Función lineal Una función lineal es de la familia de funciones Y = m x + b Y=mx+b Y = m x + b y representa una línea recta.
m m m Marcamos la pendiente de la función: positiva o negativa.
m > 0 m>0 m > 0 : línea ascendente
m < 0 m<0 m < 0 : línea descendente
m = 0 m=0 m = 0 : una línea paralela al eje X X X .
b b b Marca el punto de intersección de la función con el eje Y Y Y .
Puntos importantes:
Para cada valor de X X X , la función devolverá un valor de Y Y Y .
La función lineal es una línea recta ascendente, descendente o paralela al eje X X X , pero nunca paralela al eje Y Y Y .
Observemos la línea de izquierda a derecha.
Diferentes representaciones de la función lineal Y = m x + b Y=mx+b Y = m x + b : representación estándar
Y = m x Y=mx Y = m x : (cuando b = 0 b=0 b = 0 , la línea corta el eje Y Y Y al principio de los ejes, cuando Y = 0 Y=0 Y = 0 )
Y = b Y=b Y = b (cuando a = 0 a=0 a = 0 , la pendiente de la recta es 0 0 0 y por lo tanto paralela al eje X X X )
Presta atención:
A veces, encontrarás una ecuación que no está ordenada y se parece a esto m x − y = b mx-y=b m x − y = b
Esta es también una función lineal. Simplemente aísle Y Y Y y vea cómo llega a la representación estándar.
A veces, X X X se dividirá por algún número C C C :
Y = m x c + b Y=\frac{mx}{c}+b Y = c m x + b
Esta ecuación también representa una función lineal.
Comprueba tu conocimiento
¿Cuándo una función no es una función lineal? Cuando para X X X tiene potencia: Y = X 2 Y=X^2 Y = X 2 Cuando hay una raíz para: Y = X Y=\sqrt{X} Y = X Cuando no hay Y : X = b Y: X=b Y : X = b
Representación gráfica de una función que representa una relación recta La función lineal aparecerá como una línea recta ascendente, descendente o paralela al eje X X X pero nunca paralela al eje Y Y Y .
Por cada valor de X X X obtendremos solo un valor de Y Y Y y viceversa.
Observamos la línea de izquierda a derecha y veremos si asciende o desciende.
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El concepto de pendiente en la función y = m x y=mx y = m x
M M M representa para nosotros la pendiente de la función y determina si la línea recta sube, baja o es paralela al eje X X X .
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La función lineal y = m x + b y=mx+b y = m x + b La función lineal representa una línea recta donde M M M representa la pendiente y b b b representa los puntos de intersección de la línea con el eje Y Y Y .
¿Sabes cuál es la respuesta?
Ejercicio 2 a La función siempre positiva
Ejercicio 3 a Positivo \( x<3.5 \)
Negativo \( x>3.5 \)
b Positivo \( x>3.5 \)
Negativo \( x<0 \)
Encontrar la ecuación de una línea recta Podemos encontrar la ecuación de una línea recta de 5 maneras:
Usando pendiente y punto Con la ayuda de 2 puntos por los que pasa la recta. Utilizando rectas paralelas. Con la ayuda de líneas perpendiculares. Con la ayuda de un gráfico. ¿Quieres saber más? Ingresa a este artículo.
Positividad y negatividad de una función La función es positiva cuando está por encima del eje X X X cuando Y > 0 Y>0 Y > 0
Encuentre los valores de X X X para los cuales la función acepta valores de Y positivos.
La función es negativa cuando está debajo del eje X X X como Y > 0 Y>0 Y > 0
Encuentre los valores de X X X para los cuales la función acepta valores de Y Y Y negativos.
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Comprueba que lo has entendido
Ejercicio 1 a Positivo \( 7 > x \)
Negativo \( 7 < x \)
b Positivo \( 7 < x \)
Negativo \( 7 > x \)
Ejercicio 2 a \( x < -\frac{1}{5}a-\frac{4}{5} \)
Representación de fenómenos mediante funciones lineales Una función lineal describe la relación entre X X X e Y Y Y .
Por lo tanto, podemos representar diferentes fenómenos con la ayuda de la función lineal.
Comprenderemos qué gráfico representa cada situación y sacaremos las conclusiones correctas.
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Desigualdad Podemos resolver desigualdades entre funciones lineales de dos formas:
Mediante las ecuaciones dadas y con la ayuda de las representaciones gráficas.
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¿Crees que podrás resolverlo?
Ilustraremos esto con un ejemplo Dada la función : y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1
Se nos pide que lo dibujemos en el sistema de ejes.
Como ya hemos comentado, para ello necesitamos los dos puntos, que situaremos en la expresión de la función. Seleccione los dos puntos que queramos, sin importancia.
Ahora dibujaremos los dos puntos en el sistema de ejes y los conectaremos. Este es en realidad un gráfico de función para y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1 .
Ejemplos y ejercicios con soluciones de función lineal Ejercicio #1 Elija la respuesta correcta para la función.
y = − x + 1 y=-x+1 y = − x + 1
Solución Comencemos con la opción A
En una función lineal, para verificar si las funciones son paralelas, debe verificar si su pendiente es la misma.
y = ax+b
La pendiente es a
En la fórmula original:
y = -x+1
La pendiente es 1
En la opción A no hay a en absoluto, lo que significa que es igual a 1, lo que significa que la pendiente no es la misma y la opción es incorrecta.
Opción B:
Para comprobar si la función pasa por los puntos, intentaremos colocarlos en la función:
-1 = -(-2)+1
-1 = 2+1
-1 = 3
Los puntos no coinciden, y por lo tanto la función no pasa por este punto.
Opción C:
Reordenamos la función, de una manera que sea más conveniente:
y = -1-x
y = -x-1
Puedes ver que la pendiente en la función es la misma que la encontramos para la función original (-1), ¡así que esta es la solución!
Opción D:
Cuando la pendiente es negativa, la función es decreciente, como la pendiente es -1, la función es negativa y esta respuesta es incorrecta.
Respuesta La gráfica es paralela a la gráfica de la función
y = − 1 − x y=-1-x y = − 1 − x
Ejercicio #2 Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4 , 1 ) , ( 2 , 5 ) (4,1),(2,5) ( 4 , 1 ) , ( 2 , 5 )
Solución Recuerda la fórmula para calcular la pendiente mediante los puntos:
Ahora, reemplazamos los datos en la fórmula:
( 5 − 1 ) ( 2 − 4 ) = 4 − 2 = − 2 \frac{(5-1)}{(2-4)}=\frac{4}{-2}=-2 ( 2 − 4 ) ( 5 − 1 ) = − 2 4 = − 2
Respuesta Ejercicio #3 Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 0 , 0 ) , ( − 8 , 2 ) (0,0),(-8,2) ( 0 , 0 ) , ( − 8 , 2 )
Solución Para resolver la consigna, recuerda la fórmula para hallar la pendiente mediante dos puntos
Ahora, reemplazamos los puntos dados en el cálculo:
( 0 − 2 ) ( 0 − ( − 8 ) = − 2 8 = − 1 4 \frac{(0-2)}{(0-(-8)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4} ( 0 − ( − 8 ) ( 0 − 2 ) = 8 − 2 = − 4 1
Respuesta Comprueba tu conocimiento
Ejercicio 2 a No hay suficientes datos