Función lineal

Una función lineal, como se le llama, es una expresión algebraica que representa la gráfica de una línea recta.

Cuando hablamos de funciones, es importante resaltar que las gráficas de las funciones se representan en un sistema de ejes donde existe un eje horizontal $X$ y un eje vertical $Y$.  

Las funciones lineales se pueden expresar mediante las expresiones $y = mx$ o$y = mx + b$, donde m representa la pendiente de la línea mientras que $b$ (cuando existe) representa el punto de intersección con el eje $Y$. 

Para trazar una función lineal, todo lo que necesitamos son $2$ puntos. Si se da la función lineal, puede colocar un valor en lugar de $X$ y obtener el valor de $Y$ correspondiente.

Función lineal

Una función lineal es de la familia de funciones $Y=mx+b$ y representa una línea recta.

$m$

Marcamos la pendiente de la función: positiva o negativa.

$m>0$ : línea ascendente

$m<0$  : línea descendente

$m=0$ : una línea paralela al eje $X$.

$b$

Marca el punto de intersección de la función con el eje $Y$.

Puntos importantes:

Para cada valor de $X$, la función devolverá un valor de $Y$.

La función lineal es una línea recta ascendente, descendente o paralela al eje $X$, pero nunca paralela al eje $Y$.

Observemos la línea de izquierda a derecha.

Diferentes representaciones de la función lineal:

$Y=mx+b$  : representación estándar

$Y=mx$ : (cuando $b=0$, la línea corta el eje $Y$ al principio de los ejes, cuando $Y=0$)

$Y=b$ (cuando $a=0$, la pendiente de la recta es $0$ y por lo tanto paralela al eje $X$)

Presta atención:

A veces, encontrarás una ecuación que no está ordenada y se parece a esto $mx-y=b$

Esta es también una función lineal. Simplemente aísle $Y$ y vea cómo llega a la representación estándar.

A veces, $X$ se dividirá por algún número $C$:

$Y=\frac{mx}{c}+b$

Esta ecuación también representa una función lineal.

¿Cuándo una función no es una función lineal?

• Cuando para $X$ tiene potencia: $Y=X^2$
• Cuando hay una raíz para: $Y=\sqrt{X}​$
• Cuando no hay $Y: X=b$

Representación gráfica de una función que representa una relación recta

La función lineal aparecerá como una línea recta ascendente, descendente o paralela al eje $X$ pero nunca paralela al eje $Y$.

Por cada valor de $X$ obtendremos solo un valor de $Y$ y viceversa.

Observamos la línea de izquierda a derecha y veremos si asciende o desciende.

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El concepto de pendiente en la función $y=mx$

$M$ representa para nosotros la pendiente de la función y determina si la línea recta sube, baja o es paralela al eje $X$.

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La función lineal $y=mx+b$

La función lineal representa una línea recta donde $M$ representa la pendiente y $b$ representa los puntos de intersección de la línea con el eje $Y$.

Encontrar la ecuación de una línea recta

Podemos encontrar la ecuación de una línea recta de 5 maneras:

• Usando pendiente y punto
• Con la ayuda de 2 puntos por los que pasa la recta.
• Utilizando rectas paralelas.
• Con la ayuda de líneas perpendiculares.
• Con la ayuda de un gráfico.

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Positividad y negatividad de una función

La función es positiva cuando está por encima del eje $X$ cuando $Y>0$

Encuentre los valores de $X$ para los cuales la función acepta valores de Y positivos.

La función es negativa cuando está debajo del eje $X$ como $Y>0$

Encuentre los valores de $X$ para los cuales la función acepta valores de $Y$ negativos.

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Representación de fenómenos mediante funciones lineales

Una función lineal describe la relación entre $X$ e $Y$.

Por lo tanto, podemos representar diferentes fenómenos con la ayuda de la función lineal.

Comprenderemos qué gráfico representa cada situación y sacaremos las conclusiones correctas.

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Desigualdad

Podemos resolver desigualdades entre funciones lineales de dos formas:

Mediante las ecuaciones dadas y con la ayuda de las representaciones gráficas.

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Ilustraremos esto con un ejemplo: 

Dada la función : $y = 2x + 1$

Se nos pide que lo dibujemos en el sistema de ejes.

Como ya hemos comentado, para ello necesitamos los dos puntos, que situaremos en la expresión de la función. Seleccione los dos puntos que queramos, sin importancia.

Ahora dibujaremos los dos puntos en el sistema de ejes y los conectaremos. Este es en realidad un gráfico de función para $y=2x+1$. 

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