En cualquier polígono podrás calcular la suma de sus ángulos internos según la siguiente fórmula:

«Suma de los ángulos internos de un polígono» =180×(n2) =180\times\left(n-2\right)
mientras que
n= n= «La cantidad de aristas o lados del polígono» 

Pasos a seguir para hallar la suma de los ángulos internos de un polígono:

  1. Contemos cuántos lados tiene.
  2. Coloquémoslo en la fórmula y obtendremos la suma de los ángulos internos del polígono.

Importante

En la fórmula hay paréntesis que requieren que primero realicemos las operaciones de restar (primero restaremos 2 2 del número de aristas y sólo luego multiplicaremos por 180º 180º .

Antes que nada, observa cuántos lados tiene el polígono dado y escríbelo como =n =n .
Luego, anota en la fórmula la n correcta y descubre la suma de los ángulos internos.

Cuando se trata de un polígono regular (cuyos lados son todos iguales entre sí) también sus ángulos serán iguales y podremos calcular el tamaño de cada uno de ellos.
Por ejemplo, cuando se trata de un polígono de cuatro lados (como un rectángulo, rombo, trapecio, deltoide o cometa), la suma de sus ángulos será 360º 360º grados.
Sin embargo, cuando se trata de un polígono de 7 7 lados, la suma de sus ángulos será 900º 900º grados. 

La suma de los ángulos externos de un polígono siempre será 360º 360º grados.

¿Qué cosa es un polígono?

Un polígono es una figura geométrica delimitada por aristas o lados.
Su nombre será designado según la cantidad de lados que tenga.
Por ejemplo, un triángulo es una figura que tiene tres lados y un cuadrilátero es una que tiene 4 4 .
Del mismo modo, un pentágono es una figura que tiene cinco lados, un hexágono es una que tiene seis, los heptágonos, octógonos, nonágonos o eneágonos y decágonos también deben su nombre a la cantidad de aristas o lados que los componen.


Podemos clasificar los polígonos en dos grupos

Polígono convexo y polígono cóncavo

En un polígono convexo, todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace sólo y exclusivamente en el interior del polígono.
En un polígono cóncavo habrá, por lo menos, un segmento diagonal que una dos puntos del polígono y que se encuentre totalmente fuera del mismo.

En el polígono convexo cada uno de todos los ángulos siempre serán inferiores a 180 grados, en un polígono cóncavo siempre habrá por lo menos un ángulo mayor a 180 grados.

polígono convexo y  polígono cóncavno

¿Cómo se calcula la suma de los ángulos internos de un polígono?
Más allá del polígono que tengas ante ti, ya sea convexo o cóncavo, siempre podrás calcular la suma de sus ángulos internos en base a la siguiente fórmula:
«La suma de los ángulos internos de un polígono» =180×(n2) =180\times(n-2)
sabiendo que
n= n= «la cantidad de lados del polígono» 


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Un ejemplo de cómo utilizar la fórmula

la cantidad de lados del polígono

Dado el siguiente polígono:
¿Cómo descubriremos la suma de sus ángulos internos?
Primero contaremos cuántos lados tiene.
Después de contarlos vimos que tiene 7 7 lados.
Lo anotaremos n=7 n=7
Ya que n nos dice la cantidad de lados,
observaremos la fórmula que nos permite descubrir la suma de los ángulos internos:

(n2)×180= (n-2)\times180=

y a ella le aplicaremos  n=7 n=7
(72)180=X (7-2)180=X
¡Presta atención! En la fórmula hay paréntesis que nos indican que primero debemos realizar la resta.
Siempre procura trabajar según el orden correcto de las operaciones matemáticas para no equivocarte.

Resolvamos el ejercicio:

5×180=900 5\times180=900

La suma de los ángulos internos de nuestro polígono es 900 900 .


Ejercicio enriquecedor

Observa el siguiente polígono y determina si es convexo o cóncavo.
El polígono es cóncavo. Podemos trazar una diagonal externa que una dos puntos del polígono.
Por ejemplo:

el siguiente polígono y determina si es convexo o cóncavo


Ejemplo para el cálculo de la suma de los ángulos internos de un polígono convexo:

La fórmula es cierta para cualquier tipo de polígono, pero queremos mostrarte que puedes utilizarla del mismo modo para un polígono convexo.

polígono 1 2 3 4

Repasaremos paso por paso:

  1. Contaremos la cantidad de lados del polígono y lo anotaremos en la n n .
  2. Aplicaremos la fórmula.

Solución:
n=4n=4
(42)×180=(4-2)\times 180=
2×180=360 2\times 180=360

La suma de los ángulos internos de un polígono cuadrilátero es 360º 360º grados.


