Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las que la incógnita aparece con potencia.
Cuando encontremos una ecuación exponencial, intentaremos resolverla mediante el camino más apropiado.

Método de bases idénticas

El método se basa en el principio que dice que cuando 
\(a^x=a^y\)
Entonces 
\(x=y\)

Es decir, si llegamos a una situación en la que las bases son idénticas, podemos comparar fácilmente las potencias y encontrar la incógnita que estamos buscando.
Si no pudimos llegar a las mismas bases, pasaremos al segundo método:


Método de la ecuación cuadrática y colocación de t.

En este método usamos la colocación para reemplazar elementos con los que es incómodo trabajar por elementos con los que sabemos cómo tratar.
Para que este método funcione, debemos llevar la función a una forma específica.
Tendremos que llevar nuestro ejercicio a un estado donde haya un elemento, el mismo elemento cuadrático y un número libre (sin incógnitas).
Una vez que lleguemos a este estado, usaremos un jugador de potencia - \(t\) Y lo colocaremos en el lugar del elemento que tenemos con una incógnita potencia.
Así, llegaremos a una ecuación cuadrática común que podremos resolver fácilmente.

Si no pudiéramos obtener las mismas bases, recurriremos al segundo método:
Resolviendo ecuaciones exponenciales usando una ecuación cuadrática y colocando t

Así tendremos que llevar nuestro ejercicio a un estado en el que haya un elemento, el mismo al cuadrado y un número libre (sin incógnita).
\((A^x )^2+B\times A^x+C=0\)

Una vez que lleguemos a este estado, usaremos un jugador de refuerzo -t y lo colocaremos en el lugar del elemento que tenemos con una incógnita potencia.
\(t^2+Bt+C=0\)
De esa forma, obtendremos una ecuación cuadrática estándar que podremos resolver fácilmente.
¡Importante! La solución de la ecuación cuadrática no es el resultado final del ejercicio.
No olvidaremos colocar los valores de las\(t \) que encontramos para encontrar los valores de incógnita que estamos buscando- \(x\).


Método de bases idénticas - ejemplo

¿Cómo llegamos a un punto donde hay bases idénticas? Descompondremos los números correctamente para los factores primarios.

Por ejemplo:
\(8^x=2^{x+2}\)

Podremos descomponer a 8 en factores y obtener así que:
\(8=2^3\)
por lo tanto:
\((2^3 )^x=2^{x+2}\)

Según las propiedades de potencias obtenemos que:
\(2^{x+2}=2^{3x}\)

¡Hemos llegado a un punto en el que los bases son idénticas! Ahora podemos comparar las potencias y encontrar la x.

\(3x=x+2\)
\(2x=2\)
\(x=1\)


Método de ecuación cuadrática y colocación de t - ejemplo

Para llevar la ecuación a un estado donde haya un elemento, el mismo al cuadrado y un número libre, necesitaremos usar las propiedades de las potencias.
Recordaremos las siguientes reglas de potencias:

\((a^n )^m=a^{n\times m}\)

\(a^{n+m}=a^n\times a^m\)

Tomaremos el siguiente ejemplo:
\(4^{2x}+4^{x+1}=0\)
Para llevar la ecuación a un estado donde hay un elemento, el mismo miembro al cuadrado y un número libre, tendremos que usar reglas de potencias.
De acuerdo con las leyes de potencias podemos decir que:
\(4^{2x}=(4^x)^2\)
De hecho, aislamos a \(4^x \) Y mostramos que era cuadrática.

Tomaremos también a \(4^{x+1}\)
De acuerdo con las leyes de potencia, se puede decir que:
\(4^{x+1}=4\times 4^x\)

Ahora, reescribamos la misma ecuación con los datos que recibimos y obtenemos:

\((4^x )^2+4\times 4^x=0\)


Ahora, colocamos a  \( t\) En lugar del elemento con una potencia incógnita.
Digamos que: \(t=4^x\)
Cada vez que utilicemos a \(4^x\) Colocamos en su lugar, \(t\)
Ahora, nuestra ecuación será más simple y se verá así:

\(t^2+4\times t=0\)
De hecho, ¡tenemos una ecuación cuadrática simple!
Resuelva y obtenga que:
\(t^2+4t=0\)
\(t=-4, t= 0\)


¡Presta atención!! ¡Esta no es nuestra respuesta final!
Hemos encontrado la t y no la incógnita que estamos buscando -\(x\).
Para encontrar a \(x\) Colocamos en la ecuación \(t=4^x\)   los resultados que obtuvimos.
¡Atentos! Ambas soluciones fueron rechazadas porque la potencia para un número que no es 0 No se puede dar 0.
La segunda solución es -4 descalificada porque una potencia para un número positivo siempre da un resultado positivo.

¡Por lo tanto no hay resultado!