Hallar ecuación lineal

🏆Ejercicios de encontrar la ecuación de una línea recta

Hallar una ecuación lineal es en realidad graficar la función lineal usando \( y=mx+b \) o \( y=mx \)

Podemos hallar la ecuación lineal de \( 5 \) maneras:

  • Utilizando un punto en la recta y la pendiente de la recta.
  • Utilizando dos puntos que se encuentran en la recta.
  • Utilizando la gráfica de la propia función.
  • Utilizando rectas paralelas, es decir, si la recta solicitada es paralela a otra recta y conocemos la pendiente de la otra recta.
  • Utilizando rectas perpendiculares, es decir, si la recta solicitada es perpendicular a otra recta y conocemos la pendiente de la otra recta.

Las tres primeras secciones se basan de una forma u otra en la fórmula general para hallar la ecuación lineal:

\( y-y1=m\times\left(x-x1\right) \)

Las dos últimas secciones también utilizan esta fórmula, pero además tienen en cuenta dos reglas adicionales: 

  • Para las rectas paralelas, las pendientes son iguales, es decir \( m1=m2 \)
  • Para rectas perpendiculares, para las pendientes existe \( m1\times m2=-1 \)
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¡Pruébate en encontrar la ecuación de una línea recta!

Halle la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos \( (-2,-6),(4,12) \)

Quiz y otros ejercicios

Hallar ecuación lineal

La primera forma: mediante la pendiente y el punto.

Reemplazamos en la ecuación lineal \( y=mx+b \)
La pendiente dada \( m \) y los valores del punto dado. Así es como hallaremos a \( b \) y podemos hallar la ecuación lineal.

Ejemplo:

Dado un punto por donde pasa la recta: \( \left(2,4\right) \) y la pendiente: \( -2 \)
Halle la ecuación lineal.

Solución:

Reemplazamos en la ecuación lineal la pendiente y el punto dado:
\( 4=-2\times2+b \)

Obtenemos:
\( 4=-4+b \)
Hallar a \( b \)  
\( b=8 \)

Ahora, tenemos tanto la pendiente dada en la pregunta como \( b \) .
Podemos determinar que la ecuación lineal es:
\( y=-2x+8 \)

La segunda forma: mediante los dos puntos

De esta manera, primero hallaremos la pendiente usando \( 2 \) puntos de acuerdo con la fórmula.
Después de eso, hallaremos la ecuación lineal usando la primera forma (mediante la pendiente y el punto)
La fórmula para encontrar la pendiente usando \( 2 \) puntos es:

\( m=\frac{\left(Y2-Y1\right)}{\left(X2-X1\right)} \)

Ejemplo:

Dados los dos puntos siguientes por los que pasa la recta:
\( \left(3,7\right),\left(6,1\right) \)
Halla la ecuación lineal.

Solución:
Primero halla la pendiente usando la fórmula. Reemplaza los puntos dados y obtendrás:

\( m=\frac{1-7}{6-3} \)

\( m=\frac{-6}{3} \)

\( m=-2 \)

Ahora que hemos hallado la pendiente, podemos usar la primera forma. Elegiremos un punto de entre los dados y colocaremos la pendiente y el punto elegido en la plantilla de la ecuación lineal. 

Obtenemos:

\( 7=-2\times3+b \)

\( 7=-6+b \)

\( B=13 \)

Ahora, tenemos tanto la pendiente que hallamos como \( b \), y podemos determinar que la ecuación lineal es:
\( y=-2x+13 \)



La tercera forma: mediante rectas paralelas

Cuando se le da una recta paralela a otra recta que está buscando, debe saber que la pendiente de la recta paralela es la misma que la recta que está buscando. Por lo tanto, puede tomar la pendiente de la recta paralela y suponer que es la pendiente de la línea que está buscando. Presta atención: puede identificar la pendiente solo en una ecuación explícita donde Y está aislado, se encuentra solo en un lado de la ecuación y su coeficiente es \( 1 \).

Por lo general, se le dará un punto y luego podrá hallar la ecuación lineal usando un punto y una pendiente
(la primera forma).

Ejemplo:

Halla la ecuación lineal que pasa por el punto: \( \left(6,5\right) \) y paralela a la recta \( y=3x-7 \)

Solución:

Se nos da que la recta es paralela a la recta \( y=3x-7 \).
Esta dato nos dice que la pendiente de nuestra recta es la misma pendiente que la recta correspondiente, y por tanto la pendiente de la ecuación de la recta que buscamos es \( 3 \).
Ahora, tenemos la pendiente \( 3 \) y el punto \( 5,6 \).
Reemplazamos la tabla de la ecuación lineal, encontraremos \( b \) y así encontraremos la ecuación lineal (la primera forma).

¡Presta atención!
Extrajimos fácilmente la pendiente ya que la ecuación de la recta paralela es explícita \( Y \) se encuentra solo en un lado de la ecuación y su coeficiente es \( 1 \).
Si nos dan una ecuación no expresada, como esta, por ejemplo: \( 5=3y+6 \)
Deberemos llegar a una ecuación explícita: para aislar a \( Y \) completamente y solo entonces identifica la pendiente.


La cuarta forma: mediante rectas perpendiculares

El producto de las pendientes de rectas perpendiculares es \( -1 \) .
Por lo tanto, cuando nos dan una recta perpendicular a la recta que buscas, sabemos que el producto de las dos pendientes es \( -1 \) y así hallaremos la pendiente.

Ejemplo:

La recta solicitada es perpendicular a la recta \( y=2x-6 \)
¿Cuál es la pendiente de la recta requerida?

Solución:
Defina la pendiente de la recta solicitada como \(m \).
Como ambas rectas son perpendiculares, podemos extraer la pendiente de la recta perpendicular \( -2 \)
y escribe la ecuación en la que el producto de las dos pendientes sea igual a \( -1 \):

Obtenemos:

\( 2\times m=-1 \)

Halla a \(m \):
\( m=-0.5 \)

La pendiente de la recta requerida es \( -0.5 \) .
Ahora, hallaremos la ecuación de la recta según la pendiente y el punto dado.

Nota:

Aquí también, es importante que observe primero que expresa la ecuación de la línea perpendicular. 

La quinta forma: mediante la gráfica

Cuando te den la gráfica de la función, puedes encontrar la ecuación lineal.
Primero, elige \(2 \) puntos en la gráfica.
Así, encontrarás la pendiente de la función (según la segunda manera).
Luego, halla la ecuación lineal de acuerdo con cualquier punto que elijas, que la línea recta pasa a través de él y, por supuesto, la pendiente que encontraste (la primera manera).


Ejemplo de hallar ecuación lineal

Dados dos pares de rectas:

\( Y=3X+2 \)

\( Y=3X-5\)

\( Y=2X-6 \)

\( Y=-0.5X+9 \)

El primer par es un par de rectas paralelas porque las pendientes \( m1=m2=3 \) son iguales.

El segundo par es un par de rectas perpendiculares porque sus pendientes se mantienen \( 2\times-0.5=-1 \)Es decir, \( m1\times m2=-1 \)



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