Ejercicio enriquecedor

Dado un polígono regular, o sea, que todos sus lados y ángulos son iguales entre sí, como un cuadrado o triángulo equilátero, podremos utilizar la fórmula para calcular la suma de los ángulos internos y luego dividir por la cantidad de ángulos para descubrir la medida de cada uno de ellos.


Suma de ángulos exteriores

Los ángulos exteriores son los que se encuentran entre un lado del polígono y la prolongación del lado original. Es decir: Pon atención a que el ángulo exterior se encuentra fuera del polígono y de ahí
deriva su nombre.

¡La suma de los ángulos externos de un polígono siempre será 360º 360º grados!

La suma de los ángulos externos de un polígono siempre será 360 grados


Veamos otro ejemplo

Dado el siguiente polígono

imagen 3 - Dado el siguiente polígono

A primera vista parece ser un polígono extraño que nos dará dificultad calcular la suma de sus ángulos internos.

Pero ¡que no cunda el pánico!

La fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono (de todo polígono, incluso de los que se ven raros) está aquí arriba y también los pasos que debemos seguir.

Así que, ¡manos a la obra!

Primero contemos cuántos lados tiene este polígono:

imagen 2 - cuántos lados tiene este polígono

Recomendación: Anota números al lado de cada arista para no confundirte en la cuenta.

¡Genial! Ahora ya sabemos la cantidad de aristas que tiene nuestro polígono: n=11 n=11

Lo que nos queda por hacer es colocar los datos en la fórmula (con cautela y conservando el orden de las operaciones matemáticas)

180(112)= 180\left(11-2\right)=

180×9=1620 180\times 9=1620

1620 1620

¡es la suma de los ángulos internos de un polígono con 11 11 aristas!

Información útil:

todos los ángulos internos de un polígono regular son iguales. Por lo tanto, después de descubrir la suma con la fórmula aprendida podrás dividirla por la cantidad de ángulos y hallar la medida de cada uno de ellos.


Si está interesado en aprender más sobre otros temas de ángulos, puede ingresar a uno de los siguientes artículos:

En el blog de Tutorela encontrarás una variedad de artículos sobre matemáticas.


Ejercicios de suma de los ángulos de un polígono

Ejercicio 1

Consigna:

Dado el cuadrado, ¿cuál es la suma de los ángulos en el cuadrado?

1 - Dado el cuadrado ABCD

Solución

Un cuadrado tiene cuatro ángulos, cada uno de los cuales es igual a: 90o 90^o , por lo tanto, la suma de los ángulos en el cuadrado es 360o 360^o

Respuesta

360o 360^o


Ejercicio 2

Consigna

Dado el cuadrado, ¿cuál es la suma de los ángulos totales de los cuatro triángulos?

2 - Dado el cuadrado ABCD

Solución

Como se mencionó, la suma de los ángulos en cada triángulo es 180 180

En nuestro caso hay cuatro triángulos, por lo que la cantidad total de los cuatro triángulos será:

180×4=720 180\times4=720

Respuesta

720 720


Ejercicio 3

Consigna

Dado el cuadrado, ¿cuál es el valor de la suma de los ángulos D1+B+A1 D_1+B+A_1 ?

3 - Dado el cuadrado ABCD

Solución

En un cuadrado, todos los ángulos son iguales a: 90o 90^o .

\( AD \) es una diagonal al cuadrado, y una diagonal al cuadrado es una bisectriz

Por lo tanto el ángulo D1 D_1 es igual a: 45o 45^o

Lo mismo es cierto para el ángulo A A ya que son iguales.

Por lo tanto, la suma de los ángulos será

45+90+45= 45+90+45=

90+90=180 90+90=180

Respuesta

180 180


Ejercicio 4

Consigna

Determine si es verdadero o falso

En un deltoide cóncavo, la suma de los ángulos es 180o 180^o

Solución

Un deltoide cóncavo es un cuadrilátero, y en un cuadrilátero la suma de los ángulos es 360o360^o

Respuesta

Falso


Ejercicio 5

Consigna

Dado el cuadrado, ¿cuál es el valor de la suma de los ángulos D1+B D_1+B ?

4 - Dado el cuadrado  ABCD

Solución

En un cuadrado, todos los ángulos son iguales 90o 90^o

AD AD es una diagonal en un cuadrado y una diagonal en un cuadrado es la bisectriz de un ángulo

Por lo tanto, el ángulo D1 D_1 es igual a 45o 45^o

Por lo tanto, la suma de los ángulos D1+B D_1+B es igual a:

45+90=135 45+90=135

Respuesta

135 135


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