Inequations (con valor absoluto)

🏆Ejercicios de desigualdad con valor absoluto

Desigualdad

Cuando te encuentres con signos como < < o ,> > Sabrás que es desigualdad.
El resultado de la desigualdad será un cierto rango de valores que tendrás que encontrar.

Una regla importante a tener en cuenta: cuando duplicas o divides los dos lados de la operación, el signo de la desigualdad se invierte!

Desigualdad con valor absoluto

Podemos resolver desigualdades con valor absoluto de 2 2 formas:
En el método geométrico y en el método algebraico.

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einstein

Dado:

\( \left|x+4\right|>13 \)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?

Quiz y otros ejercicios

El método geométrico

  • Trazaremos un eje numérico, y marcaremos el punto desde el que nos interesa la distancia a X X
  • Luego encontramos los puntos cuya distancia desde el punto relevante es exactamente la distancia que aparece en la condición
  • Ahora, prestemos atención a la condición: > > o < < Y encontraremos los resultados.

El método algebraico

Para resolver la desigualdad con valor absoluto en el método algebraico, dividiremos en dos casos.
En el primer caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es positiva y mayor que cero.
En el segundo caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es negativa, menor que cero.

Luego, volveremos a la desigualdad original y la dividiremos en dos casos también.
En el primer caso, podemos simplemente reducir el valor absoluto (ya que es una expresión positiva) y resolver la desigualdad en de la manera común.
En el segundo caso, tendremos que quitar el menos por fuera de la expresión para deshacernos del valor absoluto, abrir paréntesis y luego resolver la desigualdad.

Encontraremos para cada caso los valores que también cumplan las condiciones - el dominio común para cada caso.
Para hacer esto, trazaremos un eje numérico y marcaremos los campos en consecuencia.

Ahora encontramos todos los valores de X X que tienen los dominios comunes, todos los valores que están en este dominio tienen la desigualdad.


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Desigualdad

Ejemplo para solucionar desigualdades:
3x+2<4x133x+2<4x-13
Moveremos la sección:
x<15-x<-15
Divide por 1 las dos secciones y recuerda convertir el signo de desigualdad de la siguiente manera:
x>15x>15
Hemos llegado a la solución de la desigualdad. Encontramos todos los valores de X X que satisfacen la desigualdad.
El significado del resultado es que cuando establecemos cualquier X X mayor que 15 15 , la desigualdad existirá.


El método geométrico

Regla básica:
xa= │x-a│ = la distancia entre X X y a a .

Para resolver la desigualdad con valor absoluto en el método geométrico, necesitaremos encontrar todos los valores que la distancia entre ellos y a satisfaga la condición.
¿Cómo hacemos eso?
Veremos la solución a través del ejemplo:
x3<7 │x-3│<7
Se nos pregunta, cuales son los valores de X X , cuya distancia entre ellos es 3 3 , menor que 7 7 .
Trazamos un eje numérico, y marcamos el punto del que nos interesa la distancia a X X . En este ejemplo 3 -3 .
Luego encontraremos los puntos cuya distancia desde el punto relevante (en este ejemplo 3 -3 ) es exactamente la distancia que aparece en la condición (en este ejemplo la distancia es 7 7 ) y lo marcaremos en un color diferente.

imagen Desigualdades (con valor absoluto) en el método geométrico

Ahora, prestemos atención a la condición: > > O < < . En este ejemplo, necesitamos encontrar los puntos cuya distancia de 3 3 es menor que 7 7 .
Es decir, todos los valores entre 10 10 y 4 -4 .
Los marcaremos en la figura y el resultado será: 4<X<10 -4<X<10
 Si la desigualdad fuera la misma solo con el 7>7> , el resultado es 
x>10 x>10  o  x<4x<-4
Ya que estos son los valores cuya distancia de 3 3 es mayor que 7 7 .


¿Sabes cuál es la respuesta?

El método algebraico

Tomaremos la misma desigualdad que resolvimos de forma geométrica y la resolveremos ahora de forma algebraica:
Para resolver la desigualdad con valor absoluto en el método algebraico, dividiremos en dos casos.
x3<7│x-3│<7
En el primer caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es positiva y mayor a cero.
En el segundo caso, consideraremos que la expresión en el valor absoluto es negativa, menor que cero.
Resolveremos las desigualdades que hemos recibido.

Primer caso:
X3 0X-3\ \geq 0
Es decir
X 3X\ \geq3

Segundo caso:
X3<0X-3<0
Es decir
X<3X<3

Luego, volveremos a la desigualdad original y la dividiremos en dos casos también.
En el primer caso, simplemente podemos reducir el valor absoluto (ya que es una expresión positiva) y resolver la desigualdad de la manera común.
En el segundo caso, tendremos que quitar un menos por fuera de la expresión para deshacernos del valor absoluto, abrir paréntesis y luego resolver la desigualdad.
Marcaremos las soluciones finales con un color diferente.

