Criterio de congruencia: Lado, Ángulo, Lado

Estudiaremos los tres criterios principales de congruencia. Éste es el primero de ellos:

Lado, Ángulo, Lado.

Según este teorema, dos triángulos que 2 de sus lados son respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre ellos también es igual, serán triángulos congruentes.
Es importante destacar que el ángulo debe encontrarse entre las dos aristas iguales. Este criterio no se podrá aplicar si se tratara de otro ángulo.

imagen 1 Lado, Ángulo, Lado

Para demostrar que 2 triángulos son congruentes podemos utilizar uno de los siguientes postulados:

Definición de triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, miden lo mismo.

Este criterio nos ayuda a probar que dos ángulos son congruentes.
¡Atención! El ángulo debe ser el que está comprendido entre los dos lados iguales. Este teorema no se podrá aplicar si se tratara de otro ángulo.


Ejemplo 1:

Dados dos triángulos \(Δ ABC\) y \(Δ DEF\) y los siguientes datos:

\(AB = DE\)

\(∢B=∢E\)

\(BC = FE\)

Lado, Ángulo, Lado

De esto se deduce que los triángulos \(Δ ABC\) y \(Δ DEF \) son congruentes, por lo tanto, escribiremos:

\( Δ DEF ≅ Δ ABC\) según el criterio de congruencia Lado, Ángulo, Lado (LAL)


Ejemplo 2: Ejercicio con congruencia de triángulos

Sobre el lado \( BD \) han construido dos triángulos: el \(Δ ABD\) y el \(ΔBCD \) de modo que:

\(AD = DC\)

\(∢BDA = ∢BDC\)

Ejercicio con congruencia de triángulos

Demuestra que \(∢BAD = ∢BCD\)

Demostración:

Utilizaremos el criterio que hemos aprendido para probar que el triángulo \(Δ ABD\) y el \(ΔCBD \) son triángulos congruentes.

Responderemos que el lado \( BD \) es común a ambos triángulos (arista)

Así mismo se muestra que: \(∢BDA = ∢BDC\) (ángulo)

y que: \(AD = DC\) (arista)

Por consiguiente, deduciremos que \(Δ CBD ≅ Δ ABD \) según el criterio de congruencia Lado, Ángulo, Lado (LAL).

Es primordial prestar atención y escribir el orden correcto de los vértices.

Luego de ver que los triángulos son congruentes podremos concluir que \(∢BAD = ∢BCD\) (Ángulos correspondientes en triángulos congruentes).

QED


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Ejercicios de criterio de congruencia: Lado, Ángulo, Lado

Ejercicio 1:

Dado: \( AM \) bisectriz \( ∢\text{BMK} \)

\( ∢\text{BMK}=100° \)

\( ∢\text{KBM=50\degree} \)

\( ∢A=∢K \)

¿A cuál teorema de superposición \( ΔABM≅ΔBKM \) pertenece?

Dado AM bisectriz ∢BMK

Solución

\( BM=BH \) Lado común

Ángulo \( A \) es igual al ángulo \( K \) dado

Ángulo \( BMK \) es igual a \( 100° \) grados: dado

Ángulo \( KBM \) es igual a \( 50° \) grados: dado

Ángulo \( HMB \) es igual a \( 50° \) grados dado que: \( AM \) bisectriz de \( BMK \)

Ángulo \( KBM \) es igual al ángulo \( AMB \) y por lo tanto igual a \( 50° \) grados

Ángulo \( ABM \) es igual al ángulo

\( KMB \)

Si los dos ángulos en el triángulo son iguales, entonces el tercero también es igual, los triángulos se superponen de acuerdo con el teorema de superposición \( A.L.A \) (ángulo lado ángulo)

Respuesta

\( A.L.A \) (ángulo lado ángulo)


Ejercicio 2:

Consigna

Las secciones \( AC \) y \( BD \) se cortan en el punto \( K \).

Dado: punto \( K \) intersecta \( BD \).

\( AK=CK \)

\( AB⊥AC \)

\( CD⊥AC \)

¿Según qué teorema de congruencia \( ΔABK≅ΔCDK \)?

