Criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado

Existen 4 criterios para determinar que dos triángulos son congruentes. En este artículo aprenderemos a utilizar el tercer criterio de congruencia:

Lado, Lado, Lado.

Definición: 2 triángulos en los que sus tres lados son de la misma longitud son triángulos congruentes.

En este artículo estudiaremos este criterio y veremos ejemplos de cómo aplicarlo.

imagen 3 Lado_Lado_Lado

Definición:

2 triángulos en los que sus tres lados son de la misma longitud son triángulos congruentes.

Para demostrar que 2 triángulos son congruentes podemos utilizar uno de los siguientes postulados:


Ejemplo 1:

Dados los triángulos \(Δ ABC\) y \(Δ DEF\)  de modo que

\(AB = DE\) (arista)

\(BC = EF\) (arista)

\(AC = DF \) (arista)

Lado, Lado, Lado

Por consiguiente, deduciremos que: \(Δ ABC\)  y \(Δ DEF\) son triángulos congruentes según el criterio de congruencia de Lado, Lado, Lado.

Lo escribiremos del siguiente modo:

\(Δ DEF ≅ Δ ABC \) según el criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado (LLL)

De lo anterior también deduciremos que:

\(∠A = ∠D\)
\(∠B = ∠E\)
\(∠C = ∠F\)

ya que éstos son ángulos correspondientes e iguales en triángulos congruentes


Ejemplo 2: Ejercicio con congruencia de triángulos

Dados los dos triángulos \(Δ ABC\)  y \(Δ ACD \) de modo que \(AC\) es el lado en común.

Dados los dos triángulos 2

Así mismo se nos informa que:

\(AB=DA\)

\(DC=CB\)

Demuestra que los triángulos \( ΔABC \) y \( ΔACD \) son triángulos congruentes.

Demostración:

Nos basaremos en el criterio recién aprendido.

Veamos

\( AC=DC \) (arista)

\( AB=DB \) (arista)

Nos percataremos de que \(AC\) (arista) es común a ambos triángulos

De esto se desprende que en los dos triángulos \(Δ ABC\)  y \(Δ ADC \) hay tres pares de lados iguales.

Por consiguiente, podremos deducir que

\(Δ ADC ≅ Δ ABC \)según el criterio de congruencia Lado, Lado, Lado.

\( QED \)


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Ejercicios de criterio de congruencia: Lado, Lado, Lado

Ejercicio 1:

Consigna

En la figura dada:

\( EC=EB \)

\( AC=AB \)

¿Según qué teorema se superponen los triángulos \( ΔABE≅ΔACE \)?

En la figura dada EC=EB AC=AB

Solución

Dado que \( EC=EB \)

Dado que \( AC=AB \)

Lado común \( AE=AE \)

Los triángulos congruentes según \( L.L.L \)

Respuesta

Superpuestos \( L.L.L \)


Ejercicio 2:

Consigna

En un triángulo isósceles \( \triangle ABC \) trazamos la altura \( AK \).

¿De acuerdo con qué teorema de congruencia se superponen los triángulos \( ΔABK≅ΔACK \)?

En un triángulo isósceles ABC trazamos la altura AK

Solución

\( AB=AC \)

Dado que el triángulo \( ABC \) es isósceles

\( BK=KC \)

En un triángulo isósceles, la altura es también una mediana y una mediana corta la base en dos.

\( AK=AK \)

Lado común

Los triángulos superpuestos según \( L.L.L \)

Respuesta

Superpuestos según \( L.L.L \)


Ejercicio 3:

Consigna

Los segmentos \( BE \) y \( AC \) se cruzan en el punto \( D \).

¿Según qué teorema de congruencia coinciden los triángulos \( ΔABD≅ΔCED \)?

Los segmentos BE  y AC se cruzan en el punto D

Solución

\( BE \) y \( AC \)

Se cruzan en un punto \( D \)

\( AD=DC \)

\( D \) intersecta \( BE \)

\( \sphericalangle ADB=\sphericalangle EDC \)

Ángulos opuestos por el vértice

Triángulos superpuestos según \( L.A.L \)

Respuesta

superpuestos \( L.A.L \)


Ejercicio 4:

Consigna

Los triángulos \( ΔABC≅ΔEFG \)

En el triángulo \( ΔABC \) trazamos la mediana \( AD \)

y en el triángulo \( ΔEFG \) trazamos la mediana \( EH \).

