Casos de ecuaciones especiales

Hasta ahora hemos visto ecuaciones con una sola solución \(x=a\) Cuando \(a\) es algún número. Por ejemplo \(x=3\) o \(x=2.5\)

Ahora conoceremos otros tipos de ecuaciones: 

  • Ecuaciones cuya solución es del tipo 0=0, o sea, tienen infinitas soluciones
  • Ecuaciones cuya solución es del tipo 0=a (donde a representa algún número). Estas ecuaciones no tienen solución.

Por ejemplo:

\(3x+3=3x-5\)

\(3x+3=3x-5\)

\(3=-5\)

En esta fase queda claro que es falso, por lo tanto, la ecuación no tiene solución, pero, para demostrarlo claramente añadiremos 5 a cada miembro de la ecuación. Obtendremos:

\(0=3\)

Enunciado falso de la forma \(a=0\)lo que significa que la ecuación no tiene solución. Es decir, ningún número que coloquemos en la ecuación podría dar un enunciado verdadero.

En este artículo veremos muchos ejemplos y casos diversos de ecuaciones especiales.


Hasta ahora hemos visto ecuaciones con una sola solución. Por ejemplo, ecuaciones de este tipo:

\( 3x=8x-5\)
\(5x=5\)
\(x=1\)
Esta ecuación no tiene una sola solución, \(x=1\)

Hoy conoceremos un nuevo tipo de ecuaciones. Ecuaciones con infinitas soluciones o ecuaciones sin ninguna solución. 


Ejemplo 1: Ecuación sin solución

\(3x+3=3x-5\)

\(3x+3=3x-5\)

\(3=-5\)

Éste es un enunciado falso, lo que significa que la ecuación no tiene solución. Es decir, ningún número que coloquemos en la ecuación podría dar un enunciado verdadero.


Ejemplo 2: Ecuación sin solución

\(2(2x+1)-1=4x-2\)

\(4x+2-1=4x-2\)

\(1=-2\)

Nuevamente se obtiene un enunciado falso. O sea, esta ecuación tampoco tiene solución.


Ejemplo 3: Ecuación sin solución con conjunto solución

\(\frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{x-2}\)

Primeramente, como en todos los casos en los que tenemos una variable en el denominador, averiguaremos cuál es el conjunto solución.

Debemos corroborar que el denominador no equivalga a 0. En este caso queda claro que el conjunto solución es

\(x≠2\)

Ahora continuaremos con el ejercicio. Multiplicaremos ambos miembros de la ecuación por el denominador y obtendremos:

\( \frac{x-1}{x-2}=\frac{1}{\left(x-2\right)} \)

\(x-1=1\)

\(x=2\)

Es decir, nos dio por resultado \(x=2\). Sin embargo, recordemos nuestro conjunto solución que es

\(x≠2\)

Eso quiere decir que el resultado que obtuvimos no se encuentra dentro del conjunto solución. Por consiguiente, tampoco este ejercicio tiene solución. Este ejercicio remarca por qué es tan importante que siempre controlemos el conjunto solución.


Ejemplo 4 - Ecuación con infinitas soluciones

Ahora veremos una ecuación que tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, observemos la ecuación 

\(\frac{3x}{2}+3+x=2.5+3\)

Deshagámonos del denominador y restemos 3 de los dos miembros:

\( \frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3 \)

\(3x+2x=5x\)

\(0=0\)
Obtendremos la solución \(0=0\) lo que implica que hay infinitas soluciones para esta ecuación. En este caso toda \(x\) que elijamos colocar soluciona la ecuación. Demostrémoslo. Coloquemos, por ejemplo \(x=1\)

\(\frac{3x}{2}+3+x=2.5x+3\)

pongamos \(x=1\) y obtendremos

\(\frac{3\times 1}{2}+3+1=2.5\times 1+3\)

\(\frac{3}{2}+3+1=2.5+3\)

\(\frac{3}{2}+4=5.5\)

\(5.5=5.5\)

éste realmente es un enunciado verdadero. De modo similar, también toda otra \(x\) que coloquemos dará un enunciado verdadero. Hora pruébalo tú. Pon \(x=2\) por ejemplo, o cualquier otro número.


Ejemplo 5 - Ecuación con infinitas soluciones con conjunto solución

\(\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3\)

Ésta es una ecuación con una variable en el denominador. Por lo tanto, primero debemos anotar cuál es el conjunto solución. Recordemos que el denominador no puede tener el valor de 0. Veamos el conjunto solución:

\(3x-2 ≠ 0\)

\(x≠\frac{2}{3}\)

Escribámoslo de forma clara: El conjunto solución es 
\(x≠\frac{2}{3}\)
Ahora regresemos a la ecuación original

\(\frac{3(3x-2)}{3x-2}=3\)

Podemos multiplicar los dos miembros por el denominador, pero obviamente conviene que reduzcamos el numerador y el denominador. Obtendremos:

\( \frac{3\left(3x-2\right)}{3x-2}=3 \)

Obtendremos 

\(1=1\)

Es decir, vemos que esta ecuación tiene infinitas soluciones. Ahora recordemos nuestro conjunto solución
\(x≠\frac{2}{3}\)

Por lo tanto, para esta ecuación estará bien toda X a excepción de 2/3. Lo anotaremos así:
Solución:\(x≠\frac{2}{3}\)

Podrás verificarlo si anotas, por ejemplo 
\(x=2\)

  • cualquier otro número que se encuentre dentro del conjunto solución. 

¡Recuerda! Controlemos siempre el conjunto solución al comenzar el ejercicio y luego, al finalizarlo, verifiquemos la respuesta respecto a él.


Para concluir, podremos anotar:

  • Primero siempre averiguaremos cuál es el conjunto solución.
  • Si nos da un resultado del tipo \(0=0\) quiere decir que nuestra ecuación tiene infinitas soluciones.
  • Si nos da un resultado del tipo \(a=0\) (a es todo número distinto de cero), es decir, obtuvimos un enunciado falso. En tal caso, la ecuación no tiene solución.