Desigualdades

Las desigualdades son los "valores atípicos" de las ecuaciones y muchas de las reglas que se aplican a las ecuaciones también se aplican a las desigualdades.
En términos de escritura, la principal diferencia es que en lugar del signo igual \( "=" \), usamos signos de mayor \( ">" \) o menor \( "<" \)

Las desigualdades pueden ser simples o más complejas y además contienen fracciones, paréntesis y más. 

Otra cosa que distingue a las desigualdades de las ecuaciones es que las ecuaciones con una variable tienen una solución única. Por el contrario, las desigualdades tienen un rango de soluciones. 

Las desigualdades entre funciones lineales se traducirán en preguntas como cuándo \( F\left(x\right)>G\left(x\right)) \) O viceversa.
Podemos responder a este tipo de preguntas de dos formas:

  • Usando las ecuaciones
    si se dan las ecuaciones de las dos funciones, las colocaremos en la desigualdad, la resolveremos y encontraremos los valores de \( X \) correspondientes.
  • Usando los gráficos
    examinaremos en qué valores \( X \), valores \( Y \) de la función en cuestión son más altos o más bajos que la función en la desigualdad.

Consignas simples de desigualdad

Ejemplo 1:

\( 3X>6 \)

En este caso se trata de una desigualdad simple. Al igual que en la ecuación, dividiremos ambos lados por \( 3 \) y obtendremos:

\( X>2 \)

Esta es en realidad la solución. Toda \( X \) es mayor que \( 2 \)  


Ejemplo 2:

\( -2X>4 \)

En este caso, tenga en cuenta que debemos dividir ambos lados por un número negativo \( -2 \) Por lo tanto, se debe invertir el signo, es decir, se obtiene:

\( X<-2 \)

Esta es en realidad la solución. Toda \( X \) menor que \( -2 \)

Solución de desigualdad usando ecuaciones:

Dado:

\( F\left(x\right)=4x−2 \)

\( g\left(x\right)=−3x+5 \)

Halla cuando

\( F\left(x\right)>g\left(x\right) \)

Solución:
Reemplazamos las ecuaciones en la desigualdad y obtendremos:

\( 4x−2>−3x+5 \)

Resuelva la desigualdad:

\( 7X>7 \)

\( x>1 \)

Esto significa que cuando

\( X<1,F\left(x\right)>g\left(x\right)F\left(x\right)>g\left(x\right) \)

Solución de desigualdad usando gráficos:

Se da la siguiente figura, en el que aparecen los gráficos de las dos rectas:

\( F\left(x\right)=4x−2 \)

\( g\left(x\right)=−3x+5 \)

Los dos gráficos se encuentran en el punto \( X=1 \)

1 - Desigualdad

Según el gráfico, halla cuando \( f\left(X\right)>g\left(X\right) \)

Solución:
El primer paso:
Identificaremos qué gráfico pertenece a qué función.

Podemos observarlo en la ecuación lineal \( F\left(x\right) \)

\( F\left(x\right)=4x−2 \)

La pendiente es positiva - la recta sube y su punto de intersección con el eje \(Y\) es \( −2 \).
Por lo tanto, el gráfico azul será \( F\left(X\right) \)

Además,
podemos ver que en la ecuación lineal \( G\left(x\right) \)

La pendiente es negativa: la recta desciende y su punto de intersección con el eje \( Y \) es \( 5 \).
Por lo tanto, el gráfico morado será

\( g\left(x\right)=−3x+5 \)

\( F\left(X\right) \)

El segundo paso:
Escribiremos al lado de cada gráfico su nombre.

Chequeamos cuando \( f\left(X\right)>g\left(X\right) \) Es decir, ¿en qué valores \( X \) el gráfico de \( F\left(x\right) \) es mayor que el gráfico de \( g\left(X\right) \ ?).
Veamos la ilustración que tenemos frente a nosotros, esta vez con los signos:

la ilustración con los signos

Notaremos que se nos da que las gráficas se encuentran en el punto donde \( X=1 \)  
Examinaremos los gráficos y preguntaremos cuándo \( f\left(X\right) \) ¿El gráfico azul es mayor que, \( g\left(X\right) \)  ¿El gráfico morado?
La respuesta es cuando \( X>! \)
Presta atención, en ambos sentidos llegamos a la misma respuesta y no por casualidad.