Demostramos: \( ΔADB≅ΔEHF \)

Los triángulos ΔABC≅ΔEFG

Solución

\( AB=EF \)

Dado que los triángulos \( ΔABC \) y \( ΔEFG \) son congruentes

\( AD=EH \)

En triángulos congruentes las medianas son necesariamente iguales

(saliendo del mismo punto a la misma base)

\( BD=FH \)

La mediana cruza la base a la que llega.

Los triángulos congruentes según \( L.L.L \)

Respuesta

Superpuestos según \( L.L.L \)


Ejercicio 5:

Consigna

Dado el trapecio isósceles \( ABCD \).

En su interior contiene el cuadrado \( ABFE \).

¿Según qué teorema coinciden los triángulos \( ΔADE≅ΔBCF \)?

Dado el trapecio isósceles ABCD . En su interior contiene el cuadrado ABEF

Solución

\( ABCD \) es un trapecio isósceles (dado)

\( AD=BC \)

Trapecio isósceles

Dado que \( ABFE \) es un cuadrado

\( AE=BF \)

Dado que \( ABFE \) es un cuadrado y todos los lados en un cuadrado son iguales

\( \sphericalangle D=\sphericalangle C \)

Los ángulos de la base en un trapecio isósceles son iguales

\( \sphericalangle AED=\sphericalangle BFC=90° \)

En un cuadrado todos los ángulos son rectos y miden \( 90° \) grados

\( \sphericalangle DAE=\sphericalangle FBC \)

si dos ángulos son iguales entonces el tercero también es igual

Los triángulos superpuestos según \( L.A.L \)

Respuesta

\( L.A.L \)


Preguntas de repaso

¿Qué es el criterio de congruencia de dos triángulos?

Son cuatro los criterios de congruencia de triángulos, estos nos permiten saber si dos triángulos tienen las mismas dimensiones en sus lados y de igual manera la misma longitud de sus ángulos correspondientes, de esta forma podemos decir que los dos triángulos, aun cuando se encuentren en diferente posición u orientación, tendrán la misma forma y medida.


¿Qué es el criterio de congruencia LLL?

Este criterio nos permite deducir si dos triángulos tienen la misma forma y medida, de acuerdo a este criterio dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados son iguales.


¿Qué diferencia hay entre el criterio de congruencia LLL y el de semejanza LLL?

El criterio de congruencia por LLL, nos dice que si dos triángulos tienen sus tres lados iguales (Lados congruentes), entonces los dos triángulos son iguales, es decir tienen la misma medida en cuanto a lados y ángulos. Mientras que el de semejanza LLL, nos dice que si dos triángulos son semejantes, entonces sus tres lados son proporcionales, es decir, no tienen la misma medida pero si tienen alguna proporción entre ellos y tienen la misma forma, pero con diferentes medidas en cuanto a sus lados.


¿Qué par de triángulos son semejantes por el criterio LLL?

Dos triángulos van a hacer semejantes cuando tienen la misma forma, sin importar la orientación, es decir, sus ángulos correspondientes miden lo mismo pero sus lados correspondientes no necesariamente miden lo mismo, sino que deben de tener una proporción entre ellos.


¿Cuáles son los criterios de semejanza y congruencia de triángulos?

Criterios de congruencia

Los criterios de congruencia de triángulos son cuatro:

  • LAL- Lado, Ángulo, Lado.
  • ALA- Ángulo, Lado, Ángulo.
  • LLL- Lado, Lado, Lado.
  • LLA- Lado, Lado, Ángulo.

Criterios de semejanza

A diferencia de los criterios de congruencia, los criterios de semejanza de triángulos solo son tres:

  • LLL- Lado, Lado, Lado.
  • LAL- Lado, Ángulo, Lado.
  • AAA- Ángulo, Ángulo, Ángulo.