
Lo marcaremos en azul.

En el segundo paso:
Encontraremos los puntos cuya distancia al $2$ es exactamente $6$. Es decir $8$ y $4$.
Los marcaremos en verde.

En la tercera etapa:
Nos preguntamos ¿qué buscamos?
En este ejemplo buscamos todos los puntos cuya distancia al $2$ sea menor que $6$. Es decir, todas las $X$ que están entre $4$ y $8$.

Y hemos llegado a la respuesta. La solución es  $-4<X<8$

Un ejemplo de desigualdad con el signo mayor que:
$│X-2│>6$
¿Qué significa esta desigualdad?
Básicamente estamos buscando todas las $X$ que existen, que la distancia entre $X$ y $2$ sea mayor que $6$.
La primera y segunda etapa son exactamente iguales que en la desigualdad anterior .
Trazamos un eje numérico. $Y$ marcaremos los puntos pertinentes.
En la tercera etapa:
Nos preguntaremos, ¿qué estamos buscando?
En este ejemplo estamos buscando todos los puntos cuya distancia a $2$ sea mayor que $6$.
Es decir, todas las $X$ que sean mayores que $8$ o las $X$ que sean menores que $4$.
Presentaremos la solución de esta manera:

Solución de forma algebraica:
Cuando nos dan una desigualdad con valor absoluto, no sabemos si la expresión como valor absoluto es positiva o negativa, y por tanto tendremos que dividirla en dos casos.
El primer caso: la expresión dentro del valor absoluto es mayor a $0$.
Y el segundo caso: la expresión dentro del valor absoluto es menor que $0$.

Veamos esto con un ejemplo:

Después de haber encontrado para cada sección su propio campo, la solución a la desigualdad será:
$4≤X<10$    o    $-2<X<4$

Es decir, todas las $X$ que están en el campo de la primera sección o en el campo de la segunda sección.

Trazaremos un eje numérico para encontrar estas $X$ y aceptaremos que la solución es:
$-2<X<10$

Independientemente de la forma que elija para resolver la desigualdad con el valor absoluto que se le presenta, obtendrá el mismo resultado.
Como ha visto, la forma geométrica es mucho más corta que la forma algebraica y deja menos margen de error.
Le recomendamos que utilice la forma geométrica si se trata de una desigualdad que es relativamente simple y no existe un requisito inequívoco para resolver la desigualdad de forma algebraica.
Por supuesto, ahora todo lo que tiene que hacer es practicar ambas formas para que la desigualdad con valor absoluto no pueda sorprenderte.
Prepárate para cualquier escenario y practica todos los pasos una y otra vez para encontrar los campos correctos.
¡Buena suerte!

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