Continuamos con el primer caso:
X3<7X-3<7
X<10X<10

Continuamos con el segundo caso:
(X3)<7-(X-3)<7
X+3<7-X+3<7
X<4-X<4
X<4X<-4

¡Presta atención! No hemos terminado la solución.
Para continuar, encontraremos en cada caso los valores que también cumplen las condiciones: el dominio común para cada caso.
Para hacer esto, trazaremos un eje numérico y marcamos los dominios en consecuencia cuando un punto completo incluye el número y un punto vacío no incluye el número.
Después de marcar los dominios, encontramos el dominio común para los dos dominios y lo marcamos con un color diferente.

imagen Marca de los dos dominios del primer caso y encuentro del dominio común

Dominio común:
4<X<3-4<X<3

imagen 3 Desigualdad

Dominio común:
3 X>103\ \leq X>10

Y de nuevo... aún no hemos terminado.
Ahora encontraremos todos los valores de X X que contienen el dominio común (amarillo) del primer caso o el dominio común (amarillo) del segundo caso.

Trazaremos de nuevo el eje numérico y lo podremos ver fácilmente:

Desigualdad (con valor absoluto) En el método algebraico

Podemos ver que esta solución a la desigualdad es 4<X<10-4<X<10
Todos los valores que están en este campo mantienen la desigualdad.
Tenga en cuenta que obtuvimos el mismo resultado tanto en la forma algebraica como en la geométrica.
Por supuesto, no importa la forma que elija, si sigues los pasos y no te equivocas, llegarás a la respuesta correcta de una forma u otra.


Ejemplos y ejercicios con soluciones de inequations (con valor absoluto)

Ejercicio #1

Resuelva la siguiente desigualdad:

5x+8<9

Solución en video

Solución Paso a Paso

Esta es una consigna de desigualdad. La desigualdad es en realidad un ejercicio que resolvemos de forma completamente normal, excepto en el caso de que multipliquemos o dividamos por menos.

Comencemos moviendo las secciones:

5X+8<9

5X<9-8

5X<1

Dividimos por 5:

X<1/5

¡Y esta es la solución!

 

Respuesta

x<\frac{1}{5}

Ejercicio #2

Resuelve la desigualdad:

5-3x>-10

Solución en video

Solución Paso a Paso

Las ecuaciones de desigualdad se resolverán como una ecuación regular, excepto por una regla,

Si multiplicamos toda la ecuación por el menos, invertiremos la desigualdad.

 

Empezamos por mover las secciones, de modo que un lado tenga las incógnitas y el otro no:

-3x>-10-5

-3x>-15

Dividimos por 3

-x>-5

Dividimos por menos 1 (para deshacernos del menos) y recordemos invertir el signo de la ecuación.

x<5

Respuesta

5 > x

Ejercicio #3

¿Qué dibujo es adecuado para expresar la solución de la desigualdad? 5-8x<7x+3

Solución en video

Solución Paso a Paso

Primero moveremos los elementos:

5-8x>7x+3

5-3>7x+8x
2>13x

Dividimos la respuesta por 13, y obtenemos:

x > \frac{2}{13}

Respuesta

Ejercicio #4

¿Cuál es la solución de la siguiente desigualdad?

10x43x8 10x-4≤-3x-8

Solución en video

Solución Paso a Paso

En el ejercicio tenemos una ecuación de desigualdad.

Tratamos la desigualdad como una ecuación con el signo -=,

Y solo nos referimos a él si necesitamos multiplicar o dividir por 0.

 10x43x8 10x-4 ≤ -3x-8

Comenzamos ordenando las secciones:

10x+3x48 10x+3x-4 ≤ -8

13x48 13x-4 ≤ -8

13x4 13x ≤ -4

Dividir por 13 para aislar la X

x413 x≤-\frac{4}{13}

Veamos de nuevo las opciones que se nos han preguntado:

La respuesta A es con datos diferentes y por lo tanto fue rechazada.

La respuesta C muestra un caso donde X es mayor que413 -\frac{4}{13} , si bien sabemos que es pequeño, por lo que está rechazada.

La respuesta D muestra un caso (según el círculo blanco) donde la X no es igual a413 -\frac{4}{13} , y sólo más pequeño que él. Sabemos que debe ser grande e igual, por lo que se rechaza esta respuesta.

 

¡Por lo tanto la respuesta B es la correcta!

Respuesta

Ejercicio #5

Resuelve la desigualdad:

8x+a < 3x-4

Solución en video

Solución Paso a Paso

Para resolver una ecuación de desigualdad, al igual que una ecuación normal, intentamos aislar la incógnita (X).

Es importante señalar que en esta ecuación hay dos variables (X y a), por lo que es posible que no lleguemos a un resultado final.

 8x+a<3x-4

Movemos las secciones

8x-3x<-4-a

Reducimos los términos

5x<-4-a

Dividimos por 5

x< -a/5 -4/5

¡Y esta es la solución!

 

Respuesta

x < -\frac{1}{5}a-\frac{4}{5}

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