Desigualdad (con valor absoluto)

Desigualdad

Cuando te encuentres con signos como \( < \) o ,\( > \) Sabrás que es desigualdad.
El resultado de la desigualdad será un cierto rango de valores que tendrás que encontrar. /> Una regla importante a tener en cuenta: cuando duplicas o divides los dos lados de la operación, el signo de la desigualdad se invierte!

Desigualdad con valor absoluto

Podemos resolver desigualdades con valor absoluto de 2 formas:
En el método geométrico y en el método algebraico.

El método geométrico

  • Trazaremos un eje numérico, y marcaremos el punto desde el que nos interesa la distancia a x. 
  • Luego encontramos los puntos cuya distancia desde el punto relevante es exactamente la distancia que aparece en la condición
  • Ahora, prestemos atención a la condición: & gt; o < Y encontraremos los resultados.

El método algebraico

Para resolver la desigualdad con valor absoluto en el método algebraico, dividiremos en dos casos.
En el primer caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es positiva y mayor que cero.
En el segundo caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es negativa, menor que cero.

Luego, volveremos a la desigualdad original y la dividiremos en dos casos también.
En el primer caso, podemos simplemente reducir el valor absoluto (ya que es una expresión positiva) y resolver la desigualdad en de la manera común.
En el segundo caso, tendremos que quitar el menos por fuera de la expresión para deshacernos del valor absoluto, abrir paréntesis y luego resolver la desigualdad.

Encontraremos para cada caso los valores que también cumplan las condiciones - el dominio común para cada caso.
Para hacer esto, trazaremos un eje numérico y marcaremos los campos en consecuencia.

Ahora encontramos todos los valores de x que tienen los dominios comunes, todos los valores que están en este dominio tienen la desigualdad.


Desigualdad

Ejemplo para solucionar desigualdades:
\(3x+2<4x-13\)
Moveremos la sección:
\(-x<-15\)
Divide por 1 las dos secciones y recuerda convertir el signo de desigualdad de la siguiente manera:
\(x>15\)
Hemos llegado a la solución de la desigualdad. Encontramos todos los valores de x que satisfacen la desigualdad.
El significado del resultado es que cuando establecemos cualquier x mayor que 15, la desigualdad existirá.


El método geométrico

Regla básica:
│x-a│ = la distancia entre x y a.

Para resolver la desigualdad con valor absoluto en el método geométrico, necesitaremos encontrar todos los valores que la distancia entre ellos y a satisfaga la condición.
¿Cómo hacemos eso?
Veremos la solución a través del ejemplo:
\( │x-3│<7\)
Se nos pregunta, cuales son los valores de x, cuya distancia entre ellos es 3, menor que 7.
Trazamos un eje numérico, y marcamos el punto del que nos interesa la distancia a x. En este ejemplo - 3.
Luego encontraremos los puntos cuya distancia desde el punto relevante (en este ejemplo - 3) es exactamente la distancia que aparece en la condición (en este ejemplo la distancia es 7) y lo marcaremos en un color diferente.

imagen Desigualdades (con valor absoluto) en el método geométrico

Ahora, prestemos atención a la condición: & gt; o <. En este ejemplo, necesitamos encontrar los puntos cuya distancia de 3 es menor que 7.
Es decir, todos los valores entre 10 y -4.
Los marcaremos en la figura y el resultado será: \( -4<X<10\)
 Si la desigualdad fuera la misma solo con el 7 & lt; , el resultado es 
\( x>10\)  o  \(x<-4\)
Ya que estos son los valores cuya distancia de 3 es mayor que 7.


El método algebraico

Tomaremos la misma desigualdad que resolvimos de forma geométrica y la resolveremos ahora de forma algebraica:
Para resolver la desigualdad con valor absoluto en el método algebraico, dividiremos en dos casos.
\(│x-3│<7\)
En el primer caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es positiva y mayor a cero.
En el segundo caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es negativa, menor que cero.
Resolveremos las desigualdades que hemos recibido.

Primer caso:
\(X-3\ \geq 0 \)
Es decir
\(X\ \geq3\)

Segundo caso:
\(X-3<0\)
Es decir
\(X<3\)

Luego, volveremos a la desigualdad original y la dividiremos en dos casos también.
En el primer caso, simplemente podemos reducir el valor absoluto (ya que es una expresión positiva) y resolver la desigualdad de la manera común.
En el segundo caso, tendremos que quitar un menos por fuera de la expresión para deshacernos del valor absoluto, abrir paréntesis y luego resolver la desigualdad.
Marcaremos las soluciones finales con un color diferente.

Continuamos con el primer caso:
\(X-3<7\)
\(X<10\)

Continuamos con el segundo caso:
\(-(X-3)<7\)
\(-X+3<7\)
\(-X<4\)
\(X<-4\)

¡Presta atención! No hemos terminado la solución.
Para continuar, encontraremos en cada caso los valores que también cumplen las condiciones: el dominio común para cada caso.
Para hacer esto, trazaremos un eje numérico y marcamos los dominios en consecuencia cuando un punto completo incluye el número y un punto vacío no incluye el número.
Después de marcar los dominios, encontramos el dominio común para los dos dominios y lo marcamos con un color diferente.

imagen Marca de los dos dominios del primer caso y encuentro del dominio común

Dominio común:
\(-4<X<3\)

imagen 3 Desigualdad

Dominio común:
\(3\ \leq X>10\)

Y de nuevo... aún no hemos terminado.
Ahora encontraremos todos los valores de x que contienen el dominio común (amarillo) del primer caso o el dominio común (amarillo) del segundo caso.

Trazaremos de nuevo el eje numérico y lo podremos ver fácilmente:

Desigualdad (con valor absoluto) En el método algebraico

Podemos ver que esta solución a la desigualdad es \(-4<X<10\)
Todos los valores que están en este campo mantienen la desigualdad.
Tenga en cuenta que obtuvimos el mismo resultado tanto en la forma algebraica como en la geométrica.
Por supuesto, no importa la forma que elija, si sigues los pasos y no te equivocas, llegarás a la respuesta correcta de una forma u otra.