Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación lineal es una ecuación del tipo:
\(y=ax+b\)

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones lineales contiguas o escritas una debajo de la otra entre llaves o sin signos gráficos.

Un sistema de dos ecuaciones lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones hay que actuar en varios pasos:

  • Aislar las variables en todas las ecuaciones.
  • Colocar valores posibles a las variables que aislamos (por ejemplo \(Y=0,1,2\)).
  • Comparar dos ecuaciones (es conveniente ilustrándolas sobre una gráfica).
  • Hallar el punto de intersección de las dos ecuaciones.

¿Qué es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?

En forma general, un sistema de ecuaciones lineales contiguas o escritas una debajo de la otra entre llaves o sin signos gráficos se denomina sistema de ecuaciones lineales.
Cuando no sepamos el valor de X y de Y podremos llamarlas incógnitas y entender que se trata de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
De todos modos, cuando en la pregunta dice «dado un sistema de ecuaciones» tienes que saber que se trata de un sistema de ecuaciones en el cual las incógnitas deben cumplir con todas las condiciones impuestas.


¿Qué es una ecuación lineal?

Primeramente comenzaremos por preguntar ¿qué es una ecuación lineal?
Una ecuación lineal es una ecuación del tipo:
\(y=ax+b\)

Por ejemplo:   \( 30=7X-19\)

La X es nuestra incógnita y la ecuación lineal describe una cierta condición o propiedad que debe cumplir esta X.
No estamos utilizando el término condición porque sí, lo entenderás en seguida.
Si resolvemos nuestra ecuación, transponemos miembros y aislamos la X llegaremos a que:
x=7
cuando la X vale 7 de hecho está cumpliendo con la propiedad o condición que le pide la ecuación.
Cuando lo colocamos en la ecuación obtenemos igualdad en ambos miembros.
También en la ecuación:
\( 13-4x=2x-5 \)
La incógnita X debe cumplir con cierta propiedad o condición para que haya igualdad en los miembros: Resolver la ecuación.
Si transponemos miembros y aislamos la X descubriremos que la única X que cumple con la condición y resuelve la ecuación es 3.
Entonces, después de que hemos hablado sobre las ecuaciones con una sola incógnita, pasaremos a las ecuaciones lineales con dos incógnitas.


Ecuación lineal con dos incógnitas

También la ecuación lineal con dos incógnitas está compuesta de la forma: 
\(y=ax+b\)
Sólo que esta vez, desconocemos tanto a la X como a la Y.
De hecho, una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación en la que debemos hallar las dos incógnitas específicas que cumplan con la condición requerida en la ecuación.
¿Ha logrado confundirte?
Veámoslo en un ejemplo:
En esta ecuación \(x+y=5\)
La condición o la propiedad es que la suma de las dos incógnitas X + Y equivalga a 5.
De hecho, para resolver la ecuación deberemos encontrar un par de números que juntos equivalgan a 5.
En realidad, la solución de esta ecuación puede ser cualquier par de números cuya suma dé por resultado 5 y, por lo tanto, no hay una sola solución, sino infinitas soluciones.


¿Cómo se resuelven las ecuaciones lineales con dos incógnitas?

El primer paso es aislar una incógnita. Selecciona la incógnita que prefieras y aíslala dejándola sola en uno de los miembros.
En nuestro ejemplo aislaremos la X y obtendremos:
\( x=5-y\)
El segundo paso es colocar el número que quieras en lugar de la incógnita que no está aislada (en este caso la Y), de este modo descubrirás la X que cumple con la condición requerida.
Por ejemplo,
coloquemos \(y=2\)
y obtendremos \( x=3\)
Observa, podemos colocar cualquier número que queramos, por lo tanto, esta ecuación no tiene una sola solución, sino ¡infinitas soluciones!

Soluciones correctas para este ejemplo podrían ser \(y=4 ,x=1\) o \(y=-1 ,x=6 \) o \(y=0.1, x=4.9\) y así sucesivamente.
Cualquier par que cumpla con la condición \(x=5-y\)
será una solución correcta ya que ambas incógnitas compondrían la ecuación.


Información útil:

Si miramos los valores de X y de Y como puntos y los marcamos sobre el plano cartesiano, cuando tracemos una línea entre ellos descubriremos cómo se ve la ecuación. Ahora, luego de haber repasado el tema de las ecuaciones lineales, pasaremos a ver qué es un sistema de ecuaciones.


Sistema de ecuaciones

No te estreses con la palabra sistema, intenta pensar en un sistema como en una colección o grupo de condiciones que deben cumplirse paralelamente.
¿Qué quiere decir?
Observa el sistema de ecuaciones presentado a continuación:
\(​​​​​​​x+y=5\)
\(y-x=3\)

En este sistema hay dos ecuaciones con dos incógnitas, X y Y.

La primera condición para el cumplimiento del sistema es que la suma de las dos variables equivalga a 5, la segunda condición es que la diferencia entre Y y X sea 3.
Para resolver esta ecuación debemos hallar X y Y que cumplan con las dos condiciones paralelamente.
Es decir, la solución de un sistema de ecuaciones yace en encontrar las incógnitas específicas que cumplen con todas las condiciones del sistema.
Observa que, X y Y que cumplan con una sola condición del sistema ¡no serían una respuesta correcta!
Por ejemplo si \(x=3\)  y \(y=2\) la primera condición se cumple ya que \(2+3=5\) pero, al ubicar los datos en la segunda ecuación obtenemos \(– 2-3=3\) que claramente es erróneo.
Por lo tanto, \( x=3 , y=2\) absolutamente no es la respuesta correcta y, de hecho, ni siquiera recibirías un punto por ella.
La única solución para el sistema de ecuaciones de este ejemplo es \(X=1 ,Y=4.\)
¿Cómo hemos llegado a esta solución?
A continuación te enseñaremos todos los métodos que debes conocer para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Comenzaremos por el método gráfico.


Solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por medio del método gráfico

Puedes resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a través del método gráfico, de una forma que es muy fácil de entender.
Cuando queramos resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio del método gráfico nos referiremos a las ecuaciones como a funciones y representaremos gráficamente las dos ecuaciones en el plano cartesiano.

Para que entiendas bien cómo se resuelve un sistema de ecuaciones con el método gráfico utilizaremos el sistema que planteamos anteriormente:
\(x+y=5\)
\(y-x=3\)

Primer paso: Nos referiremos a cada ecuación como a una función, aislaremos la Y y haremos una tabla de valores para cada función/ecuación.
No te asustes, la tabla de valores para una función es una tabla simple de X y Y que podemos crear muy fácilmente.
Lo mostraremos de la siguiente manera: 
\(x+y=5\)

XY tabla 1

\(y=3+x\)

XY tabla 1

Luego de trazar la tabla de valores rellenaremos una de las incógnitas con valores de forma aleatoria.
Nosotros recomendamos colocar en la incógnita X los valores 0, 1 y 2. Debes saber que no importa qué números elijas colocar en la X, nosotros recomendamos 0, 1 y 2 por ser esto cómodo como sistema de trabajo.
Luego de anotar en la columna de la X los valores elegidos añadiremos de a uno los valores de la función, descubriremos la Y y rellenaremos la columna Y de la tabla acordemente. De este mismo modo lo haremos con las dos funciones por separado.

Por ejemplo:
en la función    
\(y=5-x\)
veamos qué Y obtendremos cuando coloquemos \(X=0\)
\(y=5-0\)
\(y=5\)
Seguiremos controlando qué pasa cuando X=1
\(y=5-1\)
\(y=4\)
Y así sucesivamente.
Rellenaremos las tablas respectivamente:
\(y=5-x\)

XY tabla 2

\(y=3+x\)

XY tabla 3

El segundo paso:
Luego de que cada ecuación haya recibido una tabla de valores que cumpla con las condiciones de su ecuación, trazaremos un plano cartesiano.
El eje horizontal o de las abscisas, X
El eje vertical o de las ordenadas, Y
Elegiremos una ecuación/función para comenzar con ella y la representaremos en el plano cartesiano acorde a la tabla que hemos creado.
Luego de haber marcado todos los puntos de la función los uniremos para formar una recta.
Observa que cada función tiene una tabla diferente, por eso, con el fin de evitar confusión, es menester trazar la recta entre los puntos que ya marcamos antes de que continuemos representando los nuevos puntos de la segunda función sobre el plano.
Luego de trazar la recta entre los tres puntos podremos seguir marcando los siguientes.
También a estos puntos los uniremos formando una recta.


Consejos para tener éxito y evitar confusión:

Recuerda que en el primer paso habías aislado la Y para poder trabajar cómodamente. Para no confundirte escribe junto a cada ecuación original en el plano cartesiano la ecuación aislada. De este modo podrás saber qué ecuación aislada es igual a la original.
Siempre conviene utilizar colores diferentes para cada función en el plano cartesiano. Pinta la ecuación y su gráfica del mismo color. De este modo podrás distinguir las funciones con suma facilidad y verlas con el color correspondiente sobre la gráfica.
Además, anota junto a cada recta creada la ecuación concordante para saber con facilidad qué recta pertenece a cada función.

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

¡Perfecto! Ahora, luego de haber representado las ecuaciones a través del método gráfico podrás hallar fácilmente la solución de la ecuación.
¿Recuerdas que habíamos dicho que la solución de un sistema de ecuaciones es, de hecho, un par de X y Y que cumplen paralelamente con las condiciones de las ecuaciones?
¿Podrías ahora evaluar qué punto en la gráfica cumple con ambas condiciones?
¡Claramente es el punto de intersección de los gráficos! El punto de intersección es coincidente a ambas ecuaciones lo que implica que la X y la Y cumplen con ambas condiciones requeridas.
En la ilustración podrás ver los valores de la X y de la Y en el punto de intersección y así encontrar la solución a través del método gráfico.
En nuestro ejemplo, la solución del sistema de ecuaciones es x=1 y=4
que es, claramente, el punto de intersección de las funciones que trazamos.

imagen 2 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas


Información útil:

En dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede ocurrir que, éstas tengan infinitas soluciones cuando las rectas se superponen una encima de la otra o que, no tengan ninguna solución si las rectas fueran paralelas y, por tanto, nunca se cruzarían o bien, que tengan una única solución si las rectas se cortan en un solo punto.
Las ecuaciones lineales con dos incógnitas no pueden cortarse en más de un punto, por consiguiente, no puede haber 2 o 3 soluciones.
(a excepción del caso en el que las rectas se superponen coincidiendo en todos sus puntos y entonces habría infinitas soluciones)


Ahora que ya sabes qué es una ecuación lineal con dos incógnitas y sabes qué es un sistema de ecuaciones lineales y aparte, ya has aprendido el método gráfico para hallar la solución, todo lo que te queda por hacer es practicar el método para poder llevarlo a cabo rápidamente y de forma natural.
Evidentemente, hay otros métodos para encontrar la solución del sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, nosotros estamos aquí para presentártelos.
En ciertos casos podrás decidir qué método utilizar y claramente siempre llegarás al mismo resultado, en otros se te podría pedir en algún examen hacerlo con un método específico.
De un modo u otro, con Tutorela tendrás todas las herramientas necesarias para llegar a la solución apropiada.