Las secciones AC  y BD se cortan en el punto K

Solución

\( AK=CK \)

\( AB \) es perpendicular a \( AC \)

Una recta perpendicular crea un ángulo recto de \( 90^o \) grados, por lo tanto, el ángulo \( A \) es igual a: \( 90^o \) grados

\( CD \) es perpendicular a \( AC \)

Una recta perpendicular crea un ángulo recto de \( 90^o \) grados, por lo tanto, el ángulo \( C \) es igual a: \( 90^o \) grados

De esto se deduce que los ángulos

\( A=C=90^o \)

\( BK=KD \)

Dado el punto \( K \) que intersecta a

\( BD \)

Por lo tanto los triángulos superpuestos según el teorema \( L.A.L \) (lado, ángulo, lado)

Respuesta

Superpuestos: \( L.A.L \) (lado, ángulo, lado)


Ejercicio 3:

Consigna

En la figura dada:

\( AB=CD \)

\( ∢\text{BAC}=∢\text{DCA} \)

¿Según qué teorema de congruencia \( ΔABC≅ΔCDA \)?

Ejercicio 3 Consigna En la figura dada AB=CD

Solución

Dado que

\( AB=CD \)

Dado que los ángulos

\( BAC=DCA \)

Lado \( AC=AC \) es un lado común

Los triángulos superpuestos según el teorema \( L.A.L \) (lado, ángulo, lado)

Respuesta

Superpuestos según \( L.A.L \) (lado, ángulo, lado)


Ejercicio 4:

Consigna

¿Los triángulos que aparecen en el dibujo son congruentes?

En caso afirmativo, explique de acuerdo con qué teorema de superposición

Los triángulos que aparecen en el dibujo son congruentes

Solución

\( AB=AB=4 \)

\( AC=AC=12 \)

Ángulos \( ACB=ACB=60º \)

Los triángulos superpuestos según el teorema \( L.L.A \) (lado, lado, ángulo)

Respuesta

Superpuestos según \( L.L.A \) (lado, lado, ángulo)


Ejercicio 5:

Consigna

¿Los triángulos \( CDE \) y \( ABE \) son congruentes?

Si es así, ¿de acuerdo con qué teorema de superposición?

Los triángulos  DCE  y ABE  son congruentes

Solución

Dado que \( AE=ED \)

ángulos \( BAE=EDC=50º \)

ángulo \( E=E \) ángulos opuestos por el vértice

Los triángulos superpuestos según el teorema \( A.L.A \)

Respuesta

Congruentes según \( A.L.A \) (ángulo, lado, ángulo


Ejercicio 6:

Consigna

Dada la figura:

\( AD=BC \)

\( AD||BC \)

¿Según qué teorema se superponen los triángulos \( ΔABD≅ΔBCD \)?

Dada la figura AD=BC

Solución

Dado que \( AD=BC \)

Dado que \( AD \) es paralela a \( BC \)

Ángulos \( ADB=CBD \) ángulos alternos entre rectas paralelas iguales

\( BD=BD \) lado común

Triángulos congruentes según teorema \( A.L.A \)

Respuesta

Según teorema \( A.L.A \)


Preguntas de repaso

¿Qué es un triángulo?

En geometría es considerada como una figura plana de tres lados, en donde la unión de cada lado, llamados vértices, se forman tres ángulos.


¿Qué son triángulos congruentes?

Si dos triángulos tienen lados y ángulos con la misma medida, entonces serán triángulos congruentes.


¿Qué criterios se pueden usar para determinar si dos triángulos son congruentes?

Existen cuatro criterios para poder determinar si dos triángulos son o no congruentes, los cuales son los siguientes:

  • LAL- Lado, Ángulo, Lado.
  • ALA- Ángulo, Lado, Ángulo.
  • LLL- Lado, Lado, Lado.
  • LLA- Lado, Lado, Ángulo.

¿Cuál es el criterio Lado, Ángulo, Lado?

Este criterio nos dice que dos triángulos son congruentes cuando dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos correspondientes con el otro triángulo son iguales. Cabe mencionar que si el ángulo a analizar no es el comprendido entre estos dos lados no podemos utilizar este criterio.


¿Para qué tipo de triángulos podemos utilizar los criterios de congruencias?

Los criterios los podemos emplear en cualquier tipo de triángulos, ya sea un triángulo equilátero, un triángulo isósceles o escaleno.