Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados

En síntesis: LLA
Significa que:
si dos triángulos tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo opuesto al mayor de los dos lados, los triángulos son congruentes.

Ha llegado la hora de estudiar el cuarto teorema de congruencia: Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados
o abreviando:
LLA
este teorema de congruencia es práctico y cómodo, y nos ayudará a demostrar la congruencia en triángulos bajo ciertas condiciones sencillas.
¿Qué dice el teorema de congruencia Lado, lado y el ángulo opuesto al mayor de los dos lados?
Si dos triángulos tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo opuesto al mayor de los dos lados, los triángulos son congruentes.
¿Qué quiere decir?

Veámoslo en una ilustración:

Si tenemos:
$AB=DE$
y también:
$AC=DF$

Es decir, los triángulos tienen dos lados iguales,

y también:
$∢B=∢E$

cuando
$​​​​​​​AC>AB$

Es decir, también el ángulo opuesto al mayor de los lados es igual.
Podemos determinar que los triángulos son congruentes según el teorema LLA

Pon atención en que, a pesar de que está dado en sólo un triángulo  $AC>AB$
pero, ya que tenemos un dato previo que dice que: 
$AB=DE$
y también:
$AC=DF$

podremos determinar acorde a la relación transitiva que también: $DF>DE$

Por lo tanto, determinaremos que:
$⊿ABC≅⊿DEF$

Observa que hemos escrito la congruencia en el orden correcto.
Cuando 
$AB=DE$
$AC=DF$
$∢B=∢E$

Ya que los triángulos son congruentes, idénticos en sus lados y en sus ángulos podremos decir que:
$AB=DE$
$BC=EF$
$AC=DF$
$∢A=∢D$
$∢B=∢E$
$∢C=∢F$

Recuerda que deben ocurrir 3 circunstancias y una condición:
Las 3 circunstancias requeridas son:

• Un lado de uno de los triángulos tiene que ser igual a otro lado del segundo triángulo
• Otro lado de uno de los triángulos tiene que ser igual a otro lado del segundo triángulo
• Un ángulo de uno de los triángulos tiene que ser igual a otro ángulo del segundo triángulo

La condición:

• El ángulo en cuestión debe estar frente al lado de mayor longitud entre los dos lados a los que se hace referencia en las circunstancias requeridas (en ambos triángulos).
• Si se cumplen todas las circunstancias y también la condición, podremos demostrar que los triángulos realmente son congruentes.

Veamos algunas maneras de hacerlo:

• Según los datos dados en la pregunta:
  En ciertos casos el dato puede estar escrito como se ve en el ejemplo anterior o con un número.
  A veces deberás deducirlo de otros datos, por ejemplo si el lado $AC=5$ y el lado $AB=4$ entonces $AC>AB$
  
  siempre y cuando el ángulo en cuestión se encuentre frente al lado de mayor longitud, en nuestro caso $AC$ y si se cumplen las demás circunstancias, podremos demostrar la congruencia de los triángulos.

• Cuando no se nos revela la longitud de los lados nos basaremos en los ángulos:
  
  Veamos la siguiente propiedad:
  cuando un lado está frente a un ángulo de $90^o$ grados o más, éste será el lado de mayor longitud del triángulo.
  Por consiguiente, podremos determinar con suma confianza que este lado es mayor que cualquier otro lado del triángulo.
  
  Además, es muy importante que conozcas el siguiente teorema:
  En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
  Es decir, si tenemos ángulos que uno es mayor que otro podremos determinar que el lado opuesto al ángulo más grande es mayor que el lado opuesto al ángulo más pequeño.
  
  Observa:
  El ángulo en cuestión no necesariamente debe ser el más grande de todos los ángulos del triángulo, sino que debe encontrarse frente al lado de mayor longitud entre los dos lados examinados.
  El lado opuesto al ángulo tampoco debe, necesariamente, ser el mayor de todos los lados , sino sólo del otro lado en cuestión.

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Ejercicio 1:

Consigna

Dado: el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo.

¿Según qué teorema de congruencia los triángulos $ΔADO≅ΔCBO$ se superponen?

Solución

Dado que el cuadrilátero $ABCD$ es un rectángulo, en el rectángulo hay dos pares de lados paralelos iguales, por lo tanto:

$BC=AD$

Ángulos alternos entre rectas paralelas son iguales, por lo tanto:

$\sphericalangle BCO=\sphericalangle DAO$

Ángulos opuestos por el vértice iguales, y por lo tanto:

$\sphericalangle O_1=\sphericalangle O_2$

Comprobamos que los triángulos congruentes según el teorema de lado, ángulo, ángulo.

Respuesta:

Congruentes según A.L.A

Ejercicio 2:

Consigna

¿$DE$ no es un lado en ninguno de los triángulos?

Solución

Si miramos el gráfico vemos que desde un punto $E$ sale un línea al punto $D$ por lo tanto $E$ es una línea recta que no es un lado de ningún triángulo en el dibujo.

Respuesta

Verdadero

Ejercicio 3:

Consigna

En el dibujo dado:

$AB=CD$

$∢\text{BAC}=∢\text{DCA}$

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos $ΔABC≅ΔCDA$?

Solución

Dado que $AB=CD$

Dado que $∢\text{BAC}=∢\text{DCA}$

$AC=AC$ es el lado común

Comprobamos que los triángulos son congruentes según lado, ángulo, lado

Respuesta

Congruentes según L.A.L

Ejercicio 4:

Consigna

Dado el rectángulo $ABCD$ de lado $AB$ de longitud de $4.5$ cm y el lado $BC$ de longitud $2$ cm.

¿Cuál es el área del rectángulo?

Solución

La fórmula de cálculo del área rectangular es la base multiplicada por la altura, en este caso reemplazamos

$4.5\times2=9$

Respuesta

$9 cm²$

Ejercicio 5:

Consigna

Los segmentos $BE$ y $AC$ se cruzan en el punto $D$.

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos $ΔABD≅ΔCED$?

Solución

$BE$ y $AC$

Se cruzan en un punto $D$

$AD=DC$

$D$ intersecta $BE$

$\sphericalangle ADB=\sphericalangle EDC$

Ángulos opuestos por el vértice

Triángulos superpuestos según $L.A.L$

Respuesta

Superpuestos $L.